五年级奥数数论数的整除、约数倍数（C级）

数的整除、约数倍数

'J课前预习

“0”

大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。他们使用罗马数字。罗马数字是用几个表示数的符

号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。

而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。他发现，有了“0”，进行数学运算

方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。过了一段时间，这件事被当时的罗马

教皇知道了。当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。教皇非常恼

怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁

就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头

紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。

但是，虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”,

仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。

J知识框架

一'常见数字的整除判定方法：

1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

2.一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

3.一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

4.一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；

5.一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

6.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被

11整除.

7.1001特征（家有三子7、11、13）

一个数除以7的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以7的余数；

一个数除以11的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以11的余数；

或者，其奇数位数字之和（从个位往高位数，个位为第1位，即为奇数位）减去偶数位数字之和所得的差

除以11的余数；

一个数除以13的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差（大减小）能被13整除；

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

二'整除性质

性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除.即如果c|a,

c|b,那么c|（a+b）.

性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.即如果b|a,

c|b,那么c|a.

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除.即如果beIa,那

么b|a,cIa.

性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

与c的乘积整除.即如果b|a,c|a,且(b,c)=l,那么beIa.

例如：如果3|12,4|12,且(3,4)=1,那么(3x4)|12.

性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0

整数)；

性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除.如果bIa,且

d|c,那么acIbd；

三、质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身,

还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：。和1不是质数，也不是合数.

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、

61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5,其余

的质数个位数字只能是1,3,7或9.

考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

四、质因数与分解质因数

1.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30=2x3x5淇中2、3、5叫做30的质因数.又如12=2x2x3=2?x3,2、3都叫做例的质

因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要

用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

2.唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n=p^xp^xp^xxp?

其中为质数，«!<«2<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.

分析：；210=2x3x5x7,...可知这三个数是5、6和7.

3.部分特殊数的分解

111=3x37；1001=7x11x13；11111=41x271；10001=73x137；1995=3x5x7x19；

1998=2x3x3x3x37；2007=3x3x223；2008=2x2x2x251；10101=3x7x13x37.

4.判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于P的质数q(均为整数)，使得q能够整除P，那么P就不是质数，

所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p,我

们可以先找一个大于且接近P的平方数K?，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p,如

没有能够除尽的那么p就为质数.

例如：149很接近144=12x12,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质

数.

五、约数的概念与最大公约数

0被排除在约数与倍数之外

1.求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.

例故口：231=3x7x11,252=22X32X7,所以（231,252）=3x7=21;

2|1812

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：3|96,所以（12,18）=2x3=6;

32

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数.用辗转

相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余

数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数

去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.（如果最后的除数是1,

那么原来的两个数是互质的）.

例如，求600和1515的最大公约数：1515-600=2315;600-315=1285;315+285=130;

285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公约数是15.

2.最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数〃，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以”.

3.求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的

h

最大公约数b;—即为所求.

六'倍数的概念与最小公倍数

1.求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以[231,252]=x32义7xl1=2772;

②短除法求最小公倍数；

2|1812

例如：3|96,所以[18,12]=2乂3乂3乂2=36；

32

③[a,b]=广]

(a,b)

2.最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.

3.求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数。；求出各个分数分母的最大公约数6；-

口左一「

即为所求.例如：[―3,—5r]=-[~3,5]—=一15

412(4,12)4

注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[1,-1=^4=4

[23J(2,3)

七'最大公约数与最小公倍数的常用性质

1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果根为A、B的最大公约数，且A=ma,B=mb，那么。、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab,

所以最大公约数与最小公倍数有如下一•些基本关系：

M|AB

ab

①AxB=ma义mb=mxmab,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A、B、A+B,A-3及最小公倍数的约数.

2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(a,6)x[q,6]=ox6,此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍数

b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍数为336+2=168

性质(3)不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即

“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

八'求约数个数与所有约数的和

1.求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为23*52*7,所以它的约数有(3+l)x(2+l)x(l+l)=4x3x2=24个。(包括1

和1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲

过的数字“唯一分解定理''形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其

掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个

数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造''出来，或者是“构造出可能的最值”。

2.求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的

最高次需求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

故口：21000=23X3X53X7,所以21000所有约数的和为

(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的

记忆即可。

重难点

V-------------------------------------)

重点：

1、熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几

个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。

2、分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活

运用。

3、本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本

上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还

有一些主要性质一定要记住.

难点：

’：、在将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训也是

一个不小的挑战。

2、在对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

3、核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在

课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步

领悟“原来任何一个数字都可以表示为又△☆x...xAA的结构,，

'J例题精讲

【例1】已知九位数2007口1202既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？

【考点】数的整除【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】设原数=200&出，:9|2007a设62=>a+6=4或者a+b=13,V11120073262=>

2+0+a+2+2-(0+7+1+/)=0或者(0+7+1+6)-(2+2+。+0+2)=11=a—6=2或者6—a=9根

,“，工.,,6fa+6=4.=3.fa+Z?=13.fa=2_1..

据两数和差同奇偶，得：1或者>\不成立.所以，

[a-b=2[b=l[b-a=9(b=ll

20073262=200731212.

【答案】

(1)3,1

【巩固】已知四十一位数55...5口99...9(其中5和9各有20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多

少？

【考点】数的整除【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】我们知道abcabc这样的六位数一定能整除7、11、13原41位数中从高位数起共有20个5,从低

位数起共有20个9,那么我们可以分别从低位和高位选出555555,和999999,从算式的结构上将就是进行

加法的分拆,即：555555x10...00(35个0)+555555x10...00(29个0)+…+5分99+999999/10…00(12个

0)+…+999999.这个算式的和就是原来的41位数，我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都

已经是7的倍数，唯独剩余55口99待定，那么只要令55口99是7的倍数即可，即只要口44是7的倍数即可，

□应为6

【答案】

(1)6

[例2]在六位数11口口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位

数是多少？

【考点】数的整除【难度】☆☆【题型】解答

【解析】采用试除法.设六位数为llx1000N茄5(411=H001如超i如果一个数能同时被

17和19整除，那么一定能被323整除.110011+323=340191,余191也可以看成不足323-191=132.所

以当茄面=132+323〃时，即罚55是100的倍数时，六位数才是323的倍数.所以有323〃的末位只能是

10—2=8,所以n只能是6,16,26,验证有〃=16时，132+323x16=5300,所以原题的方框中填入5,

3得到的115311满足题意.

【答案】

(1)53

【巩固】如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

【考点】数的整除【难度】☆☆【题型】解答

【解析】因为105=3＜卜,所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可.

方法一：利用整除特征

末位只能为0或5

①如果末位填入0,那么数字和为1+9+9+2+□+0=21+口，要求数字和是3的倍数，所以口

可以为0,3,6,9,验证2001处9,230—199=31,260-199=61,290-199=91,

有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90.

②如果末位填入5,同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征.

所以，题中数的末两位只能是90

方法二：采用试除法

用199200试除，199200-105=189715,余15可以看成不足，105-15=90.所以补上90,即在末两

位的方格内填入90即可.

【例3】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被

3、5、7、13整除，这个数最大是多少？

【考点】数的整除【难度】☆☆【题型】解答

【解析】本题采用试除法。

因为3,5,7,13的最小公倍数为1365,在100000之内最大的1365的倍数为99645

(100000-1365=73.......355,100000-355=99645),但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减1365

依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。

有99645-1365=98280,98280-1365=96915.96915-1365=95550.95550-1365=94185.

所以，满足题意的5位数最大为94185.

【答案】

(1)94185

【巩固】请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是

多少？

【考点】数的整除【难度】☆☆【题型】解答

【解析】解法一：

因为7x11x13=1001,999x1001=999999不是七位数，这个七位数是1001xabcd=abcd000+abcd,

如果c不是9,那么b就会重复，所以c=9,因为是5的倍数，所以d=5,要使最大，先假设a

=8时，b取8,5,2都不符合要求，当a=7时，b取9,6,3,。中3符合要求，所以最大的是

7402395分析题意知，这个七位数是7x11x13=1001的倍数，根据1001的特点，

解法二：

假设这个七位数是abcdefg,满足abed—efg=n00n,很容易得出c=0,f=9,b和e相差1,如果

g=0,那么a=d,所以g=5。假设a=8,那么d=3,b和e就是2,1或者7,6,经检验都不符

合要求。假设a=7,那么d=2,b和e就是4,3,经检验刚好可以。这个七位数是7402395

【答案】

(1)9402392

【例4】把若干个自然数1、2、3..........连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最

后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？(★★)

【考点】数的整除【难度】☆☆【题型】解答

【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零.由

于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5

的个数就可以了.5=5x1,10=5x2,15=5x3,20=5x4,25=5x5,30=5x6,.......,发现只有25、

50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5,乘到55时共出现11+2=13个因数5,所以至少应当

写到55,最多可以写到59.

【答案】

(1)59

【巩固】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0

【考点】数的整除【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】

首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0.其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0,

而75乘以偶数可以产生2个0,50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0,所以一共有7+4+2+1=14个

0.

【例5】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个.

【考点】数的整除【难度】☆☆【题型】解答

【解析】两位数字中能被n整除的数字是11、22...........99这些数字中显然没有这样的数.三位数，设这个

三位数为“be,有a+6+c=13和a+c—6=11,显然有a+c=12,b=l,所以就有913,814,715,616,

517,418,319这7个.四位数，设这个四位数为嬴7,(1)有a+6+c+d=13和(a+c)-(b+d)=ll中，若

a+c=12,b+d=l贝Ua=3或4有2种组合，b和d有2种.因此有4种；⑵有a+b+c+d=13和(6+4)一

(a+c)=ll,a+c=l,6+d=12,则只能a=l,c=0,b和d有7种组合.综上所述，这样的数有7+4+7=18

个.

【巩固】用1,9,8,8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？(★★★)

【考点】数的整除【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】现在要求被11除余8,我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了.所以我们得到

“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3,得另一个和数，

如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是.要把1,9,8,8排成一

个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字.其中一组作为千位和十位数，它们的

和记作A;另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作3.我们要适当分组，使得能被11整除.现

在只有下面4种分组法：

偶位奇位

(1)1,89,8

(2)1,98,8

(3)9,81,8

(4)8,81,9

经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：A=l+8=9,3=9+8+3=20,5-A=ll能被

H整除.其余三种分组都不满足要求.根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8,那么

在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8.于是，

上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数.这样共有4

种可能的排法：1988,1889,8918,8819.

【答案】

(1)这样共有4种可能的排法:1988,1889,8918,8819.

【例6】4个一位数的乘积是360,并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大

的一个是多少？

【考点】质数与合数【难度【题型】解答

【解析】将360分解质因数得360=2x2x2x3x3x5,它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一

个是合数，所有该合数必至少为6-3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数

分别为3,3,5,8,所组成的最大四位数是8533.

【答案】

(1)8533

【巩固】(老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？)

大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们

四个人的年龄各是几岁？(★★★)

【考点】质数与合数【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来

分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。

48384=28x33x7

=(22x3)x(2x7)x24x(2x32)

=12x14x16x18

由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶

数。又因为48384的个位数字不是0,显然这四个数中，没有个位数字是。的，那么这四个数的个

位数字一定是2、4、6、8o又因为1。4<48384,而48384<2。4,所以可以断定，这四个数一定是

12、14、16、18o也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。答：这四个人

的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

【答案】

(1)这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

【例7】甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,

那么甲数是多少？

【考点】因数与倍数【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】对90分解质因数：90=2X32X5.

因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5.

如果乙也不含因数5,那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5,但90是5的倍数，所以乙含有因

数5.

因为105不是2的倍数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数2,于是甲必含有因数2.

因为105不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙最多含有1个因数3.由于甲、乙两数的最

小公倍数是90,90中含有2个因数3,所以甲必含有2个因数3,那么甲=2x32=18.

【答案】

(1)18

【例8】已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数.

【考点】因数与倍数【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】由于两个自然数的积=两数的最大公约数*两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是

240+60=4,设这两个数分别为4a、4b,那么9/)=1,且ax6=6D-4卷，所以。和6可以取1和15或

3和5,所以这两个数是4和60或12和20.

【答案】

(1)两个数是4和60或12和20.

【巩固】已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？

【考点】因数与倍数【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】假设这两个数是21a和2仍，易得21xaxb=126,所以。xb=6,由。和Z?互质，那么就有

6=lx6=2x3两种情况.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或21x2=42,21x3=63两种情况.它们

的和是147或105.

【答案】

(1)147或105.

【例9】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?

【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】360分解质因数:360=2x2x2x3x3x5=23x32x5;

360的约数可以且只能是2ax3bx5c,(其中a,b,c均是整数，且a为0~3,6为。〜2,c为0〜1).

因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+l)x(2+l)x(l+l)=24.

我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为

(l+3+32)x2yx5w;

我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23),所以所有360约数的

牙口为(1+3+32)义(1+2+22+23)x5w;

最后确定关于质因数5的约数，可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为

(l+3+32)x(l+2+22+23)x(l+5).

于是,我们计算出值:13X15X6=1170.所以,360所有约数的和为1170.

【答案】

(1)1170

【巩固】数160的约数个数是多少？它们的和是多少？它们的积呢？

【考点】因数个数【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】对任意一个自然数，我们首先可以将它作因式分解，化成质数及其次数的乘积，以160为例，我们

有160=25x51要算它的约数的个数，我们可以这样来理解：约数的因数只可能是2,5.并且它们的次数不会

超过原数的次数，从而约数的因数的2的次数可以为0,1,2,3,4,5;而5的次数也只可能是0或1.把它展

开你就可以发现它就是我们要求的：情况1:不包含5的约数：1,2,2?,23,2”,，情况2:包含5的约数:1x5,

2x5,22X5,23X5,24x5,2,x5.从而我们可以任意地从中选若干个2,5的次数，即：(l+5)x(l+l)

=12.(个)所以它的约数的和：(1+2+2?+23+24+25)x(1+5)至于要算它们的约数的积，我们可以将它的约

数配对：一个约数和它被原数除的数组成一对(如2和80是160的一对).这样，对于非平方数而言，我们得到

整数对，并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言，仅仅是多了一个数(它的开方)，从而通过对它的

约数的个数，可以求出它们的积.对本题而言，我们有(1;160),(2;80),(4;40),(5;32),(8;20),(10;16)

共6对.从而它们的积为1606.

【答案】

(1)12

(2)(1+2+22+23+24+25)X(1+5)

(3)1606.

【例10】如图，霰鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。老鼠对露鼠说：“你挖完

后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是噩鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？

【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】因为157除以5的余数是2,可得下图，由图中很明显可知，殿鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A

点12米处.因为[3,5]=15,(157—12)+15=145+15=910,所以，老鼠和霰鼠要挖的洞里重合的有

9+1=10(个).

霰鼠A।----1-I--------1-I------1--------18老鼠

02367912157单位：米

【答案】

(1)10

【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发

一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？

【考点】因数个数【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】苹果每3人发1个，桔子每5人发1个.因为[3,5]=15,所以苹果和桔子都拿到的10个小朋友之间

共有15x(10-1)+1=136(人).在他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，所以左边最多还有3x4=12(人)；

右边最多有2个小朋友拿到桔子，所以右边最多还有5x2=10(人).所以最多有：136+12+10=158(人).

【答案】

(1)158

【例11]已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数

是多少？

【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】设,有a=b+120,又设(a,b)=cl,a=pd,b=qd,(p,q)=1,3.p>q,贝U=pqd,

有pqd=105d,所以pq=105=3x5x7.因为a—b=(p—q)d=120,所以(p-q)是120的约数.

①若/?=105,q=l,贝"p-q=104,不符合；

②若p=35,q=3,贝"p_q=32,不符合；

③若p=21,q=5,则p_q=16,不符合；

④若p=15,q=7,贝”p_q=8,符合条件.

由(p—g)d=8d=120,得d=15,从而a、b中较大的数。=pd=15x15=225.

【答案】

(1)225

【巩固】已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数.设这

【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】两个自然数分别是利o、mb,其中为它们的最大公约数，。与6互质(不妨设a46),根据题意

有：

[mb+ma=m(a+b)=54

\mab—m=m{ab—1)=114

所以可以得到机是54和114的公约数，所以是(54,114)=6的约数.m=l,2,3或6.

如果m=1,由，wx(a+>)=54,有a+b=54;又由〃zx(a匕-1)=114,有必=115.

115=1x115=5x23,但是1+115=116/54,5+23=28^54,所以相wl.

如果/w=2,由7〃x(a+6)=54,有a+b=27;又由—1)=114,有ab=58.

58=1x58=2x29,但是1+58=59工27,2+29=31x27,所以机片2.

如果根=3,由〃zx(a+6)=54,有a+b=18;又由机x(aZ?—1)=114,有必=39.

39=1x39=3x13,但是1+39=40218,3+13=16/18,所以m23.

如果相=6,由znx(a+6)=54,有a+0=9;又由租x(必-1)=114,有ab=20.

20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：20=1x20=4*5,虽然1+20=21/9,但是有4+5=9,

所以取%=6是合适的，此时a=4,6=5,这两个数分别为24和30.

【例121恰有8个约数的两位数有个.

【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】根据约数个数公式，先将8进行分解：8=lx8=2x4=2x2x2,所以恰有8个约数的数至多有3

个不同的质因数，分解质因数后的形式可能为A’，A'B3,A'B'C1.

其中由于27=128>100,所以A,形式的没有符合条件的两位数；

形式中，B不能超过3,即可能为2或3,有2x33、3x23、5x23>7x2\llx23,共5个；

HMCi形式的有2*3*5、2x3x7、2x3x11,2x3x13、2x5x7,共5个.

所以共有5+5=10个符合条件的数.

【答案】

(1)10

【巩固】能被2145整除且恰有2145个约数的数有个.

【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】先将2145分解质因数：2145=3x5x11x13,所以能被2145整除的数必定含有3,5,11,13这4

个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，根据约

数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145,而2145只能分解成3,5,11,13的乘积,

矛盾.所以所求的数恰好只有3,5,11,13这4个质因数.

对于这样的每一个数，分解质因数后3,5,11,13这4个因子的赛次都恰好是2=(3-1),4=(5-1),

10=(11-1),12=(13-1)的一个排列，所以共有4!=24种

【答案】

(1)24

【例13］已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数［4司=1728,则B=.

【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答

【解析】

1728=26X33,由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3

这两个质因数，如果A为36,那么1728不是A的倍数，不符题意，所以4=26,那么33为B的约数，设

B=2'X33,贝|他+1)义(3+1)=12,得k=2,所以3=2?/33=108.

【答案】

(1)108

【巩固】如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？

【考点】因数个数【难度】☆☆☆☆☆【题型】解答

【解析】设这个自然数是。，2004=22X3X167,将。分解质因数，设。=2'x3»xl67;x%入出&。上，其中

x,y,z可以是0或正整数，其余的系数都是正整数，则这个数的约数的个数

A=(x+l)(y+l)(z+1)(伪+i)(b2+1)(b”+1).

因为这个自然数的2004倍恰有2004个约数，所以

(尤+3)(y+2)(z+2)(伪+1)(2+1)3“+1)=2004=2?x3x167

七,日

口jX_J-2004—_(x__+_3__)(_y_+__2_)_(_z_+__2)—x+3xy+2xz+2

A(x+l)(y+l)(z+l)x+1y+1z+1

要想使A最小，需要使出*士最大，

x+1y+1z+1

而9=3-二＜3,皿=2-上＜2,出=2-二＜2,

x+1x+1y+1y+1z+1z+1

2004

所以----＜3x2x2=12,得到A2167.

A

要想使等号成立，必须％=y=z=0,n=l,4=166,即此数为一个不是2,3,167的质数的166

次方，此时这个数的约数有167个.故这个自然数最少有167个约数.

二课堂检测

1.由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中，能