2024年甘肃省武威八中联考九年级中考数学三模试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威八中联考九年级数学三模试卷一、选择题（共30分）1.2的倒数是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查倒数，乘积是1的两个数互为倒数，由此可解．【详解】解：2的倒数是，故选：C．2.已知，．则值是（）A. B.7 C.13 D.23【答案】B【解析】【分析】将所求式子变形为，再整体代入计算．【详解】解：∵，，∴故选B．【点睛】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键是掌握整体思想的灵活运用．3.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据绳子的长度不变列出方程即可．【详解】解：设木长x尺，根据题意有：．故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．4.如图，下列条件中能判定的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】据平行线的判定方法一一判断即可．【详解】A、不能判断，故该选项不符合题意；B、得出，故该选项不符合题意；C、得出，故该选项不符合题意；D、得出，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.将一副三角板如图放置，使点在上，，，，则的度数为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠ABC=45°，∠DBC=30°，据此可得∠ABD的度数．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=45°，

∴∠ABC=45°，

∵BC∥DE，∠D=30°，

∴∠DBC=30°，

∴∠ABD=45°-30°=15°，

故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．6.如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理求出AN，计算即可．【详解】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE＝AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴∠CAN＝30°，∴CN＝AC＝，∴AN=，∴AM＝，∵BD＝DA，BE＝EM，∴DE＝，故选B．【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．7.如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案．【详解】解：连接、两点，过点作于点，，，，四边形是平行四边形，，的边上的高与的边上的高相等，，，同理：，，，，，故阴影部分的面积为．故选：B．8.如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD=3，tan∠OAB=，则劣弧AB的长是（）A.2π B.3π C.4π D.6π【答案】C【解析】【分析】连接OC、OB．根据，可推出，即可求出．又由AB为小圆的切线，可推出，即可求出AO的长，最后利用弧长公式计算即可．【详解】如图连接OC、OB．∵，OA=OB．∴，∴．∵AB为小圆的切线，∴，又∵OC=OD=3，∴AO=2OC=6．∴．故选：C．【点睛】本题为圆的综合题．掌握切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式以及三角函数等知识是解答本题的关键．9.如图，点，，以为边作正方形，点E是边上一点，且，则点E的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点E作于点H，先求出，再证明，则，求得，则，即可得到答案．此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、图形和坐标等知识，熟练证明是解题的关键．【详解】解：过点E作于点H，∵点，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴,∴点E坐标为，故选：A10.如图，反比函数的图像与的直角边相交于点C，直角顶点B在轴上，交斜边于点D，若，且，则的值为（）A.16 B.8 C.9 D.18【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出的值．根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出，,，进而求出即可．【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，的面积和的面积相等，即，，，，，，，，，解得：．故选：D．二、填空题（共24分）11.－64的立方根是_______．【答案】-4【解析】【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解．【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数，可知-64的立方根为-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数．12.正六边形的每个内角等于______________°．【答案】120【解析】【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：，故答案为：12013.如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．【答案】【解析】【分析】根据平分，平分，可得，，再根据外角的性质可得，，化简得；过作于点，于点，延长线于点，易得，可得平分，即有，根据，可得，，则有，再根据求解即可．【详解】解：∵平分，平分，∴，，又∵，，∴∴∴如图示，过作于点，于点，延长线于点，∵平分，平分，∴，，即∴平分，∴又∵∴∴∴∴故答案是：．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．14.分解因式：___________．【答案】【解析】【分析】题目主要考查提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解．【详解】解：，故答案为：．15.如图，在矩形中，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若分别是的中点，则的最小值为_______________．【答案】【解析】【分析】由折叠的性质可得，由勾股定理可得，由三角形的中位线定理可得，当在上时，有最小值，此时也有最小值，通过计算即可得到答案．【详解】解：连接，，如图所示，由题意可得：，，，，分别是的中点，为的中位线，，在中，，当在上时，有最小值，为，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、三角形中位线定理，求出的最小值，是解题的关键．16.如图，已知线段．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，的周长是______．【答案】17【解析】【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，圆周角定理，三角函数等知识，熟悉掌握相关的知识点是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角得，再由结合勾股定理可求出AC和BC的长，再根据线段垂直平分线的性质得即可求出的周长．【详解】解：∵AB是直径；∴；∵；∴设；则；在中，，由勾股定理得；；即；解得：；∴；由题意得PQ是线段AB的线段垂直平分线；∴；∴的周长；故答案为：17．17.如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点F在上，与交于点P，与交于点Q．若，，则四边形的面积是_________．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，先证明得到，再证明．得到，．利用勾股定理求出，进而得到，则可得最后根据进行求解即可．【详解】解：∵四边形、四边形、四边形都是正方形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴．，．∵，∴，，，故答案为：6．18.如图，的内接四边形，，的直径与交于点F，连接．若，，，则的长为______．【答案】6【解析】【分析】如图：连接，交于G点，先证明可得，再证，再根据平行线分线段成比例定理可得，然后代入相关数据计算即可解答．【详解】解：如图：连接，交于G点，∵，∴，∴，∵，∴，∴,∴，∴∵是直径，∴，∵，∴,即,∵，∴，∵∴，即，∴，∵，∴，即．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．三、计算题（共8分）19.（1）计算：．（2）解不等式组：【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，求不等式组的解集：（1）分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可．（2）分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．【详解】解：（1）．（2）解：解不等式，，解得：．解不等式，，解得：．所以原不等式组的解集是：．四、作图题（共6分）20.如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．（1）画出关于原点O成中心对称的；（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．（1）作出点A、B、C关于原点的对称点、、，然后顺次连接即可；（2）以A为位似中心，作出点B、C的位似点，然后顺次连接即可．【小问1详解】解：如图，即为所求作的三角形．【小问2详解】解：如图，与即为所求作的三角形．五、解答题（共52分）21.如图，已知和，，，，与交于点，点在上．求证：；【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，根据证明即可得到【详解】证明，，，，，；22.如图，四边形中，，对角线交于点O，且．求证：四边形是平行四边形．【答案】详见解析【解析】【分析】主要考查全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定，结合图形，综合运用这两个知识点是解题关键．根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形的判定即可证明．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形．23.如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，．（1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论；（2）若，求的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，根据等边对等角，结合等角的余角相等，得到，即可得出结果；（2）连接，先证明，得到，根据，设，勾股定理得到，进而得到，在，利用勾股定理求出的值，进一步求解即可．【小问1详解】解：直线与相切，证明：如图3，连接．∵是的直径，∴，∵点是延长线上一点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴直线与相切．【小问2详解】如图4，连接，∵，．∵是的直径，∴，∵，∴，∴，在中，，设，则，∴，∴在中，，即，解得：，∴，∴的半径为．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．24.为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元．（1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？（2）学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？【答案】（1）当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小（2）当a为20时，2026年的总种植成本为28920元【解析】【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是用待定系数法正确求出函数关系式，正确列出一元二次方程．（1）根据当时，，由二次函数的性质得当时，w有最小值，再根据土地总面积为解答即可．（2）根据2026年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．【小问1详解】当时，∵，∴抛物线开口向上．∴当时，w有最小值，．∴，∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小．【小问2详解】由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元，乙种蔬菜的种植成本是（元），甲种蔬菜的种植成本是（元），，设，则，解得：，（舍去），∴．∴．答：当a为20时，2026年总种植成本为28920元．25.为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；（2）将两个统计图补充完整；（3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．【答案】（1）被调查的学生总人数为150，喜欢“跑步”的学生人数为60人；（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数；（2）根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】解：由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的，被调查的学生总人数为（人），喜欢“跑步”的学生人数为（人）；【小问2详解】喜欢“跑步”的学生占学生总人数，补全统计图如下：【小问3详解】画树状图得：共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况，刚好抽到2名女生的概率为＝．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握概率=所求情况数与总情况数之比．26.如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．（1）求的度数；（2）若，求的半径．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；（2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．【小问1详解】如图，连接．为的切线，．，．，．，．【小问2详解】如图，连接，，，．，，且，，，即，，，即半径为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键．27.如图，在平面直角坐标系中，是原点．直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）点是直线上的一个动点，设点的横坐标为，①若的面积为，求关于的函数表达式；②在直线上取，在的左侧，在直线的下方作正方形，求正方形与抛物线有两个交点时的取值范围．【答案】（1）（2）①②或【解析】【分析】1）求出点坐标，两点式求出函数解析式即可；（2）①分，，两种情况进行讨论，利用三角形的面积公式进行表示即可；②先求直线与抛物线的交点，根据正方形的性质和两直线平行的特点，求出直线的解析式，进而求出直线