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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()A. B. C. D.2.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或3.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A. B. C. D.4.已知中内角所对应的边依次为,若,则的面积为()A. B. C. D.5.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.180 B.90 C.45 D.3606.已知随机变量的分布列是则()A. B. C. D.7.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.8.已知集合,,则A. B.C. D.9.设是虚数单位,则“复数为纯虚数”是“”的()A.充要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件10.如图是一个算法流程图,则输出的结果是()A. B. C. D.11.当输入的实数时,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于103的概率是()A. B. C. D.12.已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为()A.1 B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在数列中,,则数列的通项公式_____.14.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则_________.15.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.16.如图,在平面四边形中,点,是椭圆短轴的两个端点,点在椭圆上,,记和的面积分别为,,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线与椭圆恰有一个公共点,与圆相交于两点.(I)求与的关系式;(II)点与点关于坐标原点对称.若当时,的面积取到最大值,求椭圆的离心率.18.(12分)这次新冠肺炎疫情,是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难,但从来没有被压垮过,而是愈挫愈勇,不断在磨难中成长,从磨难中奋起.在这次疫情中,全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究,一名同学在数据统计中发现,从2020年2月1日至2月7日期间,日期和全国累计报告确诊病例数量(单位:万人)之间的关系如下表:日期1234567全国累计报告确诊病例数量(万人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合与的关系?(2)求出关于的线性回归方程(系数精确到0.01).并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.参考数据:,,,.参考公式:相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.19.(12分)已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程:(2)设A是椭圆的左顶点,过右焦点F的直线,与椭圆交于P,Q,直线AP,AQ与直线交于M,N,线段MN的中点为E.①求证:;②记,,的面积分别为、、,求证:为定值.20.(12分)在,角、、所对的边分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,边上的中线,求的面积.21.(12分)已知是公比为的无穷等比数列,其前项和为,满足,________.是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.从①,②,③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.22.(10分)记抛物线的焦点为,点在抛物线上,且直线的斜率为1,当直线过点时,.(1)求抛物线的方程;(2)若,直线与交于点,,求直线的斜率.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

画出不等式组所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,代入即可求解,得到答案.【详解】画出不等式组所表示平面区域,如图所示,由目标函数,化为直线,当直线过点A时,此时直线在y轴上的截距最大,目标函数取得最大值,又由,解得,所以目标函数的最大值为,故选A.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.2、D【解析】

根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.3、A【解析】

基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.【详解】解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,基本事件总数,其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.4、A【解析】

由余弦定理可得,结合可得a,b,再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.5、A【解析】试题分析:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以,,令,则,.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.6、C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得,得,所以,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,是基本知识的考查.7、B【解析】

利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.8、D【解析】

因为,,所以,,故选D.9、D【解析】

结合纯虚数的概念,可得,再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数,则,所以,若,不妨设,此时复数,不是纯虚数,所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选:D【点睛】本题考查充分条件和必要条件,考查了纯虚数的概念,理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键,属于基础题.10、A【解析】

执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环,即可求解,得到答案.【详解】由题意,执行上述的程序框图:第1次循环:满足判断条件,;第2次循环:满足判断条件,;第3次循环:满足判断条件,;不满足判断条件,输出计算结果,故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出,其中解答中执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.11、A【解析】

根据循环结构的运行,直至不满足条件退出循环体,求出的范围,利用几何概型概率公式,即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次,输出的的范围是,所以输出的不小于103的概率为.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.12、B【解析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示,,,要使得z能取到最大值,则,当时,x在点B处取得最大值,即,得;当时,z在点C处取得最大值,即,得(舍去).故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题意可得,又,数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,对分奇数和偶数两种情况,分别求出,从而得到数列的通项公式.【详解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,∴当为奇数时,,当为偶数时,则为奇数,∴,∴数列的通项公式,故答案为:.【点睛】本题考查求数列的通项公式,解题关键是由已知递推关系得出,从而确定数列的奇数项成等差数列,求出通项公式后再由已知求出偶数项,要注意结果是分段函数形式.14、【解析】

由题意可得,又由于为的中点,且点在轴上,所以可得点的横坐标,代入抛物线方程中可求点的纵坐标,从而可求出点的坐标,再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解:因为是抛物线的焦点,所以,设点的坐标为,因为为的中点,而点的横坐标为0,所以,所以,解得,所以点的坐标为所以,故答案为:【点睛】此题考查抛物线的性质,中点坐标公式,属于基础题.15、【解析】

由题意容积,求导研究单调性,分析即得解.【详解】由题意:容积,,则,由得或(舍去),令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时.故答案为:【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用,考查了学生数学建模,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.16、【解析】

依题意易得A、B、C、D四点共圆且圆心在x轴上,然后设出圆心,由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标,进一步得到D横坐标,再由计算比值即可.【详解】因为,所以A、B、C、D四点共圆,直径为,又A、C关于x轴对称,所以圆心E在x轴上,设圆心E为,则圆的方程为,联立椭圆方程消y得,解得,故B的横坐标为,又B、D中点是E,所以D的横坐标为,故.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题,考查学生基本计算能力及转化与化归思想,本题关键是求出B、D横坐标,是一道有区分度的压轴填空题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(II)【解析】

(I)联立直线与椭圆的方程,根据判别式等于0,即可求出结果;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,可得的面积是的面积的两倍,再由当时,的面积取到最大值,可得,进而可得原点到直线的距离,再由点到直线的距离公式,以及(I)的结果,即可求解.【详解】(I)由,得,则化简整理,得;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,故的面积是的面积的两倍.所以当时,的面积取到最大值,此时,从而原点到直线的距离,又,故.再由(I),得,则.又,故,即,从而,即.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,以及椭圆的简单性质,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、判别式等求解,属于中档试题.18、(1)可以用线性回归模型拟合与的关系;(2),预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人.【解析】

(1)根据已知数据,利用公式求得,再根据的值越大说明它们的线性相关性越高来判断.(2)由(1)的相关数据,求得,,写出回归方程,然后将代入回归方程求解.【详解】(1)由已知数据得,,,所以,,所以.因为与的相关近似为0.99,说明它们的线性相关性相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系.(2)由(1)得,,,所以,关于的回归方程为:,2月10日,即代入回归方程得:.所以预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人.【点睛】本题主要考查线性回归分析和回归方程的求解及应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19、(1);(2)①证明见解析;②证明见解析【解析】

(1)解方程即可;(2)①设直线,,,将点的坐标用表示,证明即可;②分别用表示,,的面积即可.【详解】(1)解之得:的标准方程为:(2)①,,设直线代入椭圆方程:设,,,直线,直线,,,,,.②,所以.【点睛】本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.20、(1)(2)答案不唯一,见解析【解析】

(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得,再根据同角三角函数基本关系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分别由三角形面积公式可得答案.【详解】解:(1)在中,因为,又已知,所以,因为,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,当时,的面积,当时,的面积.【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形,涉及三角

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