微专题11 立体几何中的截面问题（六大题型）（原卷版）

微专题11立体几何中的截面问题【题型归纳目录】题型一：判断截面形状题型二：截面周长题型三：截面面积题型四：截面作图题型五：截面切割几何体的体积问题题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题【方法技巧与总结】1、突破思维定式，灵活分析问题解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深人地理解截面对原立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中．2、注重应用经验，快速破解问题解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．3、借助几何模型，化陌生为熟悉在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率．解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果．【典型例题】题型一：判断截面形状【典例1-1】（2024·高一·重庆渝中·期末）过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形【典例1-2】（2024·高一·福建·阶段练习）用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是(

)A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形题型二：截面周长【典例2-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于.【典例2-2】（2024·高三·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是.【变式2-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是．

【变式2-2】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为．

题型三：截面面积【典例3-1】（2024·高一·广东清远·期末）在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为.

【典例3-2】（2024·高一·江苏南京·期末）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为．【变式3-1】（2024·山东潍坊·二模）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于．

【变式3-2】（2024·高二·江西九江·阶段练习）如图所示，在正方体中，点G在棱上，，E，F分别是棱，的中点，过E，F，G三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积比值为．【变式3-3】（2024·高一·山西晋城·期中）在棱长为6的正方体中，E是棱AB的中点，过作正方体的截面，则该截面的面积是．题型四：截面作图【典例4-1】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）如图①，在棱长为2的正方体木块中，是的中点.

(1)要经过点将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？请在图①中作图，写出画法，并证明.(2)求四棱锥的体积；【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，M为中点，过C，D，M的平面截四棱锥所得的截面为．若与棱交于点F，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置；【变式4-1】（2024·广西河池·模拟预测）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．(1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．(2)求多面体的体积．题型五：截面切割几何体的体积问题【典例5-1】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，用截面截下一个三棱锥，则三棱锥的体积与剩余部分的体积之比为.【典例5-2】（2024·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱中，底面，，点P是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为.【变式5-1】（2024·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比.题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题【典例6-1】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（

）

A． B． C． D．【典例6-2】（2024·高一·辽宁大连·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（

）A． B．8 C． D．6【变式6-1】（2024·高一·河北唐山·期末）若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（

）A．2 B． C． D．【变式6-2】（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（

）A．该圆锥的母线长为2B．该圆锥的体积为C．从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为【过关测试】1．（2024·高一·全国·专题练习）如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且．若四边形的面积为36，则四边形的面积为（

）A．12 B．16C．4 D．82．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）截角四面体可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示为一个正四面体，作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（

）

A． B． C． D．3．（2024·海南·模拟预测）当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（

）

A． B． C． D．4．（2024·高三·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（

）A． B． C． D．5．（2024·高三·福建泉州·期末）已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（

）A． B． C． D．6．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2024·高二·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是．8．（2024·高二·上海·期末）已知直三棱柱中，，过点的平面分别交棱AB，AC于点D，E，若