微专题02 平面向量的基本定理（四大题型）（原卷版）

微专题02平面向量的基本定理【题型归纳目录】题型一：平面向量基本定理的理解题型二：利用基底表示向量题型三：平面向量坐标化题型四：等和线【典型例题】题型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式1-1】（2024·江苏苏州·高一江苏省震泽中学期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和【变式1-2】（2024·高一课时练习）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与题型二：利用基底表示向量【例2】（2024·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·天津·高一天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·高一课时练习）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【变式2-3】（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（

）A． B．C． D．题型三：平面向量坐标化【例3】（2024·安徽马鞍山·高一统考期末）正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（

）A． B．C． D．【变式3-1】（2024·全国·高一专题练习）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则向量在另一组基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2024·全国·高一专题练习）若向量，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则向量在另一组基底，下的坐标为（

）A． B． C． D．题型四：等和线【例4】（2024·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）如图，腰长为4的等腰三角形中，，动圆的半径，圆心在线段（含端点）上运动，为圆上及其内部的动点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的最大值是（

）A．2 B．3 C．5 D．6【变式4-2】（2024·福建莆田·高一仙游一中阶段练习）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为(

)A．1 B． C． D．3【过关测试】一、单选题1．（2024·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（

）A．与B．与C．与D．与2．（2024·福建福州·高一校联考期中）平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·高一专题练习）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·江苏盐城·高一统考期末）已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（

）A． B．C． D．5．（2024·四川遂宁·高一统考期末）在对角线相等的平行四边形中，，，为上一点，若，，，则（

）A． B． C． D．6．（2024·山东日照·高三阶段练习）一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中，,，则λ的值为()

A． B． C． D．7．（2024·河北衡水·校考一模）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若，则（）A． B． C． D．8．（2024·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，，分别是与轴、轴方向相同的单位向量，已知，，，若与共线，则实数的值为（

）A．4 B．1 C．3 D．29．（2024·安徽安庆·高一统考期中）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量，则等于

A．－ B．－＋C．－＋ D．＋10．（2024·山西·统考一模）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-11．（2024·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题12．（2024·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）如果是平面内两个不共线的向量，那么选项中正确的是（

）A．可以表示平面内的所有向量B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个C．两向量共线，则有且只有一个实数，使得D．若存在实数使得，则13．（2024·全国·高一专题练习）下列说法中正确的有（

）A．已知是平面内两个非零向量，对于实数，，一定在该平面内B．已知，是平面内的一组基底，若实数，使，则C．已知是平面内两个非零向量，若实数，，，使，则，D．已知，是平面内的一组基底，对平面内任一向量，使的实数，有且只有一对14．（2024·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使15．（2024·浙江丽水·高一统考期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，是的中点，则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．16．（2024·山东威海·高三校考期中）四边形中，，则下列表示正确的是（

）A． B．C． D．17．（2024·江苏苏州·高一苏州中学校考阶段练习）如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（

）A． B． C． D．三、填空题18．（2024·河南·高一校联考期中）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则．19．（2024·全国·高三专题练习）若是一组基底，向量(x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为．20．（2024·湖北荆州·高三阶段练习）在平行四边形中,点是的中点,与相交于点,若,则的值为；21．（2024·山东菏泽·高一统考期中）如图，在边长为2的正