动能和势能课件

功和能与碰撞问题前面一章中，我们以牛顿运动定律为基础，在引入力的冲量的基础上，推导出了质点和质点系的动量定理，进而得到了质点系的动量守恒定律；本章我们以牛顿运动定律为前提，在引入功的基础上，推导出质点和质点系的动能定理，再加上保守力和势能的概念，推导出功能原理和机械能守恒定律。1§4.1功和功率一、恒力做功说明:质量为m的质点在恒力的作用下发生位移,则力对质点m所做的功

2(4)若作用于质点m上有许多外力即：合力的功等于各个力做功的代数和。3二、变力的功质点m在变力的作用下沿曲线由a点运动到b点如图所示。为了计算变力做功，将A到B路径分割成无穷多个小的微元，在该微小的位移内可将力视为恒力。则在该微元内力做功为：则由a点到b点变力的功是：bao4在直角坐标系下：

则由a点到b点变力的功是：5请说明曲线下面积所代表的物理意义？Aabxx0x例1：重力场质点m做平抛运动，计算由a处落到

b处重力的功。ab6例2：计算弹簧弹力F=－Kx的功。以平衡位置为o点建立ox坐标系，计算质点m由运动到处弹簧弹力的功。om由例1、例2结果可知，重力、弹簧弹力做功均与物体运动的路径无关，只于始末位置有关。7例3：如图所示质点的受力Y(m)X(m)A(0,1)B(1,1)D(1,0)o计算：由OAB;ODB外力所做的功。（1）OAB

8（2）ODB

由以上例题可知：对于某些力，其做功仅与质点运动的始末位置有关，而与质点所经历的路径无关－－保守力（重力、弹簧弹力等）；而一些力做功与质点所经过的路径有关－－非保守力（摩擦力、牵引力等）。9三、功率——反映做功快慢的物理量

平均功率：瞬时功率：定义：在时间内力做功为10§4.2动能定理一、质点的动能定理力作用于质量为m的质点上，在时间内质点由A点运动到B点，则力的功为：由牛顿第二定律有：11即:作用于质点m上合外力的功等于质点动能的增量．动能与动量不同，动能是标量，动量是矢量，动量的改变取决于合力的冲量，而动能的改变取决于合外力的功.说明４.动能定理适用于惯性系．３.动能定理给出了过程量与状态量之间的关系．２.质点的运动状态确定了，则动能就确定了，动能是运动状态的函数，反映质点运动状态的物理量，功则是与质点运动过程相联系的，是过程量．12例：如图所示单摆，将小球拉开偏离竖直线角后由静止释放，求小球摆线与竖直方向成角时小球速率．分析：运动过程中小球受重力，绳子张力，其合力是变力（与小球的位置有关）．开始时小球速率为０，用动能定理求解方便。由于运动过程中绳子的张力不做功，故合外力的功：13由动能定理有：14例题：物体ｍ由高ｈ处沿斜面下滑，然后在水平面上滑行一段后停止于x处.斜面、水平面的摩擦系数为,摩擦力做功:斜面部分:证明:分析受力情况如图所示。15水平面部分:故:由于初、末的动能都为零,故16设质点系由n个质点组成作用于每个质点上的力可以分为外力和内力(相对于质点系而言），对于每一个质点应用质点动能定理：二、质点系的动能定理17两边求和：式中:

质点系的末动能质点系的初动能作用于质点系上合外力的功质点系合内力的功(作用力的功与反作用力的功之和不一定为零)即:作用于质点系的功等于质点系动能的变化量。18求:卡车滑行距离。（木箱与卡车同时静止）例题：质量M的卡车上载质量为m的木箱，以速度v沿平直路面行驶，突然急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一段距离后静止，木箱在卡车上向前滑行了一段距离，已知木箱与卡车之间滑动摩擦系数为，车轮与地面间滑动摩擦系数为，19解：将卡车与木箱分别当作两个质点，组成质点系，它的受力情况分别是：重力；地面支持力;木箱压力；木箱相对于车箱滑动时的滑动摩擦力;地面摩擦力;重力,卡车对木箱支持力，卡车对木箱的滑动摩擦力卡车：木箱:20均为外力，但仅有外力做功，而是内力，但仅有做功。则合外力做功为：则合内力做功为：21则由质点系的动能定理可得：（实际上作用力与反作用力的总功，等于木箱与卡车之间的摩擦力与木箱相对卡车位移的标积）22§4.3势能一、保守力与非保守力（根据力做功的特点来区分）万有引力的功仅与质点的的初始位置（）、终止位置（）有关而与质点所经过的路径无关。例：在一静止质点质量为M的引力场中有一质量为m

的质点由运动到，讨论万有引力的功。

23重力做功：力沿一闭合路径做功为零，则力称为保守力。非保守力：力做功与路径有关。（摩擦力、磁场力）即：若力满足：弹簧弹力做功：保守力：力做功仅由质点的始末位置决定而与受力质点运动所经历的路径无关。（重力、万有引力、弹簧力、静电力）24势能（位能）是在保守力概念基础上提出的一个概念。对于保守力来说，受力质点的始末位置一定，则力做功便唯一确定。功是受力质点始末位置的函数－－该位置函数就是势能。即：保守力的功等于相应势能增量的负值。以分别表示质点在始末位置的势能，则保守力的功若规定保守力做功起始位置的势能为零势能。则质点在任一位置上的势能二、势能的概念25势能零点的选择是相对的，例如，重力势能可表示为零点可根据需要选取弹性势能。（零势点虽然可以任意选取，但若选择弹簧原长处为势能零点，弹性势能的表达式简单地表示为：万有引力势能的零点选择无穷远处为零势能。故万有引力势能：由于势能与物体间相互作用的保守力相联系，故势能属于以保守力相互作用的物体组成的物体系或质点组所共有。26讨论保守力时，互施保守力作用的两质点之一处于静止，若质点系中几个质点都在运动，情况会是什么样的？三、势能是物体相对位置的函数前面的讨论中我们讲到两运动质点相互作用力所做功的和，等于将其中任一质点视为静止时，相互作用力对另一质点在其相对位移上所做的功。由于相互作用的力是保守力，则作用力与反作用力做功的代数和只与两质点始末相对位置有关，在这样两个质点组成的质点系势能的增量等于作用力与反作用力保守力所作代数和的负值。27若质点系中包含多个质点，它们之间相互作用力是保守力，则该质点系内一切保守力做功的代数和仅与各个质点始末相对位置有关，与各个质点运动路径无关。28§４.4功能原理和机械能守恒定律质点组的动能与势能之和称为质点组的机械能，功能原理和机械能守恒定律都是说明质点系机械能变化规律的，可以由质点动能定理，以及势能的概念推导出来。一、质点组的功能原理

由质点组的动能定理有：29即：一切外力和一切非保守力内力做功的代数和等于质点组机械能的增量。——质点组功能原理30说明（１）只有外力，非保守力做功才会引起系统机械的改变；（２）保守内力的功虽然会引起每个质点动能的改变，引起质点系动能的改变，但不会引起质点系机械能发生改变。（３）功能原理和动能原理并无本质上的不同，只不过功能原理中把保守内力的功用相应势能增量的负值来计算，在实际应用中更方便。31二、质点组的机械能守恒定律由质点系组的功能原理可知：若则：机械能守恒的条件－－“外力不做功，非保守内力做功代数和为零”32例1：一轻弹簧与质量为和两个物体相连结，至少用多大的力向下压才能在此力撤去后把下面物体带离地面？

解：选弹簧处于原长为坐标原点

o建oy坐标系。开始时在重力作用下弹簧被压缩的位移为，此时重力与弹簧的弹力平衡。33设在外力的作用下将弹簧压缩到处，撤去外力后可刚好将提离地面，在处由力的平衡条件有：撤去外力到跳起刚好拉动整个过程34此时弹簧的拉力刚好提起即:求解上述方程，可得：开始时机械能:弹起，刚好提离时:中（选、弹簧、地球构成系统）机械能守恒，（选坐标原点为重量势能，弹性势能零点）35例2：利用机械能守恒定律讨论第二宇宙速度和第三宇宙速度(逃逸速度)。解：第一宇宙速度即为环绕地球表面做匀速率圆周运动的速度：36万有引力势能：(1):第二宇宙速度即为脱离地球引力范围的速度。选飞船和地球构成系统。则内力仅有保守力—万有引力设飞船以飞行可脱离地球，则动能：地球的动能为：当飞船刚好脱离地球引力范围时，飞船的动能为0，引力势能达最大值0，系统仅有地球动能，由机械能守恒定律有：37

第三宇宙速度是指飞船脱离太阳系所需速度，当飞船以发射时，则：一部分用于克服地球引力所需动能38另一部分克服太阳系引力所需动能则：若忽略其他行星对飞船的引力，则由飞船和太阳组成质点系的机械能守恒，按照类似的方法可求出。由前面的讨论可知，第一宇宙速度的倍便是第二宇宙速度即：39同样地，飞船脱离太阳引力所需速度应该是飞船随地球公转的速度的倍由于地球公转的速度为29.8，所以飞船要脱离太阳引所需速度：故：所以既要脱离地球引力又要脱离太阳引力所需要的第三宇宙速度为：40要获得如此大的速度是比较困难的，如果充分利用地球的公转，将飞船的发射方向与地球公转的方向相同，这时，飞船在离开地球时只需要相对于地球的速度为41与此相应的动能以这么大的动能就可以脱离太阳的引力。即第三宇宙速度为：42以上讨论的速度，均是在不考虑空气阻力的影响下得出速度的最小值，实际中发射飞船似的，值比理论的，值都要大。43§4.5能量的转换和守恒定律自然界中物质的运动形式除了机械运动以外还有热运动，电磁运动，化学运动等多种运动形式，不同的运动形式对应着不同形式的能量，在一定条件下，不同形式的能量之间不会发生相互转化。搓手运动：蒸汽机：线圈在磁场中运动：机械能电磁能热能机械能机械能热能44能量转换与守恒定律是自然界各种自然现象所服从的普遍规律，是物理学中最普遍定律之一。大量的实验证明，能量只能从一个物体传给其他物体或者从一种形式转化为其他形式，能量既不能消灭，也不能创生。——能量守恒和转化定律能量转换与守恒定律还可以表达成－－－－“第一种永动机不可能制成”45守恒定律的意义

物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，这是因为：第一，从方法论上看：自然界中许多物理量如动量、角动量、机械能、电荷、质量等等，都具有相应的守恒定律。利用守恒定律研究问题，而对系统始、末态下结论可避开过程的细节，（特点、优点）。46低速均适用。第二，从适用性来看：守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、守恒定律是认识世界的很有力的武器。在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立，则往往作以下考虑：

第三，从认识世界来看：47（1）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，如中微子的发现。（2）引入新概念使守恒定律更普遍化(补救)。（3）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立，如弱相互作用宇称（parity）不守恒。48

不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。

第四，从本质上看：台阶。因此守恒定律的发现、推广、甚至否定，守恒定律揭示了自然界普遍的属性—对称性。49§4.7球的对心碰撞（1）物体间的碰撞力是冲力，在发生碰撞的极短时间内，可以不考虑外力对物体运动的影响；（2）碰撞过程时间很短，而碰撞前、后运动状态的改变却是十分明显的；为了更好的研究碰撞过程中的规律，常将发生碰撞的两物体（或多个物体）简化为球的碰撞，并认为在碰撞时，不受外力的作用。碰撞过程中，都存在以下共同特点：50本节课我们主要现讨论球的对心碰撞问题，下一节课再讨论非对心的碰撞。球的对心碰撞——是指两个发生碰撞的小球，碰撞前速度矢量沿两球心的连线，碰撞后它们速度矢量的连线沿着两球心的连心线的碰撞。也称“正碰”。511.完全弹性碰撞（质点系总动能不变）球的正碰分类：完全非弹性碰撞（碰撞后两质点不分开以共同速度运动）非完全弹性碰撞（碰撞后两质点彼此分开，且质点系的机械能不守恒）52一、完全弹性碰撞：对于正碰，由于碰撞前后，两质点速度的连线在同一直线上，故选两个球心连线为x轴（一维情形），上述矢量表达式可表示为：设质量的两个球碰撞前速度分别，碰撞后的速度分别为，对于质点组成的质点系，碰撞过程不受外力，故动量守恒：即：53同时考虑到碰撞前后的动能不变,即:若已知由(1)式可求出由(1)式可得:由(2)式可得:54碰撞前m1相对于m2的“相对速度”碰撞后m1相对于m2的“相对速度”接近速度分离速度即：发生完全弹性碰撞的两个小球的相对速度的大小不发生变化，而方向发生180度改变。如果观察者站在一个小球上，则会观察到什么现象？另一个小球以大小不变的速率被反射回去！55讨论：（1），则即：碰撞后两个小球交换速度。即：用碰撞静止后，静止，以速度前进。56用质量很小的球去碰质量很大的静止的球质量大的球不动而质量轻的小球以原速率弹回（2）若<<

且57用质量很大的球去碰质量很小的静止的球质量大的球仍以原速前进，而质量轻的小球以2倍于质量大的球的速率前进。（2）若>>

且58例如：表示中子质量，表示某质子核质量，（1）中子与静止的原子核发生对心完全弹性碰撞后，中子动能损失的比率（2）铅，碳和氢原子核的质量分别是中子的206倍12倍和1倍计算中子于他们发生对心碰撞后动能损失的比率。解：将中子、原子核视为质点：（1） 和表示中子碰撞前后的速度，则动能的损失比率：59由于（2）求中子和铅、碳、氢原子核碰撞后能量损失比率：

铅：60即：中子与氢原子碰撞时能量损失最多。碳：氢：61在原子反应堆中，用慢中子与铀（）的原子核相碰可形成“链式反应”，对链式反应中释放出的中子需要减速，常选用含由碳原子的石墨和含氢原子核的石蜡作为减速剂比较好。实际上大量的中子和氢原子核碰撞，不可能恰好都是对心碰撞，且加速后的氢原子又可继续与中子发生碰撞，因此碰撞后的中子向各个方向运动机会相同，大量中子平均损失能量的比率<1。62分量式：二、完全非弹性碰撞设两质点碰前速度，碰后二者共同运动的速度为，组成的质点系，由动量守恒定律有：63两个小球碰撞后彼此分开，但是碰撞时又有机械能的损失，（例如：乒乓球和球台的碰撞过程）由动量守恒定律有：三、非完全弹性碰撞分量式：由一个方程，怎么能确定出两个未知数（）？64为此必须建立一个方程，经过大量的实验证明，一定材料制成的小球，碰撞后分开的相对速度与碰撞前接近的相对速度成正比，设碰撞前接近时相对速度为，碰后分离时相对速度为定义恢复系数：恢复系数e，由两球材料确定。65由这两个方程即可求出碰撞后的速度：说明（1）e=0时，即碰后两个小球以相同速度运动——完全非弹性碰撞66（2）e=1时：即碰后两个小球运动速度分为，—完全弹性碰撞（3）0<e<1时，对应于非完全弹性碰撞。两个小球之间时发生弹性碰撞，还是完全非弹性碰撞，还是非完全弹性碰撞，取决于恢复系数e的值。67如何通过实验测量恢复系数e？用同种材料制成的一个小球和一厚重的平板，令小球从高度H处自由落下，则碰前速度，和板发生碰撞后弹起高度为h，则知碰后小球速度为 ，参与碰撞的平板则由恢复系数的定义式有：68§4.8球的非对心碰撞两球碰前的速度不沿它们的中心连线的碰撞——非对心碰撞或斜碰。碰后两球速度矢量在同一平面上的碰撞——二维碰撞。对于非对心碰撞过程，我们仅讨论运动小球和静止小球的碰撞即可。如图所示：两球质量分别为和，碰前静止，以速度匀速直线运动；碰撞后运动的速度分别为：69由动量守恒定律有：对于二维碰撞问题，选xoy坐标系（通常选取两球碰撞时的连心线为y轴，建立坐标系xoy）将矢量式转化为分量式：70对于则所以有：71由于在的极限情况下，可视做小球自倾斜方向与半径的球（平面）碰撞。则：碰撞后吗？由于进行的是非完全弹性碰撞，存在机械能损失，则讨论：72对于质量相同的两个小球（）做非对心完全弹性碰撞;无论碰后如何运动，但是必有：即：碰后两小球运动方向互相垂直。73例1：一气体分子以300m/s速率碰撞一静止的质量相同的分子，碰撞后第一个分子沿与初速度成角方向飞出，解1：两个气体分子斜碰撞的问题在坐标下写出分量方程为：求：碰撞后两分子运动的速率以及第二个分子与第一个分子初速度所夹角由动量守恒及动能守恒得：74解2：由前面的讨论中可知，当两个质量相同的小球发生斜碰时（一个静止），则碰撞后两个小球运动方向互相垂直，即很容易得到：75解（1）碰前：动量守恒方程：（1）完全弹性碰撞，（2）完全非弹性碰撞例2：质量分别为和的两个小球，系于等长线上构成悬于同一点的单摆。将拉到高度h处有静止释放在下