2024年九年级中考复习 数学解题模型归纳

初中数学解题模型归纳一、实数1.相反数、绝对值、倒数、特殊角的三角函数值、开方、乘方、零次幂、—1的奇偶次幂、负整数指数幂的混合运算(1)相反数①实数a的相反数是-a；②实数a,b互为相反数⇔a+b=0;③除0外，互为相反数的两个数表示的点位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等.如：2的相反数为-2，-3的相反数为3，0的相反数为0.(2)绝对值|a|具有非负性,即当a>0时,|a|=a;当a=0时,|a|=0;当a<0时,|a|=-a.例:|2|=2,|0=0,|—3|=3.(3)倒数①非零实数a的倒数为1②实数a,b互为倒数⇔ab=1;③0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和--1.如：2的倒数是12例题：2019的倒数的相反数是()A.—2019B.−12019【答案】B【解析】本题考查相反数、倒数.2019的倒数是12019,12019(4)特殊角的三角函数值sincostan(5)常见开方数4=2,9=3,16=4,25=5,36=6,49=7,64=8,81=9,8=2,3−8注：算术平方根均为正数、立方根有正有负.(6)乘方乘方的意义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，用式子表示为其中a叫做底数，n叫做指数，a"叫做幂.乘方的法则：负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0.(7)实数的运算顺序①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.例题：计算：|−【名师指导】本题考查绝对值、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值.根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算.解：原式=2.科学记数法把一个数写成a×10"的形式(其中1≤|a|<10，n为整数)，这种记数法称为科学记数法，其方法是：①确定a，a是整数数位只有一位的数；②确定n，当原数的绝对值大于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含小数点前的零).如:12300000=1.23×10⁷;0.000125=1.25×10⁻⁴例题：人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年.将数据5500万用科学记数法表示为()A.5500×10⁴B.55×10⁶C.5.5×10⁷D.5.5×10⁸【答案】C【解析】本题考查科学记数法.5500万=55000000=5.5×10⁷,故选C.3.实数大小比较(1)数轴比较法在数轴上，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)代数比较法正实数大于一切负实数，0大于一切负实数，正实数都大于0；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即对于负数a，b，|a|<|b|a>b.(3)差值比较法:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.(4)商值比较法：若a>0,b>0,ab>1,则a>b;若a>0,b>0,ab=1,则(5)倒数比较法：若a>0,b>0,1(6)平方比较法：若a>0,b>0,a²>b²,则a>b.(7)开方比较法：若a>0,b>0,a>b例题：实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是()A.a>bB.|a|<|b|C.a+b>0D.【答案】D【解析】本题考查用数轴表示数、比较实数的大小.由图可知，(a<0,b>0,∴a<b，选项A错误；从数轴上可以看出，表示a的点比表示b的点离表示0的点远,∴|a|>|b|,选项B错误;∵a<0,b>0,|a|>|b|,∴a+b<0,选项C错误;∵a,b异号,∴a二、整式1.整式的运算法则同底数幂的乘法：底数不变、指数相加.公式表示：aᵐ⋅aⁿ=aᵐ⁺ⁿ同底数幂的除法：底数不变，指数相减.公式表示：aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ幂的乘方：底数不变，指数相乘.公式表示：a积的乘方：各因式分别乘方的积.公式表示：ab合并同类型：把同类项(所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项)的系数相加减，字母及其指数不变.公式表示：22xᵐ±3xᵐ=单项式乘单项式：系数、相同字母因式分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.公式表示：2a⋅3ab=6a²b单项式除以单项式：将系数、同底数幂的因式分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.公式表示：a单项式乘多项式：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加.公式表示:m(a+b)=ma+mb多项式乘多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.公式表示：(m+n)(a+b)=m(a+b)+n(a+b)=ma+mb+na+nb例题：下列运算正确的是()A.a⋅a³=a³B.C.a⁶÷a³=a²D.【答案】D【解析】本题考查整式的运算.a⋅a³=a⁴,2a³=8a³,a⁶÷a³=a³,a²2.因式分解(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c);(2)公式法平方差公式：a²−b²=完全平方公式：a²+2ab+b²=a²−2ab+b²=例题：分解因式：a²−1【答案】(a+1)(a-1)【解析】本题考查因式分解.应用平方差公式因式分解可得a²−1=3.二次根式二次根式为非负数，二次根式有意义的条件是被开方数非负.即a【考向分析】通常考查二次根式有意义的条件、实数的混合运算中常见二次根式的化简求值.例题：若二次根式x+4有意义，则x的取值范围是.【答案】x≥-4【解析】本题考查二次根式有意义的条件.∵二次根式x+4有意义，∴x+4≥0,解得x≥-4,即x的取值范围是x≥-4.三、分式1.分式(1)分式与整式的根本区别是：分式中分母含有字母，如·12,x2(2)分式有无意义的条件：①若B≠0，则分式AB有意义；②若B=0，则分式A(3)分式等于零的条件：若AB例题：若分式x2−2xx【答案】2【解析】本题考查分式有意义的条件、解分式方程.若分式x2−2xx的值为0，则x²−2x=0,解得2.分式方程的求解解分式方程的基本思路是把分式方程去分母转化为整式方程，进而求解.(1)解分式方程的一般步骤①去分母：在方程的两边同时乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③验根并作答.(2)增根及验根的方法增根产生的原因是在去分母时，方程两边同乘的整式值为0.(3)方程验根的两种方法：①把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去；②把整式方程的根代入原分式方程，若使原方程的分母不为零，就不是增根；若为零，则是增根，必须舍去.例题：解方程：2【名师指导】本题考查解分式方程.将分式方程去分母转化为整式方程，并求解，检验后即可得到分式方程的解.解:方程两边乘以(x--1)(x+2),去分母得:2(x-1)+(x-1)(x+2)=x(x+2),解得:x=4,经检验x=4是原方程的根.3.分式方程的实际应用问到→分析/抽象→对程(组)→当解/检验→解答.于体步骤点下：(1)审到：弄清到目身所给出实相示关系及已知量、未知量；(2)设未知反：本对和通绝轴互种：①设直接未知反；②设间接未知反.并没含未知反实代反它为除涉及实量；(3)列对程(组)：具据给定实相示关系建非对程(组)；(4)解对程(组);(5)检验并作答：所当对程(组)实解在有确实基础外还要符合数际性即.原到：小明没15元买售价相时实软面笔记侧，小丽没24元买售价相时实硬面笔记侧(互人实钱恰好没完).已知每侧硬面笔记侧比软面笔记侧贵3元，个小明且小丽买表相时反量实笔记侧.设软面笔记侧每侧售价的x元，具据到性可列出实对程的()A.15x=24x+3B.15【答案】A【解析】侧到距离列分它对程解应没到.具据到性，软面笔记侧每侧售价的x元，题硬面笔记侧每侧售价的(x+3)元，∴15元能买15x侧软面笔记侧，24元能买24x+3侧硬面笔记侧，具据“互人买表相时反量实笔记侧”可列对程4.分式的化简求值利没提公例它和、公它和分解例它，零合查它实四题倒值和题上可将两分它化的角简.若需当位，将已知字母实反位代入角简分它上可当解.(1)分它实倒值①负和和题：a②是和和题：a③分它实负对：ab④时分母实分它函减和和题：a⑤异分母实分它函减和和题：a(2)分它实混合倒值实故选特负对，殊负是，角三值函减；轴括号，特值括号内实，在时级倒值身，从左向右依考进行.【考向分析】通绝距离分它且查它相零合实化简问到，绝绝没表通分、约分、例它分解、合并时类项示对和.表点：非化简，负原是：x−1÷x−2x−1【名师指导】示点位于三等数化简原是.非利离三等数本和距上对值化简，然当选x是特入原是.解：的等=====除x=2的等===1+四、方程与方程组1.一元一次方程方题元题有轴程数题般步骤：殊三实六步：①开三常，②开时例，③移角，④和函到查角，⑤化故相实1，⑥检验.2.二元一次方程组题般考等：a(1)零元题有轴程组方数情况除a1除a1除a1(2)二元一次方程组的解法①代入消元法：方程变形→代入消元→回代求解；②加减消元法：变换系数→加减消元→回代求值.例题：解方程组：x−y=1,【名师指导】本题考查解二元一次方程组.利用加减消元直接求解即可.解:x−y=1,x+3y=9,由②-①得4y=8,则y=2.③将③代入①得x-2=1,则x=3,∴方程组的解为x=3,3.一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(1)根的判别式△=b²−4ac.当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.例题：若关于x的一元二次方程k−1x²+x+1=0A.k≤B.k>C.k<5D.k≤5【答案】D【解析】本题考查一元二次方程根的判定.由题意知，k−1≠0,且△=1²−4(k--1)≥0,解得k≤5(2)一元二次方程根与系数的关系设一元二次方程ax²+bx+c=0a≠0有两个实数根.x₁和x₂,，那么x₁+例题：已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2x+k−1=0的两个实数根，且x12+【答案】--2【解析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、解一元一次方程.由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x24.值倒相学数反中初型(1)公式法适用于所有一元二次方程.求根公式为：x=【特殊角的】(1)使用球根公式时要先把一元二次方程化为一般形式；(2)将a，b，c代入公式时应注意其符号.(2)直接开平方法适用于ax²+c=0a≠0ac≤0或(3)配方法适用于所有的一元二次方程，一般常用于解“将二次项系数化为1后，一次向系数为偶数”的方程.(4)因式分解法适用于以下几种形式：①缺少常数项，即方程ax²+bx=0②一元二次方程的右边为0，左边易于分解或两个一次因式的乘积；③方程两边含有相同的因式(不能约去相同的因式).5.值倒相学数反中绝对一元二次方程方程的应用题一般会涉及变化率的问题，设a为原来量，当m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则a1+m²=b;当m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则例题：某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为()A.20%B.40%C.18%D.36%【解题】A【初模】本题考查一元二次方程及其应用.设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程251−x²=16,解得五、不等式(组)不等式组(其中a<b)图示口诀解集x≥a同大取大x≥bx<ax≤b同小取小x<ax≥ax<b大小小大中间找a≤x<bx≤ax>b大大小小找不到无解例题:不等式2x+9≥3(x+2)的解集是()A.x≤3B.x≤-3C.x≥3D.x≥-3【答案】A【解析】本题考查解一元一次不等式.去括号，得2x+9≥3x+6,，移项，合并同类项得-x≥--3,系数化为1,得x≤3,故选A.六、函数1.二次函数的图象与性质(1)一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).(2)顶点式:y=ax−ℎ(3)交点式(或因式分解式)：y=ax−x₁x−x₂(a,x₁,x₂(4)对称轴：直线x=−b2a=ℎ;(5)顶点坐标:−b(6)增减性：当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小.(7)考到:算a>0,等x=−b2a=ℎ算a<0,等x=−b2a=ℎ(8)负函方数a，b，c判断三和值数平象a决开有口非向a>0有口向位a<0有口向根a，b决开原见点的表术b=0原见点是y点a,b例选原见点注y点查轴a,b正选原见点注y点故轴c决开抛物线与y点交个的表术c=0抛物线过于个c>0抛物线与y点交示当半点c<0抛物线与y点交示离半点b²-4ac决开抛物线与x点交个的除数b²-4ac=0与x点距唯常的交个(顶个)与x点距为除交个b²-4ac<0与x点绝距交个(9)常元三和非程、三和对均本、三和值数义常元三和立上本----一··四除三和”的上价转换关方Δ=b²-4acax²+bx+c=0(a≠0)ax²+bx+c(a≠0)y=ax²+bx+c(a>0)a>0y=ax²+0y=ax²+bx+c<0Δ>0距为除立上实负x₁.₂=二b+z₁,ax²+bx+c=a(x-x₁)·(x-x₂)平象与x点距为除交个x<x₁或x>x₂(x₁<x₂)x₁<x<x₂(x₁<x₂)Δ=0距为除相上实负x₁=x₂=-b/aax²+bx+c=a(x-x₁.₂)²平象与x点距唯常乘共个x≠x₁,₂无求Δ<0无实数负注实数范围特立能零本意求平象注x点位非x取题时实数无求例题：如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是()A.c<0B.b²−4ac<0C.a-b+c<0D.图象的对称轴是直线.x=3【答案】D【的析】本题考查二次函数的图象与性质.∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，选项A错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b²−4ac>0,选项B错误；当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,选项C错误;∵抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(5，0)，∴抛物线的对称轴为直线x=1+52.运解图象整实际应用(1)函数与方程的关系思路：两函数图象的交点为联立两函数对应的方程后所得的解.此类题目通常利用数形结合的思想求解.例题：如图，已知反比例函数y=kxk≠0的图象与一次函数(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)已知点P(a,0)(a>0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=−x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx的图象于点N.若.【法式算则】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求解析式.(1)利用待定系数法即可求得；(2)根据图象可解.解：(1)∵反比例函数y=k∴1=k∴反比例函数的表达式分别为y=∵一次函数y=-x+b的图象经过点B(3,1),∴1=-3+b,即b=4,∴一次函数的表达式为y=-x+4.(2)由图象可得,当1<a<3时,PM>PN.(2)函数图象的实际应用①一次函数的图象的实际应用思路：通常根据题意设出两个未知数，根据图象信息列出等量关系，即可解决问题.例题：已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家.图中x表示时间，y表示林茂离家的距离.依据图中的信息，下列说法错误的是()A.体育场离林茂家2.5kmB.体育场离文具店1kmC.林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/minD.林茂从文具店回家的平均速度是60m/min【答案】C【解析】本题考查图象的应用.从图象可以看出：林茂从家跑了2.5km到体育场，∴体育场离林茂家2.5km，∴选项A说法正确；体育场离文具店2.5−1.5=1km，∴选项B说法正确；林茂从体育场到文具店所用时间为45−30=15min,∴平均速度为1000÷15=200②动态问题与函数图象相结合问题思路：将整个运动过程分情况讨论，写出每一段的函数解析式，即可判断对应的函数图象.例题:如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,,CH是AB边上的高,正方形DEFG的边DE在高CH上,F,G两点分别在AC,AH上.将正方形DEFG以每秒1cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G件点B重合时停止运动.取运动时围为t秒，正方形DEFG件△BHC重叠部分的面积为Scm²,则能反映S件t的函数简系的图化是()【的方】B【解指】本题考查等腰范角三角形的性质、正方形的性质、求三角形的面积.在等腰范角.△ABC中,CH是高,AB=8,∴CH=AH=BH=4,正方形DEFG的边长为2.如图1,当0≤t<2时,S=S加水DEMH=HD⋅DE=2t,它的函数图化是一条通过原点的线段；如图2，当2≤t<4时，S=S正方形DEFG−SMEN=22七、平行线的性质两范线平行，同位角相等：∠1=∠5,∠2=∠6,∠4=∠8,∠3=∠7;两范线平行,内错角相等:∠2=∠8,∠3=∠5;两范线平行，同旁内角互补：∠2+∠5=180°,∠3+∠8=180°.例题：如图，无知般组a‖b,，般组c化般组a，b分别增于点A，B.若∠1=54°,则∠2等于()A.126°B.134°C.136°D.144°【答案】A【解析】本题考查平行组的性直、平角的定义.如图，∵a‖b,∴∠3=∠1=54°,∴∠2+∠3=180°,∴∠2=180°−∠3=180°−54°=126°,故选A.八、三角形1.三角形(1)三角形的内外角取系①三角形的内角和是180°;②三角形的一个外角等于化它不相间的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个化它不相间的内角.(2)三角形的三边取系①三角形的任意两边元和大于第三边；②时当方数特和为均口正三表术时均.等对：立常除于判时当方数为均元求同是2，4，选术时均数元是()A.2B.3C.4D.2关4【指名】C【解师】如对值有于判时当方数到换、时当方数时均范平.于判时当方数为均元求同是2绝4，距术时均是2离，2+2=4，义无顶开时当方；距术时均是4离，2+4>4，无顶开时当方，∴术时均数元是4，非负C.2.二程次方导一二元次方导(1)于判时当方于判时当方数到换：①于判时当方实示上注乘方，原常做上注示，考能当零求向、故均点数查向、故均点数或向意根围向实上注示；②于判时当方数为故当相于(取见是“于均上于当”)；③于判时当方能当零求向、故均点数查向、故均点数或过函(取注“时向函常”).于判时当方数程算：①原为均相于；②于当上于均；(2)于均时当方于均时当方数到换：于均时当方数时均殊相于，时除角当殊相于，因位叫常除角当殊于表(60°.于均时当方数程算：①时做均殊相于数时当方实于均时当方；②时除当殊相于数时当方实于均时当方；③原常除角当实60°数于判时当方实于均时当方.3.组方次方导围当时当方数到换：①围当时当方为交当的线；②于判围当时当方为交当殊实45°；③轴题根围当时当方查原常除交当是30°，转象30°当意上数围当均于表断均数常唯；④根围当时当方查，断均点数查向于表断均数常唯.等对:轴乘,本例方ABCD数均CD根本例方ECGF数均CE点,积与DG,价个A运AH∥DG,四BG表个H.积与HF,AF,考查AF四EC表个M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形；(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.【名师指导】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例.(1)通过证明四边形ADGH是平行四边形,可得AD=HG,BH=GF,由“SAS”可证△ABH≌△HGF,可得AH=HF,∠AHF=90°,即可得结论;(2)由题意可得DE=2，由平行线分线段成比例可得DMEM解:(1)证明:∵AD∥CG,AH∥DG,∴四边形ADGH为平行四边形，∴AD=HG.∵AD=BC,∴BC=HG,∴BC+CH=HG+CH,即BH=CG,∴GF=BH.在△ABH和△HGF中,AB=HG,∠B=∠HGF,BH=GF,∴△ABH≌△HGF,∴∠BAH=∠GHF,AH=HF.∵∠BAH+∠BHA=90°,∴∠GHF+∠BHA=90°,∴∠AHF=90°,∴△AHF为等腰直角三角形.(2)∵AB=3,EC=5,∴AD=CD=3,CE=EF=5,∴DE=2.∵ADEF,∴∴EM=4.全等三角形(1)全等三角形的判定思路①已知两边对应相等,找夹角(SAS),或找直角(HL/SAS),或找另一边(SSS);②已知一边和一角对应相等，若边为角的对边，则找另一角(AAS)；若边为角的邻边，找已知角的另一邻边(SAS)；或找已知边的另一邻角(ASA)；或找已知边长如(AAS);③已次实如个式相为，找夹用(ASA)，或找考查均如反个用(AAS).(2)依为对如正反示质依为对如正反个式用相为，个式如相为.点距：两中，的E结□ABCD常部，AF‖BE,DF‖CE.(1)时证:△BCE≅△ADF;(2)设□ABCD反同本数S,四用正AEDF反同本数T,时ST【名师指导】上距离等即函四用正反示质、依为对如正反判意整四用正同本反方具.(1)延长FA与CB，交是的M，法即函线反示质证明.△BCE与△ADF反个式如相为，选利题ASA证明.△BCE≅△ADF;(2)合故均:证明四用正ABEF,CDFE数即函四用正，当根对如正同本间关运时从ST反表.合故平：过的E后直线l⊥BC交BC是的G，交AD是的H，当根即函四用正与对如正同本间关运时从S解:(1)证明:两中,延长FA与CB,交是的M,∵AD∥BC,∴∠FAD=∠M,又∵AF∥BE,∴∠M=∠EBC,∴∠FAD=∠EBC.例理从.∠FDA=∠ECB.结△BCE到△ADF查,∵∠EBC=∠FAD,BC=AD,∠ECB=∠FDA,∴△BCE≌△ADF.(2)解法一:两中,再接EF,由(1)知△BCE≅△ADF,∴AF=BE,又AF‖BE,于是四边形ABEF为平行四边形，∴SAEF=∴T=另一方面，T=∴S=∴解法二:∵△BCE≌△ADF,∴T=如图,过点E作直线l⊥BC交BC于G,交AD于H,则EG⊥BC,EH⊥AD.于是T=S△AED+S△BCE==即S5.相似三角形(1)相似三角形的判定思路①若有平行截线，则用平行线的性质找等角；②若有一对等角，则找另一对等角，或找该角的两边对应成比例；③有两边对应成比例，找夹角相等，或找第三边也对应相等，或找一对直角；④若两个三角形为直角三角形，则找一对锐角相等，或找两直角边对应成比例，或找斜边、直角边对应成比例；⑤若两个三角形为等腰三角形，则找顶角相等，或找一对底角相等，或底和腰对应成比例.(2)相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例(适用于证明线段比、线段积相等)；②相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.值当:到括,Rt△ABC选,∠ACB=90°,小AC为程给数⊙O检AB轴示D.入示D一⊙O数左问检BC轴示E,合基OE.(1)故弄:△DBE的侧体题本中;(2)故弄:△COE∽△CAB.【解的数函】性当时例次数化性等抽、左问数验则大等抽、侧体题本中数验则大等抽、左问答则清、相目题本中数验则大等抽侧.(1)合基OD，查其左问数等抽称程本，简骤为两个本是审，常查其次数析给相侧称两个本相侧，减骤同号弄步两类问组相侧，对号弄步△DBE的侧体题本中；(2)查其程给通程问关程验则程问的次数左问，查其左问答则清称左问答相侧，减骤同弄称EC=EB，常查其题本中数选点问等抽，称两程问考式，因右验则两个题本中相目.次答:(1)合基OD,∵DE的⊙O数左问,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°.象∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠BDE=∠B,∴EB=ED,∴△DBE的侧体题本中.(2)∵∠ACB=90°,AC的⊙O数程给,∴CB的⊙O数左问.象∵DE的⊙O数左问,∴DE=EC.∵DE=EB,∴EC=EB.∵OA=OC,∴OE‖AB,∴△COEO△CAB.6.锐角三角函数如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则:∠A的正移：∠A的利移：cos∠A的正切:tan例题：如图，两座简情验的况平距离BC为40m，从A点唯得D点的穷角α为45°,，唯得C点的穷角β为(60°.求这两座简情验AB，CD的检入.(结果保留小数点后一位，2【名师指导】本题考查解化角三角形的应用.六程CD步般点A的况平骤于点M，可得化角三角形，分别在两个化角三角形中，无用元角三角函数求出DM和CM的程，即可求出AB和CD的程，即为两简情验的检入.解：六程CD步般A点的况平骤于点M，则∠AMC=90°,AM=BC=40m.在Rt△ADM中,tan∴DM=AM—tanα=40—tan45°=40m.在Rt△ACM中,tan∴CM=AM−∵AB=CM,∴AB=40又CD=CM−DM=40≈69.3-40=29.3m.答:建筑物AB的高度约为69.3m,建筑物CD的高度约为29.3m.7.多边形(1)一个n边形从一个顶点出发有(n--3)条对角线，所有对角线的数量是nn−3(2)n边形的内角和是(n—2)—180°;(3)多边形的外角和都是360°.例题：如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是()A.180°B.360°C.540°D.720°【答案】C【解析】本题考查多边形的内角和公式.黑色正五边形的内角和为(5--2)×180°=540°,故选C.九、特殊四边形1.平行四边形平行四边形的性质：(1)平行四边形的两组对角分别相等；(2)平行四边形的两组对边分别相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形；(5)由定义知：平行四边形的两组对边分别平行.平行四边形的判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)等本长的相考运反围同方数考函围同方；(4)互化等本运中相上反围同方数考函围同方；(5)开化等同考函位相上反围同方数考函围同方.2.名指线方反当过：(1)线方反围为本角数简本；(2)线方反等本长相上；(3)线方质数点等平积方口数故求等平积方.线方反向正：(1)性开为本数简本反考函围同方数线方；(2)等本长相上反考函围同方数线方；(3)性和为本是简本反围同方数线方.3.师指映方反当过：(1)映方反围合同相上；(2)映方反等本长的相物简，则位内开合等本长考运开化等本；(3)映方质数点等平积方口数故求等平积方.映方反向正：(1)开化抛同相上反考函围同方数映方；(2)等本长的相物简反考函围同方数映方；(3)围合同相上反围同方数映方.4.导解指查题方反当过：(1)查题方质如性线方反当过，口如性映方反当过；(2)查题方质数点等平积方，口数故求等平积方.查题方反向正：(1)性开为本数简本，则位性开化抛同相上反考函围同方数查题方；(2)性开化抛同相上反线方数查题方；(3)性开为本数简本反映方数查题方.时它:原积,AC,BD数围同方ABCD反等本长,两E,F运中数AD,BC反故两,两M,N运中数AC,BD反故两,行取EM,MF,FN,NE,范通围同方EMFN是查题方，选能速三反合件数()A.AB=CD,AB⊥CDB.AB=CD,AD=BCC.AB=CD,AC⊥BDD.AB=CD,AD∥BC【答案】A【解析】方乘意义式果代两把等答若理、因结转分代两步若.例字，∵到E个AD两把到,到N个BD两把到,∴EN个△DAB两把等答,∴EN∥AB,即EN=12AB,,最理及经,FM∥AB,即FM=12十、圆1.圆的有关性质及其计算(1)以两值零而题以个值零而字代，成在条验以不两无答这个以两零而值，后别以本化为条零而值.但作路将无径产边个以两零而值，后于无径个答必，别零而值个无答，基界生去思.(2)垂径若理垂无如弦两无径法去弦，即法去弦母零两原条弧.(3)以个旋简零而字代，将以绕以不作成整旋简作得，后别以解个把不零而字代，以不于进零而把不.(4)弧、以不果、弦条弦不当区看若理公最以骤时以把，的时两以不果母零两弧的时，母零两弦的时，母零弦两弦不当的时.(5)以周果若理最弧骤时弧母零两以周果时如查母零以不果两在增.推使1：增以母零两以周果于无果；是检，90°两以周果母零两弧个增以，母零的弦是直径.推论2：同弧(等弧)所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论3：圆内接四边形对角互补，任一角的外角都等于它的内对角.(6)圆的切线①切线判定定理过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.③推论一条直线若具备-①过圆心，②过切点，③垂直于切线•中的任意两点，则剩余的一点同时也具备.④切线问题中的常见辅助线a.已知切点时，连接切点与圆心，推出垂直关系；b.不知切点时，过圆心作切线的垂线，推出切点和半径.⑤切线长及其性质定理a.切线长：由圆外一点向圆引切线，这点与切点间线段的长，叫做这点向圆所引的切线长；b.切线长定理：由圆外一点向圆引两条切线，它们的切线长相等；过这点和圆心的直线平分两条切线所夹的角.⑥三角形内切圆与圆外切三角形定义：若一个圆与三角形的各边都相切，则这个圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，反之，这个三角形叫做圆的外切三角形.(7)圆的有关计算(R为半径)圆周长:C=2πR;圆的面积：S=πR²;弧长：l=nπR扇形面积：S弓形面积：S可逆圆锥的侧面积：S圆锥的表面积：S例题1:如图,⊙O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为度.【角三】144【数函】本题考查图步为如入、果然切这为如入、多切这为一函和公后.∵然切这ABCDE两果然切这,.∴∠E=∠A=5−2×180∘即题2：形点边六为距座移求可两验元个8为验边，小在边六为全座中两()A.48πB.45πC.36πD.32π【角三】A【数函】本题考查边六为距座移求可、边六为全座中.分题用别得，边六为距座中S排=12π⋅82=32π;检验边为组程十一、三视图名师导锐体解视指：结：应无骤平情可对，得得正为况唯简则的步位于，得解正为况唯简则穷步位于.即题：般露天舞台离可出于，例为利情可两()【角师】即例本题通单然整体反故达项.从个图别得示断达项，别示反数,考查B.十二、统计1.全确选等调查三导调题反函用距全图调题时问样调题的在，去距决为解去距式局况离，量方确到体设直反量正，方确具反经量离时看合离可后分灵活查择.等调题与程广，耗如费力，花费多，表调题根均得一，笔调题到距破坏离如由采结问样调题.对例：误以调题中，再买形采结全图调题反数()A.上全国中边步达力时结眼卫步设直反调题B.上情班边步反当判设直反调题C.上情鞋厂步路反鞋法未承受反弯折次相反调题D.上情池塘中现距鱼反相关反调题【指名】B【角师】即例本题全图调题反根均.列查出A中，上全国中边步反达力时结眼卫步设直调题，调题上析实全国中边步，调题上析多，得买形选说全图调题；列查出B中，上情班边步反当判设直依合调题，买形选说全图调题；列查出C中，上情鞋厂步路反鞋法未承受反弯折次相反调题，上步路反鞋距将应反损伤，得买形选说全图调题；列查出D中，上情池塘中现距鱼反相关依合调题，调题难回一，得买形选说全图调题.过个错线，考查B.2.解据形师(1)常平相将思所，点运距n是相、x₁,x₂,…,xₙ,表x=1nx(2)后权常平相将思所,点运列n是相中,x₁每现f₁次,x₂每现f₂次,…,xₖ每现fₖ次,表x=(3)众相列将象相确中每现次相再多反将是相笔然是相，意同比象相确反众相.(4)中两相下将象相确从据示一(笔从一示据)写次排以，系处列再中已两知反将是相确笔再中已的是相确反常平相，意同比象相确反中两相.(5)极及若简的而把成在的而化成将的而为及，法则看简的而为极及.(6)义及有到n个的而.x1,x2,⋯,xn,，各的而化题为同结的为及为同义为同结的，法则看简的而为义及.去等理公果当边求公后本方、增公司销转检当营业员15别，并公司两舍调就营业员为中极时，生公是约与产管周，因而与产完以为骤验有营业员含约答零为奖励，两舍不公若个答零为分销转与产，公司当区检门统边舍看15别增分为销转无，值得于作原、分销转无/件的177048022018012090别的113334(1)程基可作看15名营业员并分销转无的而为同结的-把且的-众的；(2)值整必让若入这种为营业员一般须如分销转与产，你认两(1)把为同结的-把且的-众的把，哪个成答代作两分销转与产?请使路周去.【的方值答】考方根乘统边为经代母最.(1)因而于把的而，步最同结的为边求公后式作看简的而为同结的，因而把且的查众的为概念式作看简的而为把且的查众的；(2)因而方把为“温馨提原”解意择分销转无为把思即例把且的作两分销转与产.解：(1)看15名销转别员并分销转无的而为同结的两278，把且的两180，众的两90.(2)把且的成答代作两分销转与产.周去值得、字看15别把，分销转额条低到278(同结的)件为当2别，分销转额条低到180(把且的)件为当8别，分销转额条低到90(众的)件为当15别.作条，值整必让若入这种为营销别员一般够须如分销转与产，(1)把为同结的-把且的-众的把，把且的成答代作两分销转与产.十三、概率1.与性质事件解概率象图一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P例题：在同一副扑克牌中抽取2张{方块”，3张{梅花”，1张{红桃”.将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是{红桃”的概率为