线性代数及应用（高淑萍第2版） 课件 第1章 矩阵及应用

第1章矩阵及应用回顾我们从小学习数学的过程，就是在重复数学发展的过程．一些数学后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了，即“初等”的被“高等”的所替代了.

什么是线性代数？鸡兔同笼问题线性(linear)指量与量之间按比例、成直线的关系，可以理解为一阶导数为常数的函数．线性关系非线性关系非线性(non-linear)指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数．什么是线性代数？线性代数研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，线性代数正是解决这些问题的有力工具．行列式矩阵向量线性空间线性变换线性方程组什么是线性代数？1.1高斯消元法1.1高斯消元法线性方程组的一般形式1.1高斯消元法非齐次线性方程组；否则称为齐次线性方程组．齐次线性方程组总是有解的，因为至少有零解．例如1.1高斯消元法例解依次解出

，即得

解线性方程组1.1高斯消元法其基本思想是通过消元变形，把方程组化成容易求解的同解方程组．即得到能直接求出解或者能够直接判断其无解的同解方程组．以上求解线性方程组的方法称为高斯消元法．自上而下未知量个数依次减少成为阶梯形状．阶梯形方程组第1章矩阵及应用1.2矩阵的定义与运算矩阵的定义由

m×n

个数

排成的数称为矩阵的第

i

行第

j列元素，简称为元．矩阵简记为定义1m行

n列的矩形数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n

矩阵．矩阵的定义只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量)．只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)．可记作可记作元是实数的矩阵称为实矩阵，是复数的称为复矩阵．几种特殊矩阵主对角线次对角线主对角线上的元称为矩阵的主对角线元．次对角线上的元素称为矩阵的次对角线元．行数与列数都等于

n的矩阵，称为

n阶方阵．可记作几种特殊矩阵上三角形矩阵下三角形矩阵对角矩阵n阶单位矩阵记作或零矩阵记作两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵．两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即A与

B相等，记作

A=B．则称矩阵定义2设有两个矩阵矩阵

A与

B的和记作，规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算．矩阵的运算矩阵的运算定义3注矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算．设

A=(aij)，称矩阵(-aij)为

A的负矩阵，记作-A．矩阵的线性运算规律（其中为数）矩阵的运算例1解矩阵的运算其中

aij

表示工厂向第

i

家商店发送第

j种货物的数量；货物的单价及单件重量为的单价，bi2

表示第

i

种货物的单件重量．某工厂向三家商店发送的货物数量为试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．例2这四种其中

bi1

表示第

i

种货物解矩阵的运算注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的定义4例如

行数时，两个矩阵才能相乘．矩阵的运算解例3矩阵的运算注意(1)矩阵乘法不满足交换律；若

AB=BA，则称

A与

B可交换．可交换的一定是方阵．n阶单位阵与任何

n阶矩阵乘法可交换．注意(2)注意(3)例如矩阵的运算矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律

(2)

乘法对加法的分配律(3)

数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即矩阵的运算方阵幂的运算规律思考A，B可交换时成立下列等式是否成立？矩阵的运算例4解于是矩阵的运算把矩阵

A的行换成同序数的列而得到的新矩阵，转置矩阵的运算规律定义5称为矩阵

A的转置矩阵，记作例如矩阵的运算已知解法1解法2例5矩阵的运算如果满足

AT

=-A，那么称

A为反对称矩阵．对称阵反对称阵设

A

为

n

阶方阵，如果满足，即对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，反对称阵的主对角线元为零．定义6那么称

A为对称矩阵．说明矩阵的运算设列矩阵满足证明例6矩阵的运算证明任一

n

阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和．证明所以

C为对称矩阵，所以

B为反对称矩阵，证毕．所以

C/2也是对称矩阵．所以

B/2

也是反对称矩阵．例7第1章矩阵及应用1.3可逆矩阵可逆矩阵的定义在数的运算中，当数时，有其中为的倒数（或称的逆)．矩阵的乘法是否也和数的乘法一样有逆运算呢？从乘法的角度来看，n阶单位矩阵

E在同阶方阵中的地位类似于

1在复数中的地位．本节讨论的矩阵，如不特别说明，都是

n阶方阵．可逆矩阵的定义对于任意的

n阶方阵

A，若

A

可逆，则逆矩阵单位矩阵

E是可逆的，且是唯一的．定义说明可逆矩阵的定义解设是的逆矩阵，则所以例1可逆矩阵的定义证明设为任意二阶矩阵，则若矩阵有全零行(全零列)，那么矩阵一定不可逆．例2说明可逆矩阵的定义结论可逆矩阵的性质逆矩阵的运算性质证明123可逆矩阵的性质证明4规定说明可逆矩阵的性质证明所以可逆，且同理例3第1章矩阵及应用1.4分块矩阵分块矩阵矩阵的按列分块分块矩阵分块矩阵按列分块按列分块对于线性方程组系数矩阵增广矩阵其中表示A的第

j列，分块矩阵（1）分块矩阵加（减）运算：

分块矩阵例1解求矩阵

与的和．于是，所以分块矩阵注分块矩阵的加法与数乘运算形式上与普通的矩阵运算相同．矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块（2）分块矩阵的数乘运算：

都有在矩阵的运算中，对矩阵的分块要根据矩阵本身的特点而定.分块矩阵（3）分块矩阵的乘法：

则分块矩阵例2设，，求

AB．解而所以分块矩阵注不仅形式上取转置，而且每个子块也取转置．例如（4）分块矩阵的转置：设，则分块矩阵例如（5）分块对角阵

即记为其中都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵.分块矩阵分块对角矩阵的性质分块矩阵例3解设，求．分块矩阵证明例4必要性显然，下面证明充分性把

A按列分块，有于是那么所以即第1章矩阵及应用1.5初等变换与初等矩阵初等变换求解线性方程组引例对应的增广矩阵

后一个方程组有唯一解，它和原方程组是同解方程组，所以原方程组有唯一解：

对方程组反复进行了三种变换，即：（1）互换两个方程的位置；（2）用一个非零数

k乘某个方程；（3）把一个方程的

k倍加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．初等变换下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；以非零常数

k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的

k倍，记作．把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．定义1初等变换若矩阵

A经过一系列初等行(列)变换化为矩阵

B，若矩阵

A经过一系列初等变换化为矩阵

B，则称

A与

B123定义2则称

A与

B行(列)等价，记作等价，记作自反性：任意矩阵

A

与自身等价；对称性：若矩阵A与矩阵

B等价,则矩阵B与矩阵A等价；传递性：若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵

C等价，则矩阵A与矩阵C等价.初等变换求解线性方程组解对应方程组为例1初等变换行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素．行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1；这些非零元所在的列的其它元素都为零．初等变换满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵

(简称阶梯形)（1）若有零行，则零行位于非零行的下方；（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加．例如初等变换首非零元为

1，且首非零元所在列的其它元都为零的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵，简称最简形．例如定理1推论初等变换用初等行变换将矩阵

A化成阶梯形和最简形．解阶梯形最简形练习初等变换左上角为单位矩阵，其它元素均为零的矩阵称为标准形矩阵，简称标准形．注初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵．定义3由单位矩阵经过一次初等变换而得到的方阵称为初等矩阵．

初等矩阵（1）交换单位阵

的第

行和第

行，或交换

第

列和第

列，得到的初等矩阵记为（2）用非零的数

乘单位阵的第

行或第

列得到的

初等矩阵记为初等矩阵（3）以

k

乘单位阵第

j行加到第

i

行，记作

Em(i,j(k))．以

k

乘单位阵第

i

列加到第

j列．

两种理解！初等矩阵初等矩阵结论把矩阵

A的第

i

行与第

j行对调，即.把矩阵

A的第

i

列与第

j列对调，即.以非零常数

k乘矩阵

A的第

i

行，即

.以非零常数

k乘矩阵

A的第

i

列，即

.把

A第

j行的

k倍加到第

i

行，即

.把

A第

i

列的

k倍加到第

j列，即

.初等矩阵设

A是一个

m×n

矩阵，——左行右列定理2

对

A施行一次初等行变换，相当于在左边乘以相应的

m阶初等矩阵；

对

A施行一次初等列变换，相当于在右边乘以相应的

n阶初等矩阵．初等矩阵均是可逆矩阵，且其逆矩阵还是初等矩阵．说明初等矩阵例2解可看成是先对矩阵

A实施一次交换第

2

行和第

3行的变换，再实施一次第

1行乘以数

k加到第

2行的变换所得到的.这相当于先后用初等矩阵左乘矩阵，初等矩阵由定理1和定理2可知，以下结论成立设

A是任意

m×n

矩阵，必存在行最简矩阵

U和设

A是任意

m×n

矩阵，必存在

m阶可逆矩阵

P定理m阶初等矩阵定理和

n阶可逆矩阵

Q，使得其中初等矩阵n阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积．(必要性)可见A

表示成了一些初等矩阵的乘积．因为可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，故

A可逆．证明

(充分性)定理3初等矩阵123m×n

阶矩阵

A与

B等价的充要条件是存在m阶定理下面命题互相等价：n阶方阵

A

可逆；方阵A可表为有限个初等矩阵的乘积.方阵A行等价于n阶单位矩阵；推论可逆矩阵

P与

n阶可逆矩阵

Q，使初等矩阵首先构造分块矩阵

；01OPTION02OPTION对矩阵

实施初等行变换，将

化为行最简形矩阵；03OPTION

如果

不能行等价于

，则矩阵

不可逆；若

能行等价于

，

则

可逆，且

就行等价于

.判别矩阵是否可逆，并在可逆时求的具体步骤为：初等变换法初等矩阵解例3初等矩阵利用逆矩阵解线性方程组解例4初等矩阵说明解线性方程组思考初等矩阵解例5矩阵的秩例6解定义4第1章矩阵及应用1.6线性方程组的解线性方程组的解例如齐次线性方程组总是有解的，因为至少有零解．高斯消元法解线性方程组线性方程组的解线性方程组的矩阵形式问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解，如何求出全部解？齐次线性方程组一定有解，这个解称为齐次线性方程组的零解.如果齐次线性方程组有唯一解，则这个唯一解必定是零解.当齐次线性方程组有无穷多解时，我们称齐次线性方程组有非零解.非齐次线性方程组可能有无穷多解，唯一解，无解.线性方程组的解求解线性方程组解对应方程组为回顾线性方程组的解解例1解方程组对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，得：原方程组等价于最后一个方程为矛盾方程，所以原方程组无解.线性方程组的解01OPTION02OPTION03OPTION对于

n元非齐次线性方程组，下列命题成立：该线性方程组有解的充要条件是首元不出现在的最后一列；该线性方程组有唯一解的充分必要条件是首元不出现在的最后一列，且首元的个数等于未知量的个数；该线性方程组有无穷多解的充分必要条件是首元不出现在的最后一列，且首元的个数小于未知量的个数.线性方程组的解定义123定理矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．证明思路（1）证明

A

经过一次初等行变换变为

B，则

R(B)≤R(A)；（2）B

也可经由一次初等行变换变为

A，则

R(A)≤R(B)，

于是

R(A)=R(B)；

（3）经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变；（4）设

A

经过初等列变换变为

B，则

AT

经过初等行变换

变为

BT

，从而

R(AT)=R(BT)，于是

R(A)=R(B)．线性方程组的解推论