高考数学一轮复习第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质教案

第五节直线、平面垂直的判定及其性质【考纲下载】1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．理解直线与平面所成的角、二面角的概念．1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图所示，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平面是否垂直？提示：垂直．2．如果两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行吗？提示：不一定．可能平行、相交或异面．3．垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出．1．(教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3解析：选B①④正确．2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交解析：选C∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b⊂α.3．(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有()A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．4．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)．解析：设α∩β＝l，则当m⊂α，且m⊥l时，有m⊥β，否则m不垂直β，故α⊥β⇒/m⊥β；反之，若m⊂α，m⊥β，则α⊥β.答案：必要不充分5.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.故△PAB，△PAC，△BAC，△BCP都是直角三角形．答案：4答题模板(五)空间位置关系的证明[典例](2013·浙江高考)(15分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝eq\r(7)，PA＝eq\r(3)，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；(3)若G满足PC⊥平面BGD，求eq\f(PG,GC)的值．[快速规范审题]第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论，证明BD⊥平面APCeq\o(→,\s\up7(可利用线面垂直的),\s\do5(判定定理或面面垂直的性质定理))证明BD与平面APC内的两相交直线垂直或证明BD所在的平面与平面APC垂直，且BD与交线垂直．2．审条件，挖解题信息观察条件，AB＝BC，AD＝CD，PA⊥平面ABCD，线面垂直的判定定理,BD⊥平面APC.3．建联系，找解题突破口AB＝BC，AD＝CDeq\o(→,\s\up7(BD是AC的),\s\do5(中垂线))BD⊥AC，PA⊥平面ABCD线面垂直的判定定理,BD⊥平面APC.第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论，DG与平面APC所成的角的正切值射影定理,DG与平面APC所成的角．2．审条件，挖解题信息观察条件，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°余弦定理,AC＝2eq\r(3)比例关系,OC＝eq\r(3)勾股定理,OD＝2.3．建联系，找解题突破口在Rt△OGD中三角函数定义,tan∠OGD＝eq\f(OD,OG).第(3)问1．审结论，明解题方向观察所求结论，eq\f(PG,GC)eq\o(→,\s\up7(相似三),\s\do5(角形性质))PG、GC的值．2．审条件，挖解题信息观察条件，PC⊥平面BGDOG⊂平面BGD,PC⊥OG勾股定理,PC的值．3．建联系，找解题突破口PC⊥平面BGDOG⊂平面BGD,PC⊥OG勾股定理,PC的值eq\o(→,\s\up7(相似三角形),\s\do5(性质))GC的值→eq\f(PG,GC)的值．[准确规范答题](1)证明：设点O为AC与BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点，BD⊥AC.⇨2分又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面APC，所以BD⊥平面APC.⇨4分(2)连接OG.由(1)可知，OD⊥平面APC，则DG在平面eq\x(此外易误判DG与平面APC所成的角造成后续求解错误)APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．⇨5分由题意得OG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(3),2).在△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(4＋4－2×2×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2eq\r(3)，所以OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3).⇨7分在Rt△OCD中，OD＝eq\r(CD2－OC2)＝eq\r(7－3)＝2.在Rt△OGD中，tan∠OGD＝eq\f(OD,OG)＝eq\f(4\r(3),3).所以DG与平面APC所成的角的正切值为eq\f(4\r(3),3).⇨10分(3)因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，所以PC⊥OG.在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(3＋12)＝eq\r(15)，所以GC＝eq\f(AC·OC,PC)＝eq\f(2\r(3)×\r(3),\r(15))＝eq\f(2\r(15),5).⇨13分从而PG＝eq\f(3\r(15),5)，所以eq\f(PG,GC)＝eq\f(3,2).⇨15分[答题模板速成]证明空间线面位置关系的一般步骤：第一步审清题意分析条件，挖掘题目中平行与垂直关系