2024年陕西西安交大附中少年班自主招生数学试卷真题（含答案详解）

年陕西省西安交大附中少年班自主招生数学试卷1．已知a+b+c+d＝0，abcd＞0，则＝．2．已知，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°，则AB＝．3．阳光与水平面成60°角，皮球在阳光下的影长为，则这个皮球的直径为cm．4．如图，△ABC，△DEF是等边三角形，边长分别为3、2，求△CDF的内切圆的半径．5．如图所示，每个方格均为正方形，线段AB与CD交于点P，求sin∠BPD的值．6．如图，正三角形的边长为1，点C与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点B在数轴上对应的数字．7．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？8．已知，一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x2+2x，P为y2上一动点，求P到y1的距离的最小值．9．已知整数x，y满足xy＝22﹣3x+y，求xy的最大值．10．已知，求的值．11．如图，在矩形ABCD中，有正方形AEGF，正方形JHMI，正方形KLCM，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．12．已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11+⋯，按照此规律，若m3分裂后，有一个奇数是2023，求m的值．13．已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求3a+n，3b+n，3c+n，3d+n，3e+n的平均数和方差．14．平面直角坐标系中，已知直线AB：，过A作AC垂直于AB，并使AC＝AB，求直线BC的解析式．15．球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下两种变换：①f（a，b）＝（b，a），如：f（1，3）＝（3，1）；②g（a，b）＝（a，﹣b），如：g（1，3）＝（1，﹣3）；那么f（g（5，﹣6））＝．17．我们用min表示两个数中的较小数，如min{5，3}＝3，求min（﹣x2﹣x，2x）的最大值．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解为an，bn，求++…+的值．19．假设队伍中共有2人现列队需要，每10人中走出一个人，当x除以10的余数大于5时，则在余下的人中再走出一人，则共走出多少人（）A． B． C． D．20．如图，C为半圆上一点，AB为直径，沿BC翻折与AB交于点D，沿BD翻折交BC于E，若E为BC中点，求的值．

2024年陕西省西安交大附中少年班自主招生数学试卷参考答案与试题解析1．已知a+b+c+d＝0，abcd＞0，则＝0．【分析】根据a+b+c+d＝0和分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．【解答】解：∵a+b+c+d＝0，∴b+c+d＝﹣a，a+c+d＝﹣b，a+b+d＝﹣c，a+b+c＝﹣d，∴＝+++＝﹣（），∵abcd＞0，∴要么都是正数，要么两负两正，∵a+b+c+d＝0，∴a、b、c、d中两正两负，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，﹣（）＝﹣（1+1﹣1﹣1）＝﹣0＝0，故答案为：0．【点评】本题考查分式的化简求值、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．2．已知，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°，则AB＝2．【分析】延长AF、EC交于点G，过点A作AH⊥BG于点H，根据平行四边形的性质利用AAS证明△ADF≌△GFC，根据全等三角形的性质求出AG＝6＝AE，进而推出△AEG是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BC＝CG＝4，BG＝8，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，延长AF、EC交于点G，过点A作AH⊥BG于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，∵F分别是CD的中点，∴DF＝CF，∴△ADF≌△GFC（AAS），∴AF＝FG＝3，∴AG＝6＝AE，又∠EAG＝60°，∴△AEG是等边三角形，∴AG＝EG＝6，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，设BE＝EC＝x，则AD＝2x，∴CG＝2x，∴EG＝3x＝6，∴x＝2，∴BG＝8，在Rt△AGH中，∠G＝60°，AG＝6，∴AH＝AG•sin60°＝6×＝3，HG＝AG＝3，∴BH＝BG﹣BH＝5，∴AB＝＝＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．3．阳光与水平面成60°角，皮球在阳光下的影长为，则这个皮球的直径为15cm．【分析】证明△AOC为直角三角形，得到AD＝OD•tan60°＝r，同理可得：CD＝r，即可求解．【解答】解：如图，求的圆心为点O，AC为影长，阳光m和阳光n与AC的交点分别为点A、C，m、n和圆相切于点B、F，连接EF并延长交AC于点E，则m∥n，则∠BAC＝60°＝∠FCE，则∠OAC＝∠∠BAC＝30°，同理可得：∠OCD＝60°，则△AOC为直角三角形，设圆的半径为r，则AD＝OD•tan60°＝r，同理可得：CD＝r，由AC＝AD+CD得：，∴，则直径为15cm．故答案为：15．【点评】本题考查的是圆的性质，涉及到解直角三角形、涉及到平行线的性质、切线的性质等知识，有一定的综合性，难度适中．4．如图，△ABC，△DEF是等边三角形，边长分别为3、2，求△CDF的内切圆的半径．【分析】根据条件证出三个小三角形全等，根据等边三角形的边长求出两个等边三角形的面积，进而求出每个小三角形的面积，设△CDF的内切圆的半径为r，根据三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵∠EFC是△AEF的外角，∴∠EFD+∠DFC＝∠A+∠AEF，又∵△ABC，△DEF是等边三角形，∴∠EFD＝∠A＝60°，EF＝DF，∴∠DFC＝∠AEF，∴△AEF≌CFD，同理可得△AEF≌△BDE（AAS），∴AF＝DC，∴CD+CF＝AF+CF＝3，∴△CDF的周长为5，设△CDF的内切圆的半径为r，∴△CDF的面积为r（DF+DC+CF）＝（S△ABC﹣S△DEF）＝（×32﹣）＝，即，解得：r＝．【点评】本题主要考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，熟练掌握相关内容是解答本题的关键．5．如图所示，每个方格均为正方形，线段AB与CD交于点P，求sin∠BPD的值．【分析】如图，作AM∥CD，连接BM，则△ABM为直角三角形，∠BPD＝∠A，即可求解．【解答】解：如图，作AM∥CD，连接BM，则△ABM为直角三角形，∠BPD＝∠A，则sin∠BPD＝sinA＝＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，涉及到平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．如图，正三角形的边长为1，点C与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点B在数轴上对应的数字．【分析】由题意得，正三角形向右翻转的一个周期为3，且翻转一次后B落在1处，由此规律进行解答即可．【解答】解：由题意得，翻转1次，B落在1，翻转2次，A落在2，翻转3次，C落在3，周期为3，∵2023÷3＝674……1，且翻转一次后B落在1处，∴正三角形向右翻转2023次，此时B落在数轴上，则其对应的数字为1+674×3＝2023．【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是找出正三角形翻转的规律．7．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．8．已知，一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x2+2x，P为y2上一动点，求P到y1的距离的最小值．【分析】过点P作PH⊥y1垂足为H，作PQ∥y轴，交y1于点Q．设P（t，﹣t2+2t），则Q（t，t+4），PQ＝t+4﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t+4，根据等腰直角三角形边的关系列出PH＝PQ＝（t2﹣t+4）＝（t﹣）2+即可得到最小值．【解答】解：如图，过点P作PH⊥y1垂足为H，作PQ∥y轴，交y1于点Q．设P（t，﹣t2+2t），则Q（t，t+4），PQ＝t+4﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t+4，∵一次函数y1＝x+4，∴∠PQH＝45°，∴PH＝PQ＝（t2﹣t+4）＝（t﹣）2+．当t＝1时，PH有最小值，最小值为．【点评】本题考查了二次函数的最值，列出PH的函数关系式是解答本题的关键．9．已知整数x，y满足xy＝22﹣3x+y，求xy的最大值．【分析】先将xy＝22﹣3x+y因式分解为（x﹣1）（y+3）＝19，x，y是整数，可得四种结果，分别求解计算，即可得出答案．【解答】解：∵xy＝22﹣3x+y，∴x（y+3）﹣y＝22，∴x（y+3）﹣（y+3）+3＝22，∴（x﹣1）（y+3）＝19，∵x，y是整数，∴或或或，解得：或或或，则xy＝32或xy＝0或xy＝﹣40或xy＝72，故当时，xy＝（﹣18）×（﹣4）＝72，此时xy的值最大，为72．【点评】本题考查的是因式分解的应用，解题的关键是正确将原式进行因式分解．10．已知，求的值．【分析】将已知条件化为x﹣y＝﹣xy，把变形为，然后整体代入求值即可．【解答】解：由可得y﹣x＝xy，即x﹣y＝﹣xy，∴原式＝＝＝＝＝．【点评】本题考查了分式的加减以及分式的值，得出x﹣y＝﹣xy是解题的关键．11．如图，在矩形ABCD中，有正方形AEGF，正方形JHMI，正方形KLCM，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．【分析】先设FG与JI的交点为X，EG与JH的交点为Y，则设GX＝x，JY＝y，正方形AEGF的边长为a，正方形JHMI的边长为b，正方形KLCM的边长为c，可以表示出所有的边长，然后可以表示出六边形EYHKLD的周长和四边形FBIX的周长，接着可以求出六边形EYHKLD的周长﹣四边形FBIX的周长的值，即可得出结果．【解答】解：设FG与JI的交点为X，EG与JH的交点为Y，则设GX＝x，JX＝y，正方形AEGF的边长为a，正方形JHMI的边长为b，正方形KLCM的边长为c，∴FX＝a﹣x，XI＝b﹣y，ED＝b+c﹣x，EY＝a﹣y，YH＝b﹣x，HK＝b﹣c，KL＝c，DL＝a+b﹣y﹣c，∴四边形FBIX的周长＝EB+BI+IX+FX＝b﹣y+a﹣x+b﹣y+a﹣x＝2a+2b﹣2x﹣2y，∴六边形EYHKLD的周长＝EY+YH+HK+KL+DL+ED＝a﹣y+b﹣x+b﹣c+c+a+b﹣c﹣y+b+c﹣x＝2a+4b﹣2y﹣2x，∴六边形EYHKLD的周长﹣四边形FBIX的周长＝2a+4b﹣2y﹣2x﹣（2a+2b﹣2x﹣2y）＝2b，∴只要知道正方形JHMI的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差，∴只要知道正方形JHMI的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．【点评】本题考查的是列代数式，解题的关键是设未知数表示出各边的边长．12．已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11+⋯，按照此规律，若m3分裂后，有一个奇数是2023，求m的值．【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2023的是从3开始的第1011个数，然后确定出1011所在的范围即可得解．【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3分裂成m个奇数，∴从23到m3的奇数的个数为2+3+4+⋯+m＝，∵2n+1＝2023，∴n＝1011，∴奇数2023是从3开始的第1011个奇数，∵＝989，＝1034，∴第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝45．【点评】本题考查了有数的乘方及有理数的加法，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．13．已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求3a+n，3b+n，3c+n，3d+n，3e+n的平均数和方差．【分析】根据平均数，方差的公式进行计算．【解答】解：依题意，＝（a+b+c+d+e）＝m，∴a+b+c+d+e＝5m，∴3a+n，3b+n，3c+n，3d+n，3e+n的平均数为[（3a+n）+（3b+n）+（3c+n）+（3d+n）+（3e+n）]＝×（3×5m+5n）＝3m+n，∵数据a，b，c，d，e方差为g，S2＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2]＝g，∴数据3a+n，3b+n，3c+n，3d+n，3e+n方差S′2＝[（3a+n﹣3m﹣n）2+（3b+n﹣3m﹣n）2+（3c+n﹣3m﹣n）2+（3d+n﹣3m﹣n）2+（3e+n﹣3m﹣n）2]＝[32（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2]＝9g．【点评】本题考查了平均数、方差的计算．关键是熟悉计算公式，会将所求式子变形，再整体代入．14．平面直角坐标系中，已知直线AB：，过A作AC垂直于AB，并使AC＝AB，求直线BC的解析式．【分析】作CD⊥x轴于D，通过证得△OAB≌△DCA（AAS），求得C点的坐标，然后利用待定系数法确定直线BC的解析式．【解答】解：作CD⊥x轴于D，∵直线AB：，∴A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB+∠CAD＝90°，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠CAD＝∠OBA，在△OAB与△DCA中，，∴△OAB≌△DCA（AAS），∴AD＝OB＝3，CD＝OA＝4，∴OD＝4﹣3＝1，∴C（1，﹣4），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（0，3）、C（1，﹣4）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣7x+3．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得点C的坐标是解题的关键．15．球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？【分析】设球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是42场，据此列出方程．【解答】解：设有x支队伍，根据题意得：x（x﹣1）＝42，解得：x＝7；答：有7支队伍．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是抓住“每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场”列等量关系．16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下两种变换：①f（a，b）＝（b，a），如：f（1，3）＝（3，1）；②g（a，b）＝（a，﹣b），如：g（1，3）＝（1，﹣3）；那么f（g（5，﹣6））＝（6，5）．【分析】根据题中给出的两种变换解答即可．【解答】解：∵f（a，b）＝（b，a），g（a，b）＝（a，﹣b），∴f（g（5，﹣6））＝f（5，6）＝（6，5）．故答案为：（6，5）．【点评】本题考查的是点的坐标，根据题意弄清两种变换方法是解题的关键．17．我们用min表示两个数中的较小数，如min{5，3}＝3，求min（﹣x2﹣x，2x）的最大值．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象，根据min的定义解答即可．【解答】解：令﹣x2﹣x＝2x，解得x1＝﹣3，x2＝0，画出函数y＝﹣x2﹣x，函数y＝2x的图象如图：由图象得，当x＝0时，min（﹣x2﹣x，2x）的最大值为0．【点评】本题主要考查了一次函数、二次函数的图象与性质，读懂题目信息并理解“min”的意义是解题的关键．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解为an，bn，求++…+的值．【分析】先根据根与系数的