集合的含义及表示

关于集合的含义及表示问题提出

“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.

在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？集合的含义第2页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（一）

考察下列问题：（1）1～20以内的所有质数；（2）绝对值小于3的整数；（3）龙一中248（或249）班的所有男同学；（4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.

思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集合中的元素分别是什么？第3页,共53页，星期六，2024年，5月

思考3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中的元素个数的多少是否有限制？

思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？

把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.第4页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（二）

任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？

思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？集合中的元素必须是确定的

思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？集合中的元素是不重复出现的

思考3：0706班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？集合中的元素是没有顺序的第5页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（三）

思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？

思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？

思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？a属于集合A，记作

思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？a不属于集合A，记作第6页,共53页，星期六，2024年，5月自然数集（非负整数集）：记作

N正整数集：记作或整数集：记作

Z有理数集：记作

Q实数集：记作

R知识探究（四）

思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？

思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？第7页,共53页，星期六，2024年，5月

作业：P5练习：1.（1）；P11习题1.1A组：1.第8页,共53页，星期六，2024年，5月1.1.1集合的含义与表示第二课时集合的表示第9页,共53页，星期六，2024年，5月问题提出

1.集合中的元素有哪些特征？集合的表示

确定性、无序性、互异性

2.元素与集合有哪几种关系？属于、不属于

3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2为半径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？第10页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（一）思考1：这两个集合分别有哪些元素？

考察下列集合：（1）小于5的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合.（1）0，1，2，3，4；（2）-1，0，1思考2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？

（1）{0，1，2，3，4}；（2）{-1，0，1}思考3：这种表示集合的方法叫什么名称？

列举法思考4：列举法表示集合的基本模式是什么？

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，即第11页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（二）

考察下列集合：（1）不等式的解组成的集合；（2）绝对值小于2的实数组成的集合.思考1：这两个集合能否用列举法表示？思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？

（1）R，且；（2）R，且思考3：上述两个集合可分别怎样表示？

（1）{R|}；（2）{R|}思考4：这种表示集合的方法叫什么名称？

描述法思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？

{元素的一般符号及取值范围|元素所具有的性质}第12页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（三）思考1：与{}的含义是否相同？思考2：集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？思考3:集合的几何意义如何？xyo第13页,共53页，星期六，2024年，5月理论迁移

例1用适当的方法表示下列集合：（1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；（2）在平面直角坐标系中以原点为圆心,1

为半径的圆周上的点组成的集合；（3）所有奇数组成的集合；（4）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合.{-2，-1，0，1，2}或{123，132，213，231，312，321}.第14页,共53页，星期六，2024年，5月例2用列举法表示下列集合：（1）;（2）.（1）{-1，1，2，4，5，7}；

（2）{（0,3）,（1,2），（2,1）,（3,0）}第15页,共53页，星期六，2024年，5月

例3设集合，已知，求实数的值.例4已知集合A={1,2,3},B={1,2},设集合C=,试用列举法表示集合C.C={-1，0，1，2}

1或-4第16页,共53页，星期六，2024年，5月

1.1.2集合间的基本关系第一课时子集和等集

第17页,共53页，星期六，2024年，5月问题提出1.集合有哪两种表示方法？

列举法，描述法

2.元素与集合有哪几种关系？

属于、不属于

3.集合与集合之间又存在哪些关系？子集和等集第18页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（一）考察下列各组集合：（1）A={1，2，3}与B={1，2，3，4，5}；（2）A=与B=.（3）A={x|x是正三角形}与B={x|x是等腰 三角形}.思考1:上述各组集合中，集合A中的元素与集合B有什么关系？A中的元素都属于B

第19页,共53页，星期六，2024年，5月思考2:上述各组集合中A与B有包含关系，我们把集合A叫做集合B的子集.一般地，如何定义集合A是集合B的子集？

对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集.思考3:如果集合A是集合B的子集，我们怎样用符号表示？

（或），读作：“A含于B”（或“B包含A”）第20页,共53页，星期六，2024年，5月思考4:我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为venn图，那么，集合A是集合B的子集用图形如何表示？AB思考5:如果，且，则集合A与集合C的关系如何？

思考6:怎样表述，，两两之间的关系？

第21页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（二）考察下列各组集合：（1）与；（2）与；（3）与.思考1:上述各组集合中，集合A与集合B之间的关系如何？

相等思考2:上述各组集合中，集合A是集合B的子集吗？集合B是集合A的子集吗？第22页,共53页，星期六，2024年，5月思考3：对于实数,如果且，则与的大小关系如何？思考4：从子集的关系分析，在什么条件下集合A与集合B相等？第23页,共53页，星期六，2024年，5月理论迁移例1写出满足的所有集 合A.

{1，2},{1，2，3},{1,2,4},{1，2，3，4}例2已知集合， ,试确定集合A与 B的关系.第24页,共53页，星期六，2024年，5月例3设集合，,若， 求实数的值.-1或0例4设集合，， 若，求实数的取值范围.第25页,共53页，星期六，2024年，5月作业:P7练习：3.P12习题1.1A组：5（1）.

思考题：已知集合A={1，2}， , 若，求实数的值.第26页,共53页，星期六，2024年，5月

1.1.2集合间的基本关系第二课时真子集和空集第27页,共53页，星期六，2024年，5月问题提出1.的含义是什么？从子集的关系分析，A=B可怎样理解？2.若，则集合A与B一定相等吗？3.若，则可能有A=B，也可能.当，且时，我们如何进行数学解释？真子集和空集第28页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（一）考察下列两组集合：（1）集合A={1，2，3，4}与（2）集合A={0，1，2，3，4}与思考1:上述两组集合中，集合A与集合B之间的关系如何？

思考2:上述两组集合中，集合A都是集合B的子集，这两个子集关系有什么不同？思考3:为了区分这两种不同的子集关系，我们把（1）中的集合A叫做集合B的真子集，那么如何定义集合A是集合B的真子集？第29页,共53页，星期六，2024年，5月

如果，但存在元素且，则称集合A是集合B的真子集.思考4:如果集合A是集合B的真子集，我们怎样用符号表示？思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？第30页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（二）考察下列集合：（1）{x|x是边长相等的直角三角形}；（2）；（3）.思考1:上述三个集合有何共同特点？集合中没有元素

思考2:上述三个集合我们称之为空集，那么什么叫做空集？用什么符号表示？不含任何元素的集合叫做空集，记为第31页,共53页，星期六，2024年，5月思考3:对于集合A={1，2}，空集是集合A的子集吗？

规定：空集是任何集合的子集

思考4:空集与集合{0}相等吗？二者之间是什么关系？思考5:集合{a},{a,b},{a,b,c}分别有多少个子集？

思考6:一般地，集合共有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？第32页,共53页，星期六，2024年，5月理论迁移

例1已知集合M满足M{1，2，3}，且集合M中至少含有一个奇数，试写出所有的集合M.{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}

例2设集合，，若AB，求实数m的值.m=0或或-1第33页,共53页，星期六，2024年，5月

例3已知集合，

,若AB，求实数的取值范围.第34页,共53页，星期六，2024年，5月作业:P7练习：2.P12习题1.1A组：5（2）,（3）.思考题:已知集合A=,B={x|x<0},若AB,求实数的取值范围.第35页,共53页，星期六，2024年，5月

1.1.3

集合的基本运算

第一课时并集和交集

第36页,共53页，星期六，2024年，5月问题提出1.对于两个集合A、B，二者之间一定具有包含关系吗？试举例说明.

2.两个实数可以进行加、减、乘、除四则运算，那么两个集合是否也可以进行某种运算呢？

交集和并集第37页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（一）考察下列两组集合：（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4}， C={1，2，3，4，5}；（2），， .思考1:上述两组集合中，集合A，B与集合C的关系如何？思考2:我们把上述集合C称为集合A与B的并集，一般地，如何定义集合A与B的并集？

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集第38页,共53页，星期六，2024年，5月思考3:我们用符号“”表示集合A与B的并集，并读作“A并B”，那么如何用描述法表示集合？AB思考4:如何用venn图表示？思考5:集合A、B与集合的关系如何？ 与的关系如何？第39页,共53页，星期六，2024年，5月思考6:集合，分别等于什么？思考7:若，则等于什么？反之成立吗？思考8:若，则说明什么？第40页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（二）考察下列两组集合：（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4}， C={1，3}；（2），，思考1:上述两组集合中，集合A，B与集合C的关系如何？思考2:我们把上述集合C称为集合A与B的交集，一般地，如何定义集合A与B的交集？

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集第41页,共53页，星期六，2024年，5月思考3:我们用符号“”表示集合A与B的交集，并读作“A交B”，那么如何用描述法表示集合？思考4:如何用venn图表示？AB思考5:集合A、B与集合的关系如何？ 与的关系如何？第42页,共53页，星期六，2024年，5月思考6:集合，分别等于什么？思考7:若，则等于什么？反之成立吗？思考8:若，则说明什么？集合A与B没有公共元素或第43页,共53页，星期六，2024年，5月理论迁移

例1写出满足条件的所有集合M.{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}

例2已知集合，

,若，求{-1，0，1}第44页,共53页，星期六，2024年，5月

1.1.3

集合的基本运算

第二课时全集和补集

第45页,共53页，星期六，2024年，5月问题提出2.对于任意两个集合，是否都可以进行交与并的运算？全集和补集1.对于集合A，B，和的含义如何？3.两个集合之间的运算除了“并”与“交”以外，还有其他运算吗？

集合{x|x是直线}与集合{x|x是圆}的交集是什么？第46页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（一）思考1:方程在有理数范围内的解是什么？在实数范围内的解是什么？{2}思考2:不等式在实数范围内的解集是什么？在整数范围内的解集是什么？

{2，3，4}

第47页,共53页，星期六，2024年，5月思考3:在不同范围内研究同一个问题，可能有不同的结果.我们通常把研究问题前给定的范围所对应的集合称为全集，如Q，R，Z等.那么全集的含义如何呢？

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作U第48页,共53页，星期六，2024年，5月知识探究（二）考察下列各组集合：（1）U={1，2，3，4，…，10}，A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8,10}；（2）