一轮复习课件87利用向量求空间角和距离-1

第七节利用向量求空间角和距离内容索引必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则：2.直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，

平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ=|cosθ|=________.3.二面角的求法(1)如图①，AB，CD是二面角α-l

-β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为θ=___________.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l

-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=cos<n1，n2>或-cos<n1，n2>.【常用结论】1.利用空间向量如何求线段长度利用||2=可以求空间中有向线段的长度.2.点到平面的距离①“作一证一求”法：作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法：如果平面α的斜线上两点A，B到斜足C的距离AC，BC的比为m∶n，则点A，B到平面α的距离比也为m∶n；③体积法：通常借助三棱锥，通过转换底面与顶点求点到平面的距离.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)设a,b是异面直线l1,l2的方向向量,则l1与l2所成的角就是a,b的夹角.()(2)设a是直线l的方向向量,b是平面α的法向量,则直线l与平面α成的角就是a,b的夹角. ()(3)设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于a,b的夹角的大小. ()(4)利用可以求空间中有向线段的长度. ()(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l和α所成角为30°.()提示:(1)×.因为<a,b>∈(0,π),l1与l2夹角θ∈(0,].(2)×.因为<a,b>的余弦的绝对值等于线面角的正弦值.(3)×.因为<a,b>与二面角的大小相等或互补.(4)√.(5)√.【易错点索引】序号易错警示典题索引1混淆线线角与两向量夹角的范围致误考点一、T1,22线面角与向量夹角混淆致误考点二、典例【教材·基础自测】1.(选修2-1P115习题3-2AT1改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为 ()

【解析】选D.建立如图空间直角坐标系D-xyz,

设DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E,则=(-1,1,0),=,设异面直线DE与AC所成的角为θ,则cosθ=|cos<>|=.2.(选修2-1P114练习AT4改编)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为________.

【解析】由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,答案:a3.(选修2-1P108练习AT3改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.

【解析】以A为原点,以(AE⊥AB),所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系,设D为A1B1的中点,

则A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2),所以=(1,,2),=(1,0,2).