小学奥数851操作与策略题库学生版

第十四讲：操作与策略

F1

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1.通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律

2.在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案

3.让孩子掌握各种趣题的不同思考方式.

k__________________________________________

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并

通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

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模块一、制胜策略

【例1】（圣彼得堡数学奥林匹克）尤拉想出一个数，将它乘以13,删去乘积的末位数，将所得的数再乘以

7,再删去乘积的末位数，最终得到的数为21.问：尤拉最初所想的是哪一个数？

【巩固】（2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）有足够多的盒子依次编号0,1,2,…，

只有0号是黑盒，其余的都是白盒.开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果左号

白盒中恰有女个球，可将这k个球取出，并给。号、1号、…，（4-1）号盒中各放1个.如果经过

有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有一个球.

[例2]圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子.小洪首先拿走8点处的1枚

棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A.当将要第10

次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子.若N是14的倍数，请精确

算出圆周上现在还有多少枚棋子？

【例3】（2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各

200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去;

如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去.这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么,

经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色（填黑或者白）

［例4］今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同.现需弄清楚伪

币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有祛码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目

的？

【巩固】9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无祛码）？

［例5］有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望

通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？

［例6］（第七届“华杯赛”决赛）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1.如

此进行直到为1操作停止.求经过9次操作变为1的数有多少个？

【巩固】对于任意一个自然数〃，当〃为奇数时，加上121;当”为偶数时，除以2,这算一次操作.现在对

231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100?为什么？

【巩固】小牛对小猴说：“对一个自然数〃进行系列变换：当”是奇数时，则加上2007；当〃是偶数时，则

除以2.现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008.”小猴说：“你骗人！不可能出

现2008.”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？

【例7】（2005年武汉“明星奥数挑战赛”）有依次排列的3个数：2,0,5,对任意相邻的两个数，都用

右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2,-2,0,5,5,这

称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2,-4,-2,2,0,5,5,0,5.继

续依次操作下去.问：从新数串2,0,5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是

多少？

【巩固】（武汉“明星奥数挑战赛"）将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作.如

对18和42可连续进行这样的操作，则有：18,42-18,24fl8,6-12,6-6,.直到两数相同为

止.试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15.这两个四位数是

与.

【例8】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009,现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上,

并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009.然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加,

再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

【巩固】先写出一个两位数62,接着在62右端写这两个数字的和8,得到628,再写末两位数字2和8的

和10,得到62810,用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……则这个整数

的数字之和是（）o

［例9］有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根.甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火

柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴.每次至少要取走一根火柴.谁取得最后一根火柴谁

胜.如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？

【例10】黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,51.甲、乙两人轮流划掉连续的3个数.规定在谁划

过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜.问：甲有必胜的策略吗？

【例11】两个人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1〜5个数，谁先报到50谁获胜.你

选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？

模块二、优化调运及排线问题

【例12】新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水（如下图，距离单位为千米），要安装水管有

粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8（X）0元，

细管每千米要2000元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工

程费用最低？费用是多少元？

自来水厂

•------------------A•----------•B----•C------•D----•E-------•F-----•G-----•H------I•------

30524232225

【例13】有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水.可以用

粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元.粗管足够供应所有各村用水，细管只

能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设,

总费用是多少？

30I____________।5।2।4।2।32।2।2।5।।

县城A】A2A3A4A5A647A8A9io

运费/完、科站

【例14］北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备杭州西安

给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如右表，如何调

北京8001000

洛阳700600

运能使总运费最省？

【例15】北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本运费/京T站

汉口重庆

地外，北京可以支援外地10台，上海可以支持外地4台.现

决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如右表,北京48

上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使

上海35

总的运费最省？最省的运费是多少？

【例16】北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去.其中甲工厂需

要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨.两个仓库与各工厂之间的距离如图所示（单位：公

里）.已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运

入各工厂的最小费用是多少元？

【例17】A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50

吨大米.从A,2两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？

捶要本色站运费/元T站

甲乙丙•1'乙丙

A04030A273

B30020B3105

[例18]一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同,

如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）

【例19]下图是一个交通示意图，A、B、C是产地（用•表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），D、

E、F是销地（用。表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），线段旁边有括号的数字表示两地每吨

货物的运价，单位：百元（例如B与。两地，由B到。或由由。到B每吨货物运价100元）.将产品

由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？

【例20]用10尺长的竹竿做原材料,来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原

材料几根？怎么截法最合算？

【例21]山区有一个工厂.它的十个车间分散在一条环行的铁道上.四列货车在铁道上转圈运送货物。

货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物.各车间由于工作量不同，所需装卸工人数

也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在货车上

跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分跟车.问怎样安排跟车人数和

各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？

【例22】现有5段铁链，每段上有4个封闭的铁环.现在要打开一些铁环，把这20个铁环焊接成一个一

环套一环的圆圈.如果每打开一个铁环要2分钟，焊接上一个铁环要3分钟.那么焊成这个圆圈，

至少需要分钟.

0300

0880

CB0D

CWD

0080

【例23】国王准备了1000桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下

毒，若毒服后则正好第10日发作.有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证检

验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？

【巩固】欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个自然数.两人各出一张卡片，计算两张卡片上所

写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和.那么，两人的卡片上所写的数中最大的数最小

是.

【例24】一个物流港有6个货站，用4辆同样的载重汽车经过这6个货站组织循环运输.每个货站所需

要的装卸工人数如下图.为了节省人力，可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸.在最优的

安排下使物流港装卸工总人数最少，则是人.

4.

3

【例25】一次，齐王与大将赛马.每人有四匹马，分为四等.田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序一次

为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的

一等,齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等自己的四等.田忌有种

方法安排自己的马出场顺序，保证自己至少能赢得两场比赛.

Ihin超局写为

练习1.（武汉“明星奥数挑战赛”）对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变

换.如对18和42可作这样的连续变换：18,42-18,24^18,6-12,6^6,6

直到两数相同为止.问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是.

练习2.（2002年《小学生数学报》邀请赛）一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键.蓝键为“输入/删

除”键（按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除）.每按一个红键，则显示屏上

的数变为原来的2倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动消失.现在先按蓝键输入21.

请你设计一个操作过程，要求：⑴操作过程中只能按红键和黄键；⑵按键次数不超过6次；⑶最后

输出的数是3.

练习3.在黑板上写上I、2、3、4、……、2008,按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数a

和力，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还

是偶数？为什么？

练习4.1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1〜7

个格.规定将棋子移到最后一格者输.甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？

练习5.一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品.每个车间装卸货物所需工

人数为25、18、27、10、20、15、30.若改为部分工人跟车，部分工人固定在