微专题09 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 （三大题型）（解析版）

微专题09巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：单模长最值问题题型二：多模长之和差最值问题题型三：模长的范围问题【方法技巧与总结】求复数模的范围与最值问题是热点问题，其解题策略是：（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决；（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；（3）利用三角函数解决.【典型例题】题型一：单模长最值问题【典例1-1】（2024·高一·江苏苏州·期末）设是虚数单位，若复数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】A【解析】因为，所以=，当时，.故选：A.【典例1-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为．【答案】【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又的几何意义是表示复数对应的点与点之间的距离，其最小值为原点到点之间的距离减去圆的半径，故的最小值为.故答案为：.【变式1-1】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知复数满足，则的最小值是.【答案】【解析】因为，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【变式1-2】（2024·高一·全国·单元测试）已知，求的最大值和最小值分别为.【答案】，【解析】设，则，所以，又，所以，即，可知复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则，；所以的最大值和最小值分别为，.故答案为：，.【变式1-3】（2024·高一·全国·单元测试）若|，则的最小值为.【答案】1【解析】设，则.所以，即，所以，所以，故当时，的最小值为1.故答案为：1.题型二：多模长之和差最值问题【典例2-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）已知复数，其中.则的最小值为.【答案】【解析】在图中作出复数，和的位置，分别为点,令复数所在复平面上的点为，易得，所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，，，所以复数所表示的点在线段上（包括端点），因为四边形为菱形，所以垂直平分，所以有.于是由三角不等式，，当且仅当，即时等号成立，此时.故答案为：4.【典例2-2】（2024·浙江·高一嘉兴一中校联考）已知复数满足，求的最小值______．【答案】13【解析】因为复数满足，所以，所以，所以，解得，所以，所以，则上式表示复平面上的点到点的距离和，因为关于实轴的对称点为，所以因为，当三点共线时取等号，所以的最小值为13，即的最小值为13，故答案为：13【变式2-1】（2024·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的最小值为_________.【答案】【解析】设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和；显然当，即时，故答案为：【变式2-2】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则表示点到三顶点、、的距离之和.依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.此时.故选：B.题型三：模长的范围问题【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）若，则取值范围是___．【答案】【解析】由题意设(),则其几何意义为平面内一动点到两定点，距离之差，由图可知，当，，三点共线时，距离之差最大，当时，最小，则．的取值范围是．故答案为：．【典例3-2】（2024·高一课时练习）已知复数满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】复数满足，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则的表示圆上的点到和的距离，由图象可知，当点在处最小，最小为:，当点在处最大，最大为，则的取值范围是，故答案为：【变式3-1】（2024·浙江宁波·高一效实中学校考）已知复数，其中为虚数单位.(1)当，且是纯虚数，求的值；(2)当时，求的取值范围.【解析】(1)是纯虚数，故有，经计算有，;(2),所以有，如下图，根据几何意义，可知.【变式3-2】（2024·山西晋中·高二榆次一中校考开学考试）已知z为复数，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C.法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是.故选:C.【变式3-3】（2024·全国·高三专题练习）复数z满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】复数表示复平面上的点z到和的距离之和是4的轨迹是椭圆，则，的几何意义是复平面上的点到坐标原点的距离，所以.故选：A.【过关测试】1．（2024·高一·广东广州·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式．根据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．B．的最大值为2C．复数在复平面内对应的点位于第二象限D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为【答案】B【解析】对于A，，故A错误；对于B，，当时，的最大值为2，故B正确；对于C，，所以复数在复平面内对应的点位于第一象限，故C错误；对于D，，，，，所以的面积为：.则面积的最大值为，故D错误.故选：B.2．（多选题）（2024·高一·海南省直辖县级单位·期末）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（

）A．点的坐标为B．（为的共轭复数）C．的最大值为D．的最小值为【答案】ABC【解析】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，由共轭复数的定义可得，B对；对于CD选项，设在复平面内的点，由复数满足，，的轨迹为以为圆心，1为半径的圆上.故的最大值为到的距离与半径的和为，最小值为到的距离与半径的差为，故C对，D错.故选：ABC.3．（多选题）（2024·高一·河北石家庄·期末）下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若复数满足，则C．若，则复数一定为实数D．若复数满足，则最大值为【答案】ACD【解析】A选项，由于，根据复数相等的知识可知，A选项正确.B选项，若，则，但，B选项错误.C选项，设，由得，则，解得，所以为实数，C选项正确.D选项，由于，所以对应点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，而表示圆上的点到原点的距离，所以最大值为，D选项正确.故选：ACD4．（多选题）（2024·高一·广东东莞·阶段练习）设z为复数，则下列命题中正确的是（）A． B．C．若，则的最大值为2 D．若复数，则【答案】ACD【解析】对于A，设()，则，所以，而，所以成立，故A正确；对于B，设()，当均不为时，为虚数，而为实数，所以不成立，故B错误；对于C，，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的几何意义为复数对应的点与两点间的距离，所以，如图可知，当点P为时，最大，取最大值，最大值为2，故C正确；对于D，设()，（），由，则，则；；所以，故D正确.故选：ACD.5．（多选题）（2024·高一·江苏无锡·期末）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（

）A．若复数z满足，则 B．若复数、满足，则C．若，且，则 D．若，则的最大值为【答案】AD【解析】对于A选项，因为，则，得，故A正确；对于B选项，当，时，不满足，排除B选项；对于C选项，设，，，则，那么，，那么，由于，但，排除C选项；对于D选项，若，如图：的几何意义为圆上的动点到定点的距离，则的最大值为.故选：AD.6．（多选题）（2024·高一·重庆江津·期末）已知复数，，则（

）A． B．若，则的最大值为2.C． D．在复平面内对应的点在第二象限【答案】AC【解析】对于A：复数，，，，又，，A正确；对于B：设，则，即，且，，即的最大值为3，B错误；对于C：，，又，则，故C正确；对于D：，其在复平面对应的点为，在第一象限，D错误.故选：AC.7．（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值【答案】【解析】设，，,即，化简整理可得，复数的对应点的轨迹，对应的点为点，点与点之间距离的最小值为，故答案为：8．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为．【答案】6【解析】设(为实数)，则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，则表示的几何意义是圆上的点到的距离，根据圆的性质可知，所求最大值为.故答案为：6.9．（2024·高一·辽宁·期末）已知复数z满足，则的最大值为．【答案】/【解析】设复数z在复平面中对应的点为，因为，则点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，且表示点到定点的距离，所以的最大值为.故答案为：.10．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）若，且满足，则的最大值为.【答案】3【解析】，复数的轨迹表示以点为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离，如图，当过点和圆的圆心，即为最大值.故答案为：11．（2024·高一·辽宁辽阳·期末）设复数在复平面内对应的点为，若，则的最大值为．【答案】7【解析】因为，则点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部．的坐标为．所以的最大值为．故答案为：7.12．（2024·高一·上海宝山·期末）已知，则的最大值是.【答案】6【解析】在复平面内，由，知复数对应点的轨迹是原点为圆心的单位圆，表示点与复数对应点的距离，所以的最大值为.故答案为：613．（2024·高一·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是.【答案】6【解析】根据复数的几何意义可知，满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，的几何意义为圆上的动点到的距离，如图：当三点共线时，且在圆心的两侧时，距离最大，最大距离为，故答案为：14．（2024·福建福州·三模）已知复数，满足，，则的最大值为.【答案】