历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题(非数学类)

(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数

学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的

试题。)

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题(每小题5分，共20分)

(x+y)ln(l+—)

1.计算加---.^—dxdy=,其中区域。由直线%+y=l与两

坐标轴所围成三角形区域.

91

解：令x+y=M,x=v,贝！Jx=v,y=〃一v,duly=detdudv=dudv，

J-1

(x+y)ln(l+—)

iirrwinw-winv,1

xwcdy=---,——dudv

D■JJD

=fl^pdv_.

J。Joy/l^lJo

riw2Inwu(u\nu—u)]

=i--------------/=-du

d\—UA/1—w

2

km(*)

令t=y/l—u,贝!Ju=l—t2

du——2zdt,u?=1—2t2+〃，u,(l—u)=〃(1—%)(1+/),

(*)=-2:(1—2t2+〃)d方

=2j；(1—2产+〃)d/=2r-!?3+|r5'_16

o=15

2.设/(x)是连续函数，且满足/(x)=3尤2—尤心一2,贝lj/(x)=.

J0

解:令A=1/(x)dx,贝Ij/(x)=3x2—A—2,

J0

A=f2（3x2-A-2）dx=8—2（4+2）=4—24,

J0

解得A=g。因此/（X）=3X2_/。

2

3.曲面z=5+y2―2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是.

解：因平面2x+2y-z=0的法向量为（2,2,-1）,而曲面

2_

z=5+/-2在（/,为）处的法向量为

（z&o，yo），Zy（%，%），T），故区（尤0，%）,2〉（%,%）,-1）与（2,2-1）

平行，因止匕，由z*=x,z,=2y矢口

2=zx(x0,y0)=x0,2=zy(x0,y0)=2y0,

即%=2,%=1,又z(x0,y0)=z(2,l)=5,于是曲面

2x+2y-z=0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是

2(x—2)+2(y—1)—(z—5)=0,即曲面z=]+y2_2平行

平面

2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。

4.设函数y=y(x)由方程x/仔)=e,ln29确定，其中/具有二阶导数,

且广。1，则宗=.

解:方程"⑴=e〉ln29的两边对x求导，得

ef(y)+xf'(y)y'ef(y)=eyyrIn29

因e，In29=xe”>),故工+/'(>)；/=y'，即>'=-------,因止匕

力=y〃=_]+〃(y)y'

dx2,x2(l-f(y))m-尸(y)f

=/"(y)___________]=〃(y)-[1-八疥

一Al-fXy)]3X2(l-f(y))~X2[l-f(y)]3

二、(5分)求极限功("+/'+--+6"中,其中，是给定的正整数.

%一°n

解:因

./lx..^nxex./Lx..^nx“e

「*+eH--------1-e-「-e+eH--------1-e—n-

hm(-----------------------尸=hm(1+-----------------------------)x

%.on%.°n

故

八%.Jlx..^nx-八

.「e+eH-------Ye—ne

A=lim-------------------------------

%一。nx

八%.2x..^nx

「e+eH--------Fe-n

-elim----------------------------

%一。nx

x2x

「e+2eH--------F1+2H--------1-nn+1

二elim---------------------------二e--------------------------e

%一。nn2

因此

八%।八2%.."en+\

「H-------丁

,e+ee-A2

lim(-----------------------尸=e=e

■x—O〃

三、(15分)设函数〃x)连续，g(x)=『/(Mdt,且=A为

常数，求gG)并讨论g，(x)在x=O处的连续性.

解：由lim3=A和函数/(%)连续知，

…X

/(O)=lim/(x)=lim%lim=0

xf0x—>0xf0%

因g(x)=J：/(Md/，故g(0)=J；/(O)dz=/(0)=0，

因此，当xw0时，g(x)=与7(〃)d〃，故

XJo

「/O)dK=lim3

limg(x)=lim-------------=/(0)=0

x->0%—0xxfO1

当“0时,

g，(x)=--yr/(w)du+，

XJoX

[i*%r%

g'(0)=limg(x)—g(O)=5X」'")"=.=Jim=4

%-。x%-。X%-。X1。2x2

「，,、「r1「*,/XJ/(x)3「/(x)「1、』.AA

hmg(x)=hm[-/(M)dM+--]=to---hm—^f(u)du=A--=-

这表明g，(x)在x=0处连续.

四、(15分)已知平面区域£>={(x,y)|OWxW乃,OWy<乃}，L为。的

正向边界，试证:

(1)Jxesinydy-ye-sinxdx=，3M，dy-y*Xdx;

LL

(2)Jxesin-ye-W>|^2.

证：因被积函数的偏导数连续在。上连续，故由格林公式知

(1)<[xesinydy-ye-sinxdx=ff—(xesiny)-—(~ye-sinx)dxdy

*及\_dxdy_

=jj(esiny+e-sinA)dxdy

D

fxe-sin-vdj-jesinAdx

L

=ff-l-(xe-smy)-l-(-yesndxdy

/\_dxdy_

D

而D关于x和y是对称的，即知

JJ(esiDy+e-sillx)dxdj=JJ("疝，+esinxyixdy

DD

因此

Jxesinydj-丁".'口=,觉5ydy-yesinxdx

LL

(2)因

24

£+/=2(1+1t■+%…)22(1+/)

故

2

eSinx+e-sinx>2+sinx=2+1—C0s2x=5-cos2x

22

由

J死1"，虫-ye^y^x=JJ(esinv+e-sinx)dxdy=JJ(e5y+esinx)dxdy

LDD

知

JxesSdy-ye-sil,vdx--JJ(esiny+e-sinx)dxdy+-JJ(e-siny+esinx)dxdy

L2o2D

=-JJ(*'+e-siny)dxdy+-jj(e-sinjc+esinv)dxdy=JJ+esinjc)dxdy

2。2。D

=寸(L+eSinx)dx>寸5-；s2x匕=g%2

MP卜*ydy-ye-sinydx>-n-

L2

xx

五、(10分)已知％=x"+e3y2=xe+e~,%=又+e?*-e-是某

二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

xx

解设%=xe，+e2x,y2=xe+e~,乂=xe*+e?*-1是二阶常系数

线性非齐次微分方程

y"+by'+cy=f(x)

的三个解，则为-H=广一筋和%-「都是二阶常系数线性齐

次微分方程

y"+by'+cy=0

的解，因此y"+R+0=O的特征多项式是("2)(X+l)=0,而

y"+by'+cy=Q的特征多项式是

»+bA,+c=0

因此二阶常系数线性齐次微分方程为y〃-V-2y=0,由

”-乂-2%=/(x)和

y；^ex+xel'+2e2x,2ex+xex+4e2x

矢口，f(x)=弁—工—2%=xe*+2/+4e2'-(xex+ex+2e2x)~2(xex+e2x)

=(1-2x)ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为

y"-y'-2y=ex-2xex

六、(10分)设抛物线y=ax2+/?x+2Inc过原点.当OWxWl时,y>0,

又已知该抛物线与x轴及直线x=l所围图形的面积为;.试确定

a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

解因抛物线丁=。/+6x+21nc过原点，故c=l,于是

i

a%b2ab

j=/(ax2+Z?x)dt=——XH---X—+—

32032

即

2

b=-(X-a)

而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积

112

V(。)=%2+/?x)2dt=%2+—(l-4Z)X)2dt

2

=mf%4dt+»g"(1-rMt+7r：(1_〃)2f%2dt

——72^/2+7T-4Z(1-Q)+71(1-Q)2

即

、12142

V(a)——7Cd+7T—Q(1-Q)+71亍y(1-Q)

令

V，(a)=-7ici+yr_(1-2Q)-7i(1­〃)=0，

得

54Q+45-90Q-40+40〃=0

即

4a+5=0

因此

«=b=~,c=l.

42

七、(15分)已知”.(x)满足4(X)=M"(X)+X"(〃=L2「・・),KM„(1)=-,

n

求函数项级数£M〃(X)之和.

n=l

解

nlx

〃；(%)=un(x)+x~e,

即

y_y=x"

由一阶线性非齐次微分方程公式知

y=e*(C+J%"T(ix)

即

无〃

y=e"(c+—)

n

因此

n

%⑴=/(C+一x)

n

由8=",<l)=e(C+‘)矢口，C=0,

nn

于是

xnex

“(x)=------

nn

下面求级数的和：

令

nX

0°8Yp

S(x)=2%(x)=£­

n=ln=l几

则

8YnpX00px

g(x)=£(%"+*)=S(x)+£尤"=S(x)+J

”=in”=i1-%

即

S'(x)-S(x)=-^-

1-x

由一阶线性非齐次微分方程公式知

S(x)=ex(C+dx)

00

令x=0,得0=S(0)=C,因此级数Z%(x)的和

n=l

S(x)=—/ln(l-x)

八、(10分)求一3「时，与之/等价的无穷大量.

n=0

解令/（，）=%’,贝U因当0<xvl,t£（0,+oo）时，/⑺=2比*lnx<0.

%）=/=/%在（0,+8）上严格单调减。因此

广+8x—-r—,x-,广〃r+oo

Jo/⑺df=Zjrn+“l/⑺drwZ/（"）</（°）+£L/⑺由=1+Jo/⑺山

Jfo4-00/⑺由<Zw/5）<1+Jpo4-oo/⑺dr,

>/（"）=£x"，

In——

lim—^=lim3=l

%—>11—Xx—>1—1

r+oo八0+8?

Io/⑺山=Joxdf=

所以，当x-1-时，与£/等价的无穷大量是匕上。

n=02\1—X

2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数

学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的

试题。）

一、（25分，每小题5分）

（1）设X”=（1+。）（1+。2）（1+/）,其中求lim%

(2)求1血"，(1+!]o

18lX)

sxn

(3)设s>0,£e~xdx(n=1,2,)o

(4)设函数/⑺有二阶连续导数，r=ylx2+y2,g(x,y)=f^\,求

S-gd2g

--------------

dx2dy2

⑸求直线“匚厂与直线与=与的距离。

2222

解：(1)xn=(l+a)(l+a)(l+tz)~xn=(l-a)(l+a)(l+a)(l+a)/(1-a)

(1—4)(1+/)(i+/)/(1_“)(1-a2^)/(1-a)

2，，+l

limxn=lim(l-a)/(l-a)=l/(1-a)

n—»oon—>oo

xx2

(1Y.lne-(l+-).x2ln(l+—)-x

⑵lime*l+—=lime"=lime”

x—>coIJQJX—>oox—>00

令1,则

(ln(l+g)l/(l+f)—l1」

原式=lime,2=lime2t=]ime2(1+0=e3

z->0r->0t->0

poo1poo1poo

sxsxsxn

In=£e-x"dx=(--)£x"de-=(—与『-£e-dxA=

-Ce^x^dx--1-n5T)I--*/-工

5Jos"s24一

(15分)设函数7(x)在(-%也)上具有二阶导数，并且

fix)>0,limf(x)=a>0,lim八尤)=分<0,且存在一点x0,使得/(x0)<0。

X—>4-00%—>—00

证明：方程/(X)=0在(7,+8)恰有两个实根。

解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)

有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开：

/(x)=/(O)+/(O)x+^^^

因为二阶倒数大于0,所以

lim/(x)=+oo,limf(x)=-oo

x—>4-00X—>-00

证明完成。

三、(15分)设函数y=/(x)由参数方程卜二力+乙,“I)所确定，

、y=w(t)

其中“⑺具有二阶导数，曲线好/)与丫=]7"4+：在”1出相

以2e

切，求函数”⑺。

解：(这儿少了一个条件二=)由安〃⑺与尸在"1

axJi2e

出相切得

〃小⑴=<3，"⑴,/八=一2

2ee

dy_dyIdt_〃⑺

dxdxIdt2+2%

d2y_d{dy/dx)_d{dy/dx)/dt_〃(/)(2+2/)-2〃⑺_

dx2dxdxldt(2+2/)3

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、(15分)设4〉0a=t4，证明：

k=l

+00c

(l)当1>l时，级数X%收敛；

n=\

(2)当心1且s「。o(…。o)时，级数£熹发散。

n=\

解：

(I)。“>0,S”单调递增

当收敛时，2<与，而2收敛，所以3收敛;

n=lSnS\S\Sn

当£an发散时，lims'=oo

n—>co

n=l

4s“-s,I,p,dxdx_

s『一一A"广Lx"

所以,

而「包二色+［加Jr；""+仁=左,收敛于k。

a

JMxs1281-as/a-1

所以，收敛。

n=lS〃

（2）lim%=00

〃98

00占

所以2%发散，所以存在小使得£为之％

n=ln=2

kT

依此类推，可得存在1<左<&<…

使得成立，所以玄2之

勺SnZ1Sn2

00„

当〃“oo时，Nfco,所以£一发散

«=1%

五、（15分）设/是过原点、方向为3民为，（其中〃+f+/2=i）的

直线，均匀椭球

222

5+今+彳《1,其中（0<c<b<a,密度为1）绕/旋转。

abc

（1）求其转动惯量;

(2)求其转动惯量关于方向(名分⑺的最大值和最小值。

解：

(1)椭球上一点P()到直线的距离

d2=(l-a2)x2+(1-/32)y2+(l-/2)z2-2a(3xy-2Pyyz-lyazx

n孙#=nyzdv=n=0

OQO

由轮换对称性,

jjjx2dV=—ncc'bc.jjjy2dV=—7rab3c

015cl5

I=JJJd2dV=(1-)—7ra3bc+(1-)—7rab3c+(1-/2)—7tab(?

c151515

=白血(1")"(1-尸2附+(1一/2)闩

(2)a>b>c

1

.•.当/=1时，/max='Tiabc{a+b?)

当时，/.22

a=1null=—]57iabc(、b+c/)

六、(15分)设函数°⑴具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑

的简单闭曲线c上，曲线积分/◎的值为常数。

(1)设L为正向闭曲线(X-2)2+V=I,证明,可等它=0；

(2)求函数夕⑴；

(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求f竺竽绊也。

，％+y

解:

(1)L不绕原点，在L上取两点A,B,将L分为两段小L],

再从A,B作一曲线4，使之包围原点。

则有

(p(x)dy_r2xydx+(p(x)dyr2xydx+(p(x)dy

!x4+y2一」/+丁八/

(2)令八—Q=%

X+yX+y

由(1)知/-名=0,代入可得

dxdy

0(x)(九4+》2)_破幻4%3-2x5-2xy2

上式将两边看做y的多项式，整理得

y2(p(x)+(p(x)x4-o(x)4%3=y1(-2x)+2x5

由此可得

(P(x)=-2x

(P\x)x4一奴犬)4%3=2x5

解得：＜pM=-x2

(3)取Z为母+〉2=3,方向为顺时针

dQ9P八

-----二u

dxdy

+(p(x)dyrIxydx+(p{x}dyp2xydx+(p{x}dy

%,+'/J

42

c+LJLx+y

J2xydx-x^dy=n

L~

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数

学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的

试题。）

一.计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

1

z.、-

sinxu-cosx

(1).求limI%J

%—>0

解：（用两个重要极限）:

1xsinx—x

Z.、-

「smxcos%「仁SinX—X)sinXTx(l-cosx)

lim------=lim1+----------

IXXf01%)

■

「sin「cosx-1

lim—：-x--x-lim----lim^

sinx-x%—0321

—X3Xf0—X2——X

1•x(1—cosx),23

=limei)2=e2

x—>0

q「111、

(2).求lim-------F--------1-...+------；

“xl"+ln+2n+nj

解：(用欧拉公式)令％,

n+1n+2n+n

由欧拉公式得l+'++--ln«=C+o(1)，

2n

则l+』++-+-J—++--—ln2«=C+o(1)，

2nn+12n

其中，表示〃.8时的无穷小量，

二两式相减，得：xn-ln2=o(1),/.limx=ln2.

”一onn

x=ln(l+/1d2y

(3)已知17求

y-t-arctanddx2

dx2e2/dy_]ddy

解：—

dtl+e2t，dt1+e2rdx2e2r2/'

l+e2r

d2y_d（tfyA1d—21+/'1+/）（』一2）

---Z--------•

2t4?

dxdtydx7dx2e2/

dt

二.（本题10分）求方程（2%+y-4”%+（%+y-l）dy=0的通

解。

解：设夕=2%+y—4,Q=%+y—l,则A/r+Q6fy=0

名二又=1,.•・尸去+。办=0是一个全微分方程，设

dydx

dz=Pd-x

z=J力=jPdx+Qdy-+y-4）公+（x+y-\）dy

十*该曲线积分与路径无关

z=J。（2x+y-\）dy=x1-^x+xy-\--y2-y

00

三.（本题15分）设函数f（x）在0的某邻域内具有二阶连续导

数，且/（o）j'（o）,r（o）均不为o,证明：存在唯一一组实数

,,,KfW+k2f（2h）+k3f（3h）-/（O）_

匕，心，左4lini--0o

§5h

证明：由极限的存在性

L°E（*h）左+（2以（升：

即%+&+&T]/(O)=O，又/(O)wO，/"1+&+&二l①

由洛比达法则得

lim匕/㈤+右以2蛆//例）T⑼

2。h2

二HmV㈤+2M"（2/Q+3V'（3/Q=0

/―。2h

由极限的存在性得岫[e）+2k2f（2h）+（3切=0

即（匕+2左2+3左3）/（。）=。，又/⑼wO,」.J+2左2+3收二。②

再次使用洛比达法则得

lim"J(M+2V'(2/Q+3V'(3/z)

J。2h

=iim""")+的/"(2人)+9例)二0

修。2

(尤+4k2+9k3)f'(O)=Of(O)w0

匕+4k2+9k3=0®

左1+左2+左3=1

由①②③得匕，左2,%是齐次线性方程组，h+2左2+3/=0的解

k[+4k、+9k3=0

ri11]

设A=123,x=左21fb—0,则Ax=6,

u49,R)

(\ioiri

增广矩阵A*=12300—则

(14"。0

R(A,b)=H(A)=3

所以，方程Ax=Z?有唯一解，即存在唯一一组实数匕水2,占满足

题意，

且k[-3,k、——3,k?—1o

222

四.（本题17分）设之：0+=+==1,其中a>0>c>0,

ab~c~

Z：z2=%2+y2,「为心与4的交线，求椭球面E］在「上各点的

切平面到原点距离的最大值和最小值。

解：设「上任一点/（%,y,z）,令方（羽y,z）=*•+亲~+3-1，

则F'二"F'=—F

x丁,.••椭球面订在r上点M处的法向量

/，yzC

为：

XVzA..

t―—yy弓在点M处的切平面为口：

IabcJ

2(X-%)+"y-y)+[(Z-z)=0

LA/ULx

原点到平面ri的距离为d=.=，令

^a4b4c4

22

G（a力吟号T；贝Ijd=,——

,G(x,y,z)

222222

现在求G(4)2=——4在条件—+--H----24，

dLXCCLDC

z2=f+y2下的条件极值,

令

晨222)

卜斗+二-1+2(x2+y2-z2

”(…)吟+齐+亍+4b2c22V

则由拉格朗日乘数法得:

口，2%2x

%=F+4=+2%兀=0n

aa~

Hy=*+4*+2小=。

bb

.2z八2z八

<

“z=F+4=-2冷=0，

cc

%2y2z21c

~7—r—；—1=0

a2b2c2

x2+y2-z2=0

x=0rX2-Z2

解得,cb2c2或,a2+c2

12

b+c、y=。

A4+，

对应止匕时的G（羽y,z）=（、——八或

'7b2c2b2+c2]

a4+c4

G（x,y,z）=

22/2,2\

ac（a+c\

2222

,,,,,,7

此n时的lb+或c.Ekla+c

又因为〃>b>c>0,贝ij4<4

所以，椭球面4在「上各点的切平面到原点距离的最大值和最小

21

/上八口,M2+C,7b+C

值分别为：d=acA-,4二----

2\a+c\b+c

五.(本题16分)已知S是空间曲线'+"-二1绕y轴旋转形

[z=0

成的椭球面的上半部分(220)取上侧，口是S在尸(羽y,z)点

处的切平面，是原点到切平面II的距离，尢/表示S

的正法向的方向余弦。计算：

(1)jj——-dS；(2)z(X%+34y+uz)dS

解：(1)由题意得：椭球面S的方程为％2+3y2+z2=l(zZ0)

令方=_?+3y2+z2—1,贝i]F；=2%,F；=6y，E=2z,

切平面II的法向量为〃=(%,3y,z),

II的方程为了(X—%)+3y(y—y)+z(Z—z)=0,

原点到切平面口的距离

/、x2+3y2+z2_