圆锥曲线问题的优化解法 论文

圆锥曲线问题的优化解法有关直线斜率之和（积）为定值的问题摘要：研究圆锥曲线中因动直线而产生与斜率有关的定值问题，涉及斜率之和、斜率之积两类定值问题。关键词：圆锥曲线直线斜率定值根据新课程标准，近年来，解析几何考察直线与圆，直线与圆锥曲线的问题较多，常常与三角、向量、函数导数、不等式等知识相结合，求解弦长M、面积S，直线斜率K等几何特征量的最值与定值问题，而定值问题一直是高考中的高频考点问题之一，本文围绕圆锥曲线中有关直线斜率之和（积）为定值的问题进行研究。解析几何问题的解题策略和方法很多，但出发点不外乎两个方面，一是把几何问题进行代数化；二是解法的优化设计和运算的简化措施。详细来说要回归定义，彰显本质；然后巧设方程，优化解法；整体代换，简化计算。为此本文以两道解析几何题目的教学为例，介绍一系列斜率之和（积）为定值的方法，供参考。一斜率之和为定值已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2,1)．若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．此题是一道把直线和圆锥曲线结合到一起的综合题，对大多数人来说并不困难，但是要把题目中的思想提炼出来还是不容易的。解：方法一：因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，所以，解得,所以椭圆C的方程为,因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称（从这里提炼出两条直线的倾斜角是互补的）．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为－k.所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，直线AQ的方程为y－1＝－k(x－2)．由得①∆因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x＝2是方程①的一个根，则，所以同理,所以又，所以直线PQ的斜率，所以直线PQ的斜率为定值，该值为.方法一分析，解法说明解法1利用“斜率互为相反数”这一条件,设出两条直线方程,得出坐标，然后求出所求直线斜率,这类方法比较直接;当然也可以先设出所求直线方程,再借助“斜率互为相反数”这一条件建立等式,通过研究恒等式求出定值。是大部分学生会采用的方法，这是最直接的利用直线与椭圆方程联立，由韦达定理得出x1+x法二：因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，所以，解得,所以椭圆C的方程为x28+直线PQ不过（2,1）故直线PQ可设：mx−2设点∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称．设直线PA的斜率为k1，则直线AQ的斜率为k2.k1=k1+k2=化为(x−2+2)28+(y−1+1)22化(x−2)m直线方程与椭圆联立：“1”的整体代换进行齐次化(x−2)1两边同时除以x−21巧妙之处在于发现PA的斜率为k1、直线AQ的斜率为k1k1+k2=−n代入直线方程：−此时直线斜率为1例2（2017全国卷）设A，B为曲线C:y=x求直线AB的斜率；设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程。分析：设Ax1,y1kAM解：（1）略解，得直线AB的斜率为1（2）设M(xM,yM),由y'=设直线AB的方程为m(x−2)+n(y−1)=1，因为直线AB的斜率为1，易得m=-n由y=x24，变形为(y−1+1)=4(y−1)=联立直线AB，齐次化得4y−14n(y−1)2得：4n因为AM⊥BM，所以kAM4m−4n=−1,联立m=−n4m−4n=−1,求得m=−m(x−2)+n(y−1)=1，得直线AB得方程为x−y+7=0.重心放在过程分析上，针对题目中每一个环节反复地进行比较、分析，培养学生会独立思考、真正会解题的能力。重点从转化和运算这两个方面，进而帮助学生突破学习中的难点重点，特别强调让学生选择最佳的运算途径，不断优化自己的运算策略，从而形成较为简洁的运算思路．在教学过程中，留给学生充足的时间，多想、多算，不断渗透数学直观感受、数学抽象思维、逻辑推理技巧、数学运算等众多数学核心素养以学生的主动学习为基础，教师进行针对性的教学.首先，学生是学习及认识的主体；其次，学生的学是教师教的出发点和归宿.那么，如何激发学生主动学习的积极性呢？我认为，问题的精心设计是前提，导学分析得当是关键.数学家哈尔斯说：“问题是数学的心脏.”而我们遇到的圆锥曲线中的斜率概念是核心概念，它用代数形式刻画了直线的位置，大多圆锥曲线的性质都涉及斜率.其中，斜率之和（之积）为定值的问题在教材中经常以例题的形式出现，但并没有“点破”隐藏在问题背后的本质规律，我们都知道要“用教材教”，那么，面对“还在迷惑”的学生，教师应如何设计，设计怎样的问题？才能激发学生主动思考，去探索，去一步步拨开迷雾，发现题目中隐藏的真相？结合实际中的教学尝试和教学反思，认为问题的设计要做到以下几点.1.将火力集中在题目的中心思想上去，不能“灵机一动”斜率之积为定值的问题并不是教材所给的教学内容，将这个问题渗透在平常的圆锥曲线教学中，碰到相关的问题时想到了就提一下，结果造成大面积学生理解不够透彻，知识框架凌乱，碰到类似问题也不懂得应用.容易出现教师自己感觉讲了很多遍，但学生还是不清楚，教学效率低下的情况.与其这样东一榔头西一棒子，还不如集中精神，设计好一系列相关问题，所以教学中要花费两课时的时间去给学生渗透，让学生得到较为深刻的理解和记忆，而在平常碰到类似问题时，则适当点拨提醒，鼓励学生应用所学的新性质解决问题.2.要“铺设台阶”，不要“一步登天”大部分学生都觉得圆锥曲线问题难度较大，不少学生经常逃避这类问题，因此在设计斜率之和（之积）为定值的问题时，从教材中的问题抛砖引玉提出，由特殊到一般，从具体到抽象，采用问题链的形式，多铺设几个台阶，让尽量多的学生能跟上步骤，也保持学生进一步探索的信心.笔者反对过早提出总结性的结论，因为这样做会让学生缺乏逐渐发现、逐渐认识的过程，摆在学生面前的性质结论只会成为空洞的、冷漠的一堆数学符号，教学效果可想而知.笔者也反对不顾学生的理解水平，拔高结论的理解层次.例如，本文所提的斜率之积问题，站在更高的角度看，是几何中的仿射变换问题，但这对许多学生（个别尖子生除外）来说，不但超出了理解水平，增加了学习负担，还影响了其继续学好解析几何的信心.笔者认为，通过在“最近发展区”内不断设计好问题，让学生积极尝试，发现性质，并能用类比圆的思想来理解和记忆椭圆和双曲线中的新性质，就可以了.3.要“前后类比”，不要“顾此失彼”圆锥曲线中斜率之积为定值的性质比较多，椭圆和双曲线中都有性质，并且既有弦的情形，又有切线的情形，倘若不注意，不从诸多性质的内在关联和难易变化中精心设计问题的顺序排布，则容易让学生产生混淆，顾此失彼，也记不牢.特别是圆锥曲线中斜率之积问题的专题教学存在学习难度较大、结论较多情况，所以教师在“导学”过程中应注意以下几点.（1）要注意数形结合思想的强调.（2）宜借助信息技术来辅助教学.（3）引导学生从一般和特殊的联系观点来思考问题.（4）应注重学习的螺旋式上升，避免揠苗助长.圆锥曲线中斜率之和（之积）为定值的问题属于难度较大的教学内容，预设得再好，在实际教学中也可能出现预想不到的困难.预设问题碰到学生冷场时，可以适当调整问题难度，退到较为简单的特殊情形，唤醒学生的思维，等待学生意识到前后两个问题间存在某种关联时，再次对原预设问题进行攻坚突破，这也是一种以退为进的策略.当然，若是退一步，学生还接受不了，则应战略性地放弃，将宝贵的教学时间放在其他问题的突破上，因为有舍才有得.例如，在本课例的设计中，部分例题和变式题的难度较大，部分学生一下子接受不了很正常，可以先放一放，让学生在后续的学习中再慢慢消化，融会贯通[1]傅毓涛,郭守静.指向核心素养的解题策略研究——