线性代数及应用（第2版）（高淑萍）课件全套 第1-4章 矩阵及应用-相似矩阵与二次型

第1章矩阵及应用回顾我们从小学习数学的过程，就是在重复数学发展的过程．一些数学后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了，即“初等”的被“高等”的所替代了.

什么是线性代数？鸡兔同笼问题线性(linear)指量与量之间按比例、成直线的关系，可以理解为一阶导数为常数的函数．线性关系非线性关系非线性(non-linear)指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数．什么是线性代数？线性代数研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，线性代数正是解决这些问题的有力工具．行列式矩阵向量线性空间线性变换线性方程组什么是线性代数？1.1高斯消元法1.1高斯消元法线性方程组的一般形式1.1高斯消元法非齐次线性方程组；否则称为齐次线性方程组．齐次线性方程组总是有解的，因为至少有零解．例如1.1高斯消元法例解依次解出

，即得

解线性方程组1.1高斯消元法其基本思想是通过消元变形，把方程组化成容易求解的同解方程组．即得到能直接求出解或者能够直接判断其无解的同解方程组．以上求解线性方程组的方法称为高斯消元法．自上而下未知量个数依次减少成为阶梯形状．阶梯形方程组第1章矩阵及应用1.2矩阵的定义与运算矩阵的定义由

m×n

个数

排成的数称为矩阵的第

i

行第

j列元素，简称为元．矩阵简记为定义1m行

n列的矩形数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n

矩阵．矩阵的定义只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量)．只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)．可记作可记作元是实数的矩阵称为实矩阵，是复数的称为复矩阵．几种特殊矩阵主对角线次对角线主对角线上的元称为矩阵的主对角线元．次对角线上的元素称为矩阵的次对角线元．行数与列数都等于

n的矩阵，称为

n阶方阵．可记作几种特殊矩阵上三角形矩阵下三角形矩阵对角矩阵n阶单位矩阵记作或零矩阵记作两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵．两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即A与

B相等，记作

A=B．则称矩阵定义2设有两个矩阵矩阵

A与

B的和记作，规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算．矩阵的运算矩阵的运算定义3注矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算．设

A=(aij)，称矩阵(-aij)为

A的负矩阵，记作-A．矩阵的线性运算规律（其中为数）矩阵的运算例1解矩阵的运算其中

aij

表示工厂向第

i

家商店发送第

j种货物的数量；货物的单价及单件重量为的单价，bi2

表示第

i

种货物的单件重量．某工厂向三家商店发送的货物数量为试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．例2这四种其中

bi1

表示第

i

种货物解矩阵的运算注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的定义4例如

行数时，两个矩阵才能相乘．矩阵的运算解例3矩阵的运算注意(1)矩阵乘法不满足交换律；若

AB=BA，则称

A与

B可交换．可交换的一定是方阵．n阶单位阵与任何

n阶矩阵乘法可交换．注意(2)注意(3)例如矩阵的运算矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律

(2)

乘法对加法的分配律(3)

数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即矩阵的运算方阵幂的运算规律思考A，B可交换时成立下列等式是否成立？矩阵的运算例4解于是矩阵的运算把矩阵

A的行换成同序数的列而得到的新矩阵，转置矩阵的运算规律定义5称为矩阵

A的转置矩阵，记作例如矩阵的运算已知解法1解法2例5矩阵的运算如果满足

AT

=-A，那么称

A为反对称矩阵．对称阵反对称阵设

A

为

n

阶方阵，如果满足，即对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，反对称阵的主对角线元为零．定义6那么称

A为对称矩阵．说明矩阵的运算设列矩阵满足证明例6矩阵的运算证明任一

n

阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和．证明所以

C为对称矩阵，所以

B为反对称矩阵，证毕．所以

C/2也是对称矩阵．所以

B/2

也是反对称矩阵．例7第1章矩阵及应用1.3可逆矩阵可逆矩阵的定义在数的运算中，当数时，有其中为的倒数（或称的逆)．矩阵的乘法是否也和数的乘法一样有逆运算呢？从乘法的角度来看，n阶单位矩阵

E在同阶方阵中的地位类似于

1在复数中的地位．本节讨论的矩阵，如不特别说明，都是

n阶方阵．可逆矩阵的定义对于任意的

n阶方阵

A，若

A

可逆，则逆矩阵单位矩阵

E是可逆的，且是唯一的．定义说明可逆矩阵的定义解设是的逆矩阵，则所以例1可逆矩阵的定义证明设为任意二阶矩阵，则若矩阵有全零行(全零列)，那么矩阵一定不可逆．例2说明可逆矩阵的定义结论可逆矩阵的性质逆矩阵的运算性质证明123可逆矩阵的性质证明4规定说明可逆矩阵的性质证明所以可逆，且同理例3第1章矩阵及应用1.4分块矩阵分块矩阵矩阵的按列分块分块矩阵分块矩阵按列分块按列分块对于线性方程组系数矩阵增广矩阵其中表示A的第

j列，分块矩阵（1）分块矩阵加（减）运算：

分块矩阵例1解求矩阵

与的和．于是，所以分块矩阵注分块矩阵的加法与数乘运算形式上与普通的矩阵运算相同．矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块（2）分块矩阵的数乘运算：

都有在矩阵的运算中，对矩阵的分块要根据矩阵本身的特点而定.分块矩阵（3）分块矩阵的乘法：

则分块矩阵例2设，，求

AB．解而所以分块矩阵注不仅形式上取转置，而且每个子块也取转置．例如（4）分块矩阵的转置：设，则分块矩阵例如（5）分块对角阵

即记为其中都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵.分块矩阵分块对角矩阵的性质分块矩阵例3解设，求．分块矩阵证明例4必要性显然，下面证明充分性把

A按列分块，有于是那么所以即第1章矩阵及应用1.5初等变换与初等矩阵初等变换求解线性方程组引例对应的增广矩阵

后一个方程组有唯一解，它和原方程组是同解方程组，所以原方程组有唯一解：

对方程组反复进行了三种变换，即：（1）互换两个方程的位置；（2）用一个非零数

k乘某个方程；（3）把一个方程的

k倍加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．初等变换下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；以非零常数

k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的

k倍，记作．把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．定义1初等变换若矩阵

A经过一系列初等行(列)变换化为矩阵

B，若矩阵

A经过一系列初等变换化为矩阵

B，则称

A与

B123定义2则称

A与

B行(列)等价，记作等价，记作自反性：任意矩阵

A

与自身等价；对称性：若矩阵A与矩阵

B等价,则矩阵B与矩阵A等价；传递性：若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵

C等价，则矩阵A与矩阵C等价.初等变换求解线性方程组解对应方程组为例1初等变换行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素．行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1；这些非零元所在的列的其它元素都为零．初等变换满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵

(简称阶梯形)（1）若有零行，则零行位于非零行的下方；（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加．例如初等变换首非零元为

1，且首非零元所在列的其它元都为零的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵，简称最简形．例如定理1推论初等变换用初等行变换将矩阵

A化成阶梯形和最简形．解阶梯形最简形练习初等变换左上角为单位矩阵，其它元素均为零的矩阵称为标准形矩阵，简称标准形．注初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵．定义3由单位矩阵经过一次初等变换而得到的方阵称为初等矩阵．

初等矩阵（1）交换单位阵

的第

行和第

行，或交换

第

列和第

列，得到的初等矩阵记为（2）用非零的数

乘单位阵的第

行或第

列得到的

初等矩阵记为初等矩阵（3）以

k

乘单位阵第

j行加到第

i

行，记作

Em(i,j(k))．以

k

乘单位阵第

i

列加到第

j列．

两种理解！初等矩阵初等矩阵结论把矩阵

A的第

i

行与第

j行对调，即.把矩阵

A的第

i

列与第

j列对调，即.以非零常数

k乘矩阵

A的第

i

行，即

.以非零常数

k乘矩阵

A的第

i

列，即

.把

A第

j行的

k倍加到第

i

行，即

.把

A第

i

列的

k倍加到第

j列，即

.初等矩阵设

A是一个

m×n

矩阵，——左行右列定理2

对

A施行一次初等行变换，相当于在左边乘以相应的

m阶初等矩阵；

对

A施行一次初等列变换，相当于在右边乘以相应的

n阶初等矩阵．初等矩阵均是可逆矩阵，且其逆矩阵还是初等矩阵．说明初等矩阵例2解可看成是先对矩阵

A实施一次交换第

2

行和第

3行的变换，再实施一次第

1行乘以数

k加到第

2行的变换所得到的.这相当于先后用初等矩阵左乘矩阵，初等矩阵由定理1和定理2可知，以下结论成立设

A是任意

m×n

矩阵，必存在行最简矩阵

U和设

A是任意

m×n

矩阵，必存在

m阶可逆矩阵

P定理m阶初等矩阵定理和

n阶可逆矩阵

Q，使得其中初等矩阵n阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积．(必要性)可见A

表示成了一些初等矩阵的乘积．因为可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，故

A可逆．证明

(充分性)定理3初等矩阵123m×n

阶矩阵

A与

B等价的充要条件是存在m阶定理下面命题互相等价：n阶方阵

A

可逆；方阵A可表为有限个初等矩阵的乘积.方阵A行等价于n阶单位矩阵；推论可逆矩阵

P与

n阶可逆矩阵

Q，使初等矩阵首先构造分块矩阵

；01OPTION02OPTION对矩阵

实施初等行变换，将

化为行最简形矩阵；03OPTION

如果

不能行等价于

，则矩阵

不可逆；若

能行等价于

，

则

可逆，且

就行等价于

.判别矩阵是否可逆，并在可逆时求的具体步骤为：初等变换法初等矩阵解例3初等矩阵利用逆矩阵解线性方程组解例4初等矩阵说明解线性方程组思考初等矩阵解例5矩阵的秩例6解定义4第1章矩阵及应用1.6线性方程组的解线性方程组的解例如齐次线性方程组总是有解的，因为至少有零解．高斯消元法解线性方程组线性方程组的解线性方程组的矩阵形式问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解，如何求出全部解？齐次线性方程组一定有解，这个解称为齐次线性方程组的零解.如果齐次线性方程组有唯一解，则这个唯一解必定是零解.当齐次线性方程组有无穷多解时，我们称齐次线性方程组有非零解.非齐次线性方程组可能有无穷多解，唯一解，无解.线性方程组的解求解线性方程组解对应方程组为回顾线性方程组的解解例1解方程组对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，得：原方程组等价于最后一个方程为矛盾方程，所以原方程组无解.线性方程组的解01OPTION02OPTION03OPTION对于

n元非齐次线性方程组，下列命题成立：该线性方程组有解的充要条件是首元不出现在的最后一列；该线性方程组有唯一解的充分必要条件是首元不出现在的最后一列，且首元的个数等于未知量的个数；该线性方程组有无穷多解的充分必要条件是首元不出现在的最后一列，且首元的个数小于未知量的个数.线性方程组的解定义123定理矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．证明思路（1）证明

A

经过一次初等行变换变为

B，则

R(B)≤R(A)；（2）B

也可经由一次初等行变换变为

A，则

R(A)≤R(B)，

于是

R(A)=R(B)；

（3）经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变；（4）设

A

经过初等列变换变为

B，则

AT

经过初等行变换

变为

BT

，从而

R(AT)=R(BT)，于是

R(A)=R(B)．线性方程组的解推论下列命题成立12345——西尔维斯特不等式线性方程组的解线性方程组的解(1)有解的充要条件是

R(A)=R(A,b)；n

元线性方程组

Ax

=b(3)有无穷多解的充要条件是

R(A)=R(A,b)<n．(2)有唯一解的充要条件是

R(A)=R(A,b)=n；定理1n

元齐次线性方程组

Ax

=0

有非零解的充要R(A,0)=R(A)将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断方程组是否有解；若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解．定理2条件是

R(A)<n．线性方程组的解04OPTION以首元为系数的未知量作为固定未知量，留在等号的左边，其余的未知量作为自由未知量，移到等号右边，并令自由未知量为任意常数，从而求得线性方程组的解.写出线性方程组的增广矩阵

；01OPTION02OPTION对

实施初等行变换，化为行最简形矩阵

；03OPTION写出以

为增广矩阵的线性方程组；解

n元线性方程组的具体步骤为：线性方程组的解注线性方程组无解的充要条件是R(A)<R(A,b)．令xr+1,…,xn

作自由变量，则若R(A)=R(A,b)=r<

n，线性方程组有无穷多个解．线性方程组的解求解非齐次线性方程组对增广矩阵

B进行初等行变换解例2得方程组的通解：第2章行列式与线性方程组2.1行列式的概念及性质注：行列式定义通常有3种，教材采用递推方法，课件采用逆序理论方法。二、三阶行列式二元线性方程组方程组有唯一解由消元法，得二、三阶行列式定义1——对角线法则二元线性方程组的解可表示为其中二、三阶行列式例1解方程组有唯一解．二、三阶行列式定义2注二阶行列式的对角线法则并不适用！例如全排列与对换用数字123，可以组成多少没有重复数字的三位数？解123百位十位1231个位123种放法．共有引例定义3从

n个不同元素中取出m(m

≤n)

个，按照一定顺序排成一列，叫做从

n个元素中取出

m个元素的一个排列．把

n个正整数排成一列，称为

n元全排列，对于

n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序．定义4一个排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．例如全排列与对换逆序数为偶数的排列称为偶排列；为奇数的排列称为奇排列．练习求下列排列的逆序数，并说明奇偶性．（1）（2）解（1）奇排列（2）偶排列符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答逆序数等于零，因而是偶排列．思考全排列与对换定义5将一个

n元排列中某两个数的位置互换，而其余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换．若交换的是相邻位置的两个数，则称该对换为相邻对换．定理1对换改变排列的奇偶性．证明（相邻对换）可见，相邻对换改变排列的奇偶性．全排列与对换证明（一般对换）改变排列的奇偶性．定理1对换改变排列的奇偶性．全排列与对换推论任一

n元排列与标准排列都可经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个

n元排列有相同的奇偶性．奇排列变成标准排列的对换次数为奇数；偶排列变成标准排列的对换次数为偶数．定理2全排列与对换证明设所有全排列中共有

t个奇排列和

s个偶排列，奇排列经一次对换都变成偶排列，于是同理可知所以n

阶行列式的定义规律(1)三阶行列式共有6项，即3!项；(2)每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积；(3)每一项可以写成(正负号除外)，其中

是1、2、3的某个全排列；(4)当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号．n

阶行列式的定义定义6n阶行列式注一阶行列式|a|=a，不要与绝对值的记号相混淆．

例如一阶行列式n

阶行列式的定义例2解含的项有两项，对应于故的系数为-1．n

阶行列式的定义计算行列式例3对角行列式，上三角、下三角行列式行数可不等于列数共有

m×n

个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有

n2个元素矩阵行列式n

阶行列式的定义推论定理3n阶行列式也可定义为n阶行列式也可定义为行列式的性质设行列式称为行列式的转置行列式．

行列式与它的转置行列式相等，即．证明性质1若记，则，行列式的性质互换行列式的两行(列)，行列式变号．性质2证明行列式的性质行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立．例如推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零．证明互换相同的两行，有行列式的性质行列式的某行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数，证明性质3等于用此数乘以行列式．行列式的性质行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以推论1提到行列式符号的外面．行列式中如果有两行(列)对应元素成比例，推论2则此行列式为零．证明推论3行列式的性质性质4若行列式的第

i

行(列)的每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和．例如行列式的性质把行列式的第

j行(列)元的

k倍加到第

i

行(列)性质5的对应元上，行列式的值不变．计算行列式常用方法是利用运算把行列式说明化为三角形行列式，从而算得行列式的值．行列式的性质例4计算阶行列式解行列式的性质例5证明

证明行列式的性质例6解行列式的性质性质6(行列式乘积法则)证明OC结论三阶行列式可以用二阶行列式表示．思考任意行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？行列式按行(列)展开行列式按行(列)展开在

n阶行列式中，把元素所在的第

i

行和定义7留下来的元按原来的次序构成的阶第

j

列划去后，行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如每一个元素对应着一个余子式和代数余子式，余子式和代数余子式只与该元素的位置有关．说明行列式按行(列)展开引理一个

n阶行列式，如果其中第

i

行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积．证明行列式按行(列)展开n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应定理4的代数余子式乘积之和，即证明行列式按行(列)展开例7解说明计算行列式时，可以运用行列式性质，将某一行(列)尽可能多得化为零，然后使用行列式的展开．行列式按行(列)展开例8设，求及解行列式按行(列)展开例9证明范德蒙德行列式证明(数学归纳法)故等式成立．行列式按行(列)展开定理5n阶行列式任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即其中

是克罗内克(Kronecker)符号.第2章行列式与线性方程组2.2行列式的计算计算四阶行列式解例1计算

n

阶行列式解将行列式按第

n

行展开，得降阶法：应用初等变换使行列式的某行(列)的零元充分多，

然后按该行或该列展开，化为低阶行列式来计算．例1练习解计算解三角化方法：一般先利用行列式的性质将其做某种

保值变形，再化为三角形行列式．例2练习解数学归纳法：通过计算低阶行列式发现规律，猜想

k阶行列式符合

这种规律，然后证明

k+1

阶行列式也符合这种规律．范德蒙德(Vandermonde)行列式升阶法(加边法)：增加一行一列，使升阶后的行列式与

原行列式相等，且易于计算．计算解例3练习解计算阶行列式解连加法：各行元素之和都相等，连加提出公因式例5练习解计算解直接递推不易得到结果，变形得于是递推法：找到所求行列式与比它低阶，但结构相同的行列式之间的递推关系．例4练习解于是计算解取行列式可知乘积法：关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，

从而简化原行列式的计算．例7解当

n1时，显然当

n2时，有当

n3时，有例5例8解解

例6练习解将

y

与

z

互换，行列式

Dn

不变，

从而当

z

y

时，解得第2章行列式与线性方程组2.3行列式的应用矩阵求逆公式定义1例如矩阵求逆公式定理1则必有证明回顾矩阵求逆公式n阶方阵可逆的充要条件是，

且有定理2证明矩阵求逆公式例1

解矩阵求逆公式例2解矩阵求逆公式例3解矩阵求逆公式定义定理3并且证明矩阵求逆公式例4解矩阵求逆公式总结以下结论成立12345矩阵求逆公式例5解求设

A为3阶矩阵，注克莱默法则二元线性方程组其中方程组有唯一解克莱默法则(Cramer‘sRule)是一个关于求解线性方程组的定理，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组．克莱默法则定理4其解为其中是把系数行列式中第

j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的

n阶行列式．克莱默法则证明由逆矩阵的唯一性知此解唯一．克莱默法则例6解用克莱默法则解方程组克莱默法则总结克莱默法则例7解克莱默法则总结定理5它的系数行列式等于零．齐次线性方程组有非零解的充要条件是克莱默法则例8解有非零解？问取何值时，齐次方程组所以当或时齐次方程组有非零解．第3章n维向量与向量空间3.1n维向量及其运算向量的概念及运算向量，这

n个数称为该向量的

n个分量，第

i

个数称为n个有序的数所组成的数组称为

n维分量全为实数的向量称为实向量，全为复数的称为复向量．定义1第

i

个分量(坐标)．例如n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵；写成一行，称为行向量，也就是行矩阵．向量的概念及运算则有行向量和列向量均按照矩阵的运算法则运算．说明向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算．注意向量组与矩阵定义2若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组．说明（1）向量组中的向量必须是同型向量；（2）一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量．例如

向量组与矩阵定义同样，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵．含有限个向量的有序(行/列)向量组与矩阵一一对应第3章n维向量与向量空间3.2向量组的线性相关性向量组的线性组合定义1例如一个向量组可以线性表示这个向量组中的每一个向量零向量是任意一个向量组的线性组合向量组的线性组合练习一般地，对于任意的

n维向量

b，必有定义n

阶单位阵

的列向量叫做

n

维基本单位向量．解答向量组的线性组合例1证明向量

b能由向量组解向量组的线性组合定理1下面命题互相等价：123推论向量组的线性相关性定义2向量组

A是线性相关的，否则称它是线性无关的．则称例如向量组的线性相关性说明（1）（2）给定向量组

A，不是线性相关，就是线性无关；（3）若向量组只包含一个向量

a：线性相关，当

a不是零向量时，线性无关；（4）包含零向量的任何向量组是线性相关的．当

a是零向量时，向量组的线性相关性例2解向量组的线性相关性定理2思考向量组线性相关(无关)的等价命题都有哪些？123向量组的线性相关性例3解转化为矩阵的秩的问题，向量组的线性相关性定理3证明（充分性）向量组的线性相关性证明（必要性）推论两个向量线性相关的几何意义是两向量共线；三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.向量组的线性相关性例4证明向量组的线性相关性定义3给定一个向量组后，从这个向量组中抽取一部分向量构成一个新的向量组，这个新的向量组称为原向量组的部分组.定理证明向量组的线性相关性定理推论部分相关，则整体相关；整体无关，则部分必无关.推论推论向量组的线性相关性例5证明第3章n维向量与向量空间3.3向量组的秩与极大无关组等价向量组定义1设有向量组B中的向量均可由向量组

A线性表示，则称向量组B能由A线性表示．如果向量组A与B可以相互线性表示，则称向量组A与B等价．若向量组若向量组B能由向量组A线性表示，矩阵

C的列向量组能由矩阵

A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．矩阵

C的行向量组能由矩阵

B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．A在左边B在右边左行右列等价向量组例1证明证明向量组A与B等价．等价向量组等价向量组定理1下面命题互相等价：1234推论证明证明向量组

A与

B等价，其中例2等价向量组矩阵的秩定义2例如说明矩阵的秩定义3规定零矩阵的秩等于零．说明行阶梯形矩阵的秩就等于矩阵非零行的行数．矩阵的秩当矩阵的秩等于它的列数时，矩阵称为列满秩矩阵．定义123矩阵的秩定理2矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．证明思路（1）证明

A

经过一次初等行变换变为

B，则

R(B)≤R(A)；（2）B

也可经由一次初等行变换变为

A，则

R(A)≤R(B)，

于是

R(A)=R(B)；

（3）经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变；（4）设

A

经过初等列变换变为

B，则

AT

经过初等行变换

变为

BT

，从而

R(AT)=R(BT)，于是

R(A)=R(B)．矩阵的秩例2解选取行阶梯形中非零行的第一个非零元所在的列这就是

A

的一个最高阶非零子式．矩阵的秩推论下列命题成立12345——西尔维斯特不等式向量组的秩定义4设有向量组

T，如果在

T中能选出

r个向量线性无关向量组，简称极大无关组.极大性：所有线性无关组中含向量最多的极小性：所有等价的部分组中含向量最少的定义5向量组的秩例3解向量组的秩与矩阵的秩的关系定理3矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．证明向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax=b

有解当且仅当向量

b

可由矩阵

A的列向量组线性表示无限向量组向量组与自己的极大无关组等价若

Dr

是矩阵

A

的一个最高阶非零子式，则Dr

所在的

r

列是

A

的列向量组的一个极大无关组；r行是

A的行向量组的一个极大无关组．向量组的秩与矩阵的秩的关系例4解第3章n维向量与向量空间3.4向量空间向量空间的定义定义1说明所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例如整数集

Z对除法运算不封闭；

有理数集

Q对四则运算封闭；实数集

R

对四则运算封闭．向量空间的定义例1解（1）判断下列集合是否为向量空间．（3）向量空间的定义说明（1）（2）01OPTION02OPTION向量空间的定义例2解定义向量空间的定义alaabclambgcablamb向量空间的定义定义2例如说明向量空间的定义例3证明练习说明等价向量组所生成的空间相等．向量空间向量组向量组的极大无关组向量空间的基向量空间的维数向量组的秩向量空间的定义向量的内积与正交矩阵定义31234定义4123向量的内积与正交矩阵定义5例4解定义向量的内积与正交矩阵定义由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为标准(规范)正交向量组.例如都是正交向量组.向量的内积与正交矩阵例5解向量的内积与正交矩阵定理1证明向量的内积与正交矩阵例6解向量的内积与正交矩阵定义6例如123向量的内积与正交矩阵定理2向量的内积与正交矩阵第3章n维向量与向量空间3.5基、维数与坐标向量空间的基与维数定义1设有向量空间

V，如果在

V中能选出

r个向量例如说明自然基定义2例如向量空间的基与维数向量空间的基与维数c31c32向量空间的基与维数向量空间的基与维数例1解向量空间的基与维数向量空间的基与维数例2证明向量的坐标定义3例如说明例3解向量的坐标定义4说明向量的坐标向量的坐标例4解向量的坐标第3章n维向量与向量空间3.6线性方程组解的结构解的判定定理线性方程组解的判定定理定理1定理2定理3证明齐次线性方程组解的结构线性方程组解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．定义1齐次线性方程组解的结构性质1证明性质2总结问题证明齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间．定义2定理4齐次线性方程组解的结构证明齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构例1解非齐次线性方程组解的结构性质1证明性质2