线性代数及应用（高淑萍第2版） 课件 第2章 行列式与线性方程组

第2章行列式与线性方程组2.1行列式的概念及性质注：行列式定义通常有3种，教材采用递推方法，课件采用逆序理论方法。二、三阶行列式二元线性方程组方程组有唯一解由消元法，得二、三阶行列式定义1——对角线法则二元线性方程组的解可表示为其中二、三阶行列式例1解方程组有唯一解．二、三阶行列式定义2注二阶行列式的对角线法则并不适用！例如全排列与对换用数字123，可以组成多少没有重复数字的三位数？解123百位十位1231个位123种放法．共有引例定义3从

n个不同元素中取出m(m

≤n)

个，按照一定顺序排成一列，叫做从

n个元素中取出

m个元素的一个排列．把

n个正整数排成一列，称为

n元全排列，对于

n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序．定义4一个排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．例如全排列与对换逆序数为偶数的排列称为偶排列；为奇数的排列称为奇排列．练习求下列排列的逆序数，并说明奇偶性．（1）（2）解（1）奇排列（2）偶排列符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答逆序数等于零，因而是偶排列．思考全排列与对换定义5将一个

n元排列中某两个数的位置互换，而其余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换．若交换的是相邻位置的两个数，则称该对换为相邻对换．定理1对换改变排列的奇偶性．证明（相邻对换）可见，相邻对换改变排列的奇偶性．全排列与对换证明（一般对换）改变排列的奇偶性．定理1对换改变排列的奇偶性．全排列与对换推论任一

n元排列与标准排列都可经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个

n元排列有相同的奇偶性．奇排列变成标准排列的对换次数为奇数；偶排列变成标准排列的对换次数为偶数．定理2全排列与对换证明设所有全排列中共有

t个奇排列和

s个偶排列，奇排列经一次对换都变成偶排列，于是同理可知所以n

阶行列式的定义规律(1)三阶行列式共有6项，即3!项；(2)每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积；(3)每一项可以写成(正负号除外)，其中

是1、2、3的某个全排列；(4)当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号．n

阶行列式的定义定义6n阶行列式注一阶行列式|a|=a，不要与绝对值的记号相混淆．

例如一阶行列式n

阶行列式的定义例2解含的项有两项，对应于故的系数为-1．n

阶行列式的定义计算行列式例3对角行列式，上三角、下三角行列式行数可不等于列数共有

m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有

n2个元素矩阵行列式n

阶行列式的定义推论定理3n阶行列式也可定义为n阶行列式也可定义为行列式的性质设行列式称为行列式的转置行列式．

行列式与它的转置行列式相等，即．证明性质1若记，则，行列式的性质互换行列式的两行(列)，行列式变号．性质2证明行列式的性质行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立．例如推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零．证明互换相同的两行，有行列式的性质行列式的某行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数，证明性质3等于用此数乘以行列式．行列式的性质行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以推论1提到行列式符号的外面．行列式中如果有两行(列)对应元素成比例，推论2则此行列式为零．证明推论3行列式的性质性质4若行列式的第

i行(列)的每一个元素都可以表示为两数之和，则该行列式可表示为两个行列式之和．例如行列式的性质把行列式的第

j行(列)元的

k倍加到第

i行(列)性质5的对应元上，行列式的值不变．计算行列式常用方法是利用运算把行列式说明化为三角形行列式，从而算得行列式的值．行列式的性质例4计算阶行列式解行列式的性质例5证明

证明行列式的性质例6解行列式的性质性质6(行列式乘积法则)证明OC结论三阶行列式可以用二阶行列式表示．思考任意行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？行列式按行(列)展开行列式按行(列)展开在

n阶行列式中，把元素所在的第

i行和定义7留下来的元按原来的次序构成的阶第

j

列划去后，行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如每一个元素对应着一个余子式和代数余子式，余子式和代数余子式只与该元素的位置有关．说明行列式按行(列)展开引理一个

n阶行列式，如果其中第

i行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积．证明行列式按行(列)展开n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应定理4的代数余子式乘积之和，即证明行列式按行(列)展开例7解说明计算行列式时，可以运用行列式性质，将某一行(列)尽可能多得化为零，然后使用行列式的展开．行列式按行(列)展开例8设，求及解行列式按行(列)展开例9证明范德蒙德行列式证明(数学归纳法)故等式成立．行列式按行(列)展开定理5n阶行列式任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即其中

是克罗内克(Kronecker)符号.第2章行列式与线性方程组2.2行列式的计算计算四阶行列式解例1计算

n

阶行列式解将行列式按第

n

行展开，得降阶法：应用初等变换使行列式的某行(列)的零元充分多，

然后按该行或该列展开，化为低阶行列式来计算．例1练习解计算解三角化方法：一般先利用行列式的性质将其做某种

保值变形，再化为三角形行列式．例2练习解数学归纳法：通过计算低阶行列式发现规律，猜想

k阶行列式符合

这种规律，然后证明

k+1

阶行列式也符合这种规律．范德蒙德(Vandermonde)行列式升阶法(加边法)：增加一行一列，使升阶后的行列式与

原行列式相等，且易于计算．计算解例3练习解计算阶行列式解连加法：各行元素之和都相等，连加提出公因式例5练习解计算解直接递推不易得到结果，变形得于是递推法：找到所求行列式与比它低阶，但结构相同的行列式之间的递推关系．例4练习解于是计算解取行列式可知乘积法：关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，

从而简化原行列式的计算．例7解当

n1时，显然当

n2时，有当

n3时，有例5例8解解

例6练习解将

y

与

z

互换，行列式

Dn

不变，

从而当

z

y

时，解得第2章行列式与线性方程组2.3行列式的应用矩阵求逆公式定义1例如矩阵求逆公式定理1则必有证明回顾矩阵求逆公式n阶方阵可逆的充要条件是，

且有定理2证明矩阵求逆公式例1

解矩阵求逆公式例2解矩阵求逆公式例3解矩阵求逆公式定义定理3并且证明矩阵求逆公式例4解矩阵求逆公式总结以下结论成立12345矩阵求逆公式例5解求设

A为3阶矩阵，注克莱默法则二元线性方程组其中方程组有唯一解克莱默法则(Cramer‘sRule)是一个关于求解线性方程组的定理，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组．克莱默法则定理4其解为其中是把系数行列式中第

j列元素用方程组右端的常数项代