2022-2023学年福建省泉州七中高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年福建省泉州七中高二（下）期末数学试卷一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.15分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN=() 25分）若复数z＝3﹣4i，则=()35分）已知函数f(x)=5，则当0＜x＜1时，f（f（x的展开式中x4的系数为()45分）函数f(x)=cosx的部分图象大致为()D.55分）某高校有智能餐厅A、人工餐厅B，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．则甲第二天去A餐厅用餐的概率为()A．0.75B．0.7C．0.56D．0.3865分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|=()75分）已知正实数a，b满足a+=2，则2ab+的最小值是()85分）对于定义在区间D上的函数f（x若满足：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有f（x1）≤f（x2则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若f（x）为区间[0，2]上的“非减函数”，且f（2）＝2，f（x）+f（2﹣x2，又当x∈[，2]时，f（x）≤2（x﹣1）恒成立，下列命题中正确的有()A．f（1）＝0B.∃x0∈[，2]，f(x0)＜1，]，f(x0)＞1D.∀x∈[0，1]，f（f（x∈[0，1]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）95分）已知5个成对数据（x，y）的散点图如下，若去掉点D（4，3则下列说法正确的是A．变量x与变量y呈负相关B．变量x与变量y的相关性变强C．样本相关系数r变小D．样本相关系数r变大（多选）105分）已知实数a，b，c满足2a＝log2b=，则下列关系式中可能成立的是()A．b＝c＞aB．c＝a＞bC．b＞c＞a（多选）115分）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB，BC上的中点，过E，F的平面α与底面ABCD所成的锐二面角为60°,则正方体被平面α所截的截面形状可能为()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形（多选）125分）已知定义在R上的函数f(x)，∀x，y∈R，f(x)f(y)=f(x+y)2f(x−y)，且f（x）≠0，则下述结论中正确的是()A．f（0）＝1B．若f（1）＝1，则f（2024）＝2024C．f（x）是偶函数D.∃x∈R，f（x）=﹣2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.145分）某工厂生产一批零件（单位：cm其尺寸ξ服从正态分布N(μ,σ2且P(ξ≤140.1，P(ξ＜18）＝0.9，则μ=.有f(x1)−f(x2)有f(x1)−f(x2)165分）已知函数f（x）定义域为（0，+∞),f（1e，对任意的x1，x2∈（0，+∞),当x2＞x1时，>(e是自然对数的底若f（lna2e﹣alna，则实数a的取值范>x1x2四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）已知函数f（xax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1且f(1)=.（1）求a；（2）f（2t）+f（t﹣10，求t的取值范围.1812分）为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.1912分）已知数列{an}满足an+an+2＝2an+1，n∈N*且a1＝1，a2＝3.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝1，且满足3Sn＝bn+1﹣1，记cn=，求数列{cn}的2012分）已知函数f（xx2•ex.(Ⅰ)求f（x）的极值；(Ⅱ)若函数y＝f（x）﹣ax在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围.2112分）受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图.优秀数非优秀数合计某校4654联谊校5644合计98200（1）请你根据数据利用相关系数判定均分y与线上教学周数x是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；（2）为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表，试依据α=0.100的独立性检验，分析优秀学生数与线上学习是否有关联？=iiy)，X2=附：相关系数：T=σ=iiy)，X2= n n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)̂(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)a=临界值表：α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.8282212分）已知圆O：x2+y2＝4，点F（1，0以线段EF为直径的圆内切于圆O，点E的集合记为曲（1）求曲线C的方程；（2）若A，B是曲线C上关于坐标原点O对称的两点，点D（4，0连结DA并延长交曲线C于点M，连结DB交曲线C于点N．设△DMN，△DAB的面积分别为S1，S2，若=，求线段OA的长.2022-2023学年福建省泉州七中高二（下）期末数学试卷一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.15分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN=()【解答】解：由于∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}.故选：A. 25分）若复数z＝3﹣4i，则=()【解答】解：z＝3﹣4i，z3+4i34故选：A.35分）已知函数f(x)=(x+1)5，x＞1，则当0＜x＜1时，f（f（x【解答】解：当0＜x＜1时，f（xx2+2∈（2，3所以f（f（xf（x2+2x2+3）5，故f（f（x的展开式即二项式（x2+3）5展开式，其通项公式为TT+1=C(x2)5−T3T=Cx10−2T3T，所以f（f（x的展开式中x4的系数为C33=270.故选：D.45分）函数f(x)=cosx的部分图象大致为()A.B.D.【解答】解：函数的定义域为(﹣∞,0）∪（0，+∞),因为f(﹣x）=cos(﹣x）=•cosx=−cosx=﹣f（x所以f（x）为奇函数，排除选项A和D，令f（x）＝0，则x=+kπ,k∈Z，所以在y轴右侧，函数f（x）的第一个零点为x=，不妨取x＝1，则f（1）=•cos1＞0，即选项B正确，选项C错误.故选：B.55分）某高校有智能餐厅A、人工餐厅B，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．则甲第二天去A餐厅用餐的概率为()A．0.75B．0.7C．0.56D．0.38【解答】解：设第一天去A餐厅为事件A1，第二天去A餐厅为事件A2，第一天去B餐厅为事件B1，则P（A2）＝P（A2|A1）P（A1）+P（A2|B1）P（B1）＝0.6×0.5+0.8×0.5＝0.7.故选：B.65分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|=()【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为5，可得c=5a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x， 故选：D.75分）已知正实数a，b满足a+=2，则2ab+的最小值是()当且仅当4ab=，即a=，b=，时取等号，∴2ab+的最小值是，故选：A.85分）对于定义在区间D上的函数f（x若满足：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有f（x1）≤f（x2则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若f（x）为区间[0，2]上的“非减函数”，且f（2）＝2，f（x）+f（2﹣x2，又当x∈[，2]时，f（x）≤2（x﹣1）恒成立，下列命题中正确的有()A．f（1）＝0B.∃x0∈[，2]，f(x0)＜1，]，f(x0)＞1D.∀x∈[0，1]，f（f（x∈[0，1]【解答】解：对于A，由f（x）+f（2﹣x2，令x＝1，则有f（1）+f（12⇒f（11，故A不正确；对于B，当x0=时，f()≤2(1)=1，又f()≥f(1)=1，所以f()=1，由题意x∈[，2]，f(x)≥f()=1，故B不正确；对于C中，因为f（1）＝1，f（）＝1，因为：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有∀x1，x2∈D且x1＜x2，所以当1≤x≤时，f（1）＝1，故C不正确；对于D中，当x＝0时，f（0）+f（2）＝2⇒f（0）＝0，又f（1）＝1，所以0≤x≤1时，0≤f（x）≤1，所以f（f（x∈[0，1]，故D正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）95分）已知5个成对数据（x，y）的散点图如下，若去掉点D（4，3则下列说法正确的是A．变量x与变量y呈负相关B．变量x与变量y的相关性变强C．样本相关系数r变小D．样本相关系数r变大【解答】解：由散点图可知，只有D（4，3）偏离直线最远，当去掉点D（4，3）后，变量x与变量y的线性相关变强，且为负相关，故选项A和选项B正确；此时相关系数r变小，故选项C正确，选项D错误.故选：ABC.（多选）105分）已知实数a，b，c满足2a＝log2b=，则下列关系式中可能成立的是()A．b＝c＞aB．c＝a＞bC．b＞c＞a【解答】解：∵2a=log2b=，令y1=2x，y2=log2x，y3=，记y1=2x与y3=交点的纵坐标为m，y2＝log2x与y3=交点的纵坐标为t，在同一坐标系中作出函数y1=2x，y2=log2x，y3=的图象，当y＝t时，A正确；当y＝m时，B错误；当t＜y＜m时，C正确；当y＜t时，D正确.故选：ACD.（多选）115分）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB，BC上的中点，过E，F的平面α与底面ABCD所成的锐二面角为60°,则正方体被平面α所截的截面形状可能为()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解答】解：如图所示：设正方体的棱长为4a，在BB1上取一点G使得平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为60°,因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以EG＝FG，连接BD交EF于点N，连接AC，所以EF⊥BN，且N为EF的中点，BN=BD，所以GN⊥EF，所以∠GNB为平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为60°,所以GB＝tan60°•BN=3××42a=所以此时平面EFG为平面α,所以平面α为三角形，故A正确；在AA1和CC1上分别取点M和点H，使得AM＝CH，取MH，AC的中点K，O，则KO⊥平面ABCD，又因为EF⊂平面ABCD，所以KO⊥EF又NO⊥EF，所以EF⊥平面KNO，又因为KN⊂平面KNO，所以∠KNO为平面MEFH与平面ABCD所成的锐二面角为60°,延长FH交B1C1于T，延长EM交B1A1于S，连接ST交A1D1于Q，交C1D1于P，连接HP，MQ，则平面MEFHPQ为平面α,所以平面α为六边形，故D正确.故选：AD.（多选）125分）已知定义在R上的函数f(x)，∀x，y∈R，f(x)f(y)=f(x+y)2f(x−y)，且f（x）≠0，则下述结论中正确的是()A．f（0）＝1B．若f（1）＝1，则f（2024）＝2024C．f（x）是偶函数D.∃x∈R，f（x）=﹣2【解答】解：令x＝0，y＝0，则f2(0)==f(0)，因为f（x）≠0，所以f（0）＝1，A正确；令y＝x，则f2(x)=，所以f（2x3f2（x2f（03f2（x2，所以f（2x1＝3[f2（x1]＝3[f（x1]•[f（x）+1]，若f（1）＝1，则f（2）＝1，f（4）＝1，f（8）＝1，⋯,f（2024）＝若f（1）＝1，则f（2）＝1，f（4）＝1，f（8）＝1，⋯,f（2024）＝1，B错误；所以f（yf(﹣yf（x）是偶函数，C正确；因为f（x）≠0，所以f（2x3f2（x22，所以∀x∈R，f（x2，D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.135分）已知向量=(1，2)，=(3，x)，与+共线，则|−|=→→【解答】解：∵a=（1，2b=（3，x∴a+b=（→∵a与a+b共线，∴=（3，6∴−=(﹣24故答案为：25.145分）某工厂生产一批零件（单位：cm其尺寸ξ服从正态分布N(μ,σ2且P(ξ≤140.1，P(ξ＜18）＝0.9，则μ=16.【解答】解：∵ξ~N(μ,σ2P(ξ≤14）+P(ξ＜180.1+0.9＝1，∴P(ξ≤141﹣P(ξ＜18P(ξ≥18故答案为：16.155分）已知随机事件A，B，P（A）=，P（B）=，P（A|B）=，则P(B|A)=.【解答】解：依题意得P(A|B)==，所以P(AB)=P(B)=×=，故P(B|A)===，所以P(B|A)=1−P(B|A)= 故答案为：.165分）已知函数f（x）定义域为（0，+∞),f（1e，对任意的x1165分）已知函数f（x）定义域为（0，+∞),f（1e，对任意的x1，x2∈（0，+∞),当x2＞x1时，即f（x1）+x1ex1＞f（x2）+x2ex2，故令g（xf（x）+xex，则当x2＞x1＞0时，g（x1g（x2则g（x）在（0，+∞)上单调递减，由于f（1e，而f（lna2e﹣alna，即有f（lna）+alna＞f（1）+1×e1，即g（lnag（1所以0＜lna＜1，∴1＜a＜e，四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）已知函数f（xax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1且f(1)=（1）求a；（2）f（2t）+f（t﹣10，求t的取值范围.3【解答】解1）因为f(1)=3所以a=，即2a2﹣3a﹣2＝0，所以a=，或a＝2.又因为a＞0，且a≠1，（2）由（1）得a＝2，所以f(x)=2x，因为y＝2x和y=在R上是增函数，所以f（x）在R上是增函数，又因为f(−x)=2−x−2x=−(2x)=−f(x)，所以f（x）为奇函数，因为f（2t）+f（t﹣10，所以f（2t）<﹣f（t﹣1f（1﹣t所以2t＜1﹣t，所以t＜，1812分）为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【解答】解1）根据题意，记事件A为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，（2）甲编写程序正确的个数X的可能取值为3，2，1，0，P(X=1)=P(X=2)==，P(X=3)==，故甲编写程序正确的个数X的分布列为：X0123P 1 3 1 2 1 6则甲编写程序正确的个数X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=，甲闯关成功的概率P=+=＞0.648，故甲比乙闯关成功的概率要大.1912分）已知数列{an}满足an+an+2＝2an+1，n∈N*且a1＝1，a2＝3.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝1，且满足3Sn＝bn+1﹣1，记cn=，求数列{cn}的【解答】解1）数列{an}满足an+an+2＝2an+1，即为an+2﹣an+1＝an+1﹣an＝...＝a2﹣a1，所以{an}是等差数列，且公差为a2﹣a1＝2，首项为1，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；当n≥2时，3Sn﹣1＝bn﹣1，又3Sn＝bn+1﹣两式相减可得3bn＝bn+1﹣bn，当n＝1时，上式也成立.2012分）已知函数f（xx2•ex.(Ⅰ)求f（x）的极值；(Ⅱ)若函数y＝f（x）﹣ax在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围.【解答】解：由题意可知函数f（x）的定义域为R.(Ⅰ)因为f（xx2•ex.所以f′（xex（x2+2x由f′（x）＝0，得x1=﹣2，x2＝0，当x<﹣2时，f′（x0，函数单调递增，当﹣2＜x＜0时，f′（x0，函数单调递减，当x＞0时，f′（x0，函数单调递增，因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，并且极大值为f(﹣2）=当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0.(Ⅱ)因为y＝f（xax＝x2•ex﹣ax，所以x＝0为一个零点.所以“函数y＝x令h（xxex，则h′（xx+1）ex，所以，当x<﹣1时，h′（x0，h（x）在(﹣∞,﹣1）上单调递减；当x1时，h′（x0，h（x）在(﹣1，+∞)上单调递增；当x=﹣1时，h（x）有最小值h(﹣1）=.若方程a＝xex有两个非零实根，则h(﹣1）=＜a，即a＞.若a≥0，方程a＝xex只有一个非零实根，所以a＜0.综上，＜a＜0.2112分）受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图.优秀数非优秀数合计某校4654联谊校5644合计98200（1）请你根据数据利用相关系数判定均分y与线上教学周数x是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；（2）为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表，试依据α=0.100的独立性检验，分析优秀学生数与线上学习是否有关联？ σ1(xi−x)1(yi−y)2附：相关系数： σ1(xi−x)1(yi−y)2==iiy)，X2= n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)̂(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)a=临界值表：α0.