人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：第五章三角函数

第五章三角函数

『数学文化』——了解数学文化的发展与应用

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪

的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为

360度，与现代的弧度制不同）.对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值,

这个记法和现代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数

值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学

有关.梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.

古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数

学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公

式的方法.托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦

值.

喜帕恰斯

『读图探新』——发现现象背后的知识

伦敦眼（英文名：TheLondonEye）,全称英国航空伦敦眼（The

BritishAirwaysLondonEye）,又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤

士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一，也是伦敦

最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135米（443英尺）.

伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘

坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.

问题1：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？

问题2：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应

于三角函数的哪些量？

链接：（1）周期为30分钟；（2）游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数

的最大值与最小值.

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

课标要求素养要求

1结.合实例，了解角的概念的推广及其实

在角的概念推广过程中，经历由具体

际意义.

到抽象，重点提升学生的数学抽象、

2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角

直观想象素养.

的含义及其表示.

课前预习知识探究

新知探究

A情境引入

周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5:00这一

刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6:30,并开始正常的学习.

问题小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？

提示时针转了一45。，分针转了一540。.

A知识梳理

1.角的分类注意正角、负角的旋转方向

类型定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角

-------A

QA

负角按顺时针方向旋转形成的角X

一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个

零角OA

零角

2.角的加法

(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称a=£.

(2)设a,£是任意两个角，把角a的终边旋转角.，这时终边所对应的角是a+B.

(3)相反角：把射线0A绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为

相反角,角a的相反角记为一a,a—6=a+(一£).

3.象限角

如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与龙轴的非负半轴重合，那么，角的终

边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,

就认为这个角不属于任何一个夔限.

4.终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S=18l8=a+%360。，

即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

拓展深化

『微判断』

1.经过1小时，时针转过3(r.(X)

提示因为是顺时针旋转，所以时针转过一30。.

2.终边与始边重合的角是零角.(X)

提示终边与始边重合的角是k36(T(Aez).

3.第一象限角都是锐角.(X)

提示390。为第一象限角，但不是锐角.

4.钝角是第二象限角.(J)

『微训练』

1.—378。是第象限角.

『解析』一378。=—360。一18。，因为一18。是第四象限角，所以一378。是第四

象限角.

『答案』四

2.与一457。角的终边相同的角的集合是（）

A.{a|a=457°+A?360。,kWZ}

B.{a|a=97°+匕360°,k^Z}

门加=263。+/360。，ZGZ}

D.{a|a=-263°+k360。,I@Z}

『解析』由于一457。=—1X360。一97。=-2X36（r+263。，故与一457。角的终

边相同的角的集合是{。汝=-457。+上360。，A:GZ}={a|a=263°+k-360°,攵CZ}.

『答案』C

『微思考』

1•角的概念推广后角的范围有怎样的变化？

提示角的概念推广后，角度的范围不限于0。〜360。，而是任意的角，包括正角、

负角与零角.

2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？

提示当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一定

相等.

课堂互动题型剖析

题型一与任意角有关的概念辨析

『例1』（1）下列说法中，正确的是（填序号）.

①终边落在第一象限的角为锐角；

②锐角是第一象限角；

③第二象限角为钝角；

④小于90。的角一定为锐角；

⑤角a与一a的终边关于x轴对称.

B

°xjA

(2)如图，射线OA先绕端点0逆时针方向旋转60。到OB处，再按顺时针方向旋

转820。至OC处，则夕=.

『解析』(1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400。的角是第一象限角，

但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故③的说

法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.

(2)两次旋转后形成的角为60。+(—820。)=一760。，4=-760。+720。=一40。.

『答案』⑴②⑤(2)-40°

规律方法判断角的概念问题的关键与技巧

(1)关键：正确理解象限痢与锐痢、直角、钝角、平角、周角等概念.

(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.

『训练1』写出图⑴,(2)中的角a,尸，y的度数.

解题干图(1)中，a=360。-30。=330。；

题干图(2)中，-360°+60°+150°=-150°；

y=360°+60°+(-^)=360°+60°+150°=570°.

题型二终边相同的角

角度1求与已知角终边相同的角

『例2—1』在与角10030。终边相同的角中，求满足下列条件的角.

(1)最大的负角；

(2)最小的正角;

(3)『360。，720。)内的角.

解与10030。终边相同的角的一般形式为夕=/360。+10030。/GZ),

⑴由一360°4?360°+10030°<0。,#-10390°<Jt-360°<-10030°,解得女=-28,

故所求的最大负角为夕=-50。.

(2)由0。4?360。+10030°<360°,得一10030°<。-360°<—9670。,解得左=一27,故

所求的最小正角为夕=310。.

(3)由360°^Jt-3600+10030°<720°,得一9670°。360。<一9310。,解得k=-26,

故所求的角为夕=670。.

角度2求终边在给定直线上的角的集合

『例2—2』写出终边在直线旷=一小x上的角的集合.

解终边在y=一小x(x<0)上的角的集合是5|={。上=120。+h360。，怎WZ}；

终边在y=一小x(x20)上的角的集合是52={琳/=300。+匕360。，依GZ}.

因此，终边在直线y=一小x上的角的集合是S=SUS2={a|a=12()o+丘360。，

JlieZ}u{a|a=300°+fe-360°,faez),

即5={a|a=120°+2*1-180°,JtiEZ}U{a|a=120°+(2fa+l)-180°,foeZ}={a|a

=120°+/2-180°,z?GZ).

故终边在直线y=一小龙上的角的集合是S={a|a=120o4-n-180°,〃WZ}.

规律方法(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角

终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出上的值.

(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x»0和x<0两

种情况讨论，最后再进行合并.

『训练2』写出终边落在x轴上的角的集合S

解5={a|a=Jti-360°,JtiEZ}U{a|a=fc>-360°+180°,fceZ}={a|a=2h-180°,

jliGZ}U{a|a=(2fe+1)-180°,依GZ}={a[a=〃-180。，〃GZ}.

题型三象限角和区间(域)角

角度1判断给定角所在象限及区域角的表示

『例3—1』(1)-2019。是第象限角.

『解析』一2019。=-6*360。+141。，141。是第二象限角，所以一2019。为第

二象限角.

『答案』二

(2)已知，如图所示.\\

①分别写出终边落在08位置上的角的集合；>|

②写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

解①终边落在0A位置上的角的集合为{目6（=90。+45。+匕360。，k^Z}={a\a

=135°+k360°,ZdZ},终边落在位置上的角的集合为{a|a=—30。+k360。,

k£Z}.

②由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于一30。到135。之间

的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{句-30。+%360。・0^135。+k360。,

攵GZ}.

『迁移1』若将例3—1（2）题改为如图所示的图形，那么阴影

部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？

解在0。〜360。范围内、阴影部分（包括边界）表示的范围是：

150°WaW225。,则满足条件的角a为

｛砒-360°+150°忘反/360°+225°,kGZ].

『迁移2』若将例3—1（2）题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分（包括

边界）的角的集合如何表示？

解由题干图可知满足题意的角的集合为{^-360°+60°。4360°+105°,

攵GZ}U化360。+240。像4.360。+285。，攵GZ}

={夕|2心1800+60。W版2上180°+105°,kH）U{川（2k+1>180。+60°〈左（21+

1）-180°+105°,々GZ}

={川〃•180。+60。WQW〃•180。+105。，〃eZ},

即所求的集合为{冽〃•180。+60。・夕五〃・180。+105。，nEZ}.

角度2判定或彳所在象限

『例3-2』若a是第二象限角，试分别确定2a,f,方的终边所在位置.

解「a是第二象限角，.•.90°+%360°<a<180°+k360°（攵eZ）.

,180°+2/36（）o<2a<360。+2k360°aFZ）,

.••2a的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.

法一；45。+k1800<^<90°+kl80。(左eZ),

n

当％=2〃(〃ez)时，45°4-ZI-3600<2<90°+n-360°(77eZ)；

na

当％=2〃+l(〃WZ)时，225。+〃.360。<5<270。+〃.360。(“金2),的终边位于第一

或第三象限.

a

'：30。+k120。〈铲60。+k-120。(左GZ),

n

当Z=3〃(〃£Z)时，30°+〃・360°<w<60°+/r360°(〃ez)；

a

当Z=3〃+1(〃6Z)时，150°+〃・360°<q<180°+〃-360°aeZ)；

当Z=3〃+2(〃ez)时，270°+〃.360°<]<300°+〃-360°(〃eZ),

.谒的终边位于第一、第二或第四象限.

法二将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每

个区域依次标上I,II,III,IV,如图所示：

Ya是第二象限角，与角a所在象限标号一致的区域，即为微的终边所在的象限,

.•谭的终边位于第一或第三象限.

将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区

域依次标上I,II,III,IV,如图所示：

「a是第二象限角，与角。所在象限标号一致的区域，即为卷的终边所在的象限，

二]的终边位于第一、第二或第四象限.

规律方法1.表示区域角的三个步骤

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。〜360。范围内的角a

和夕，写出最简集合{x[a<x<Q},其中夕一a<360。.

第三步：起始、终止边界对应角a,4再加上360。的整数倍，即得区域角集合.

a

.已知所在象限，确定或一所在象限

2an

n

(1)用不等式表示a的范围，再确定〃a或彳的范围，再判断角所在象限；(2)数形结

合法，等分象限，确定角所在象限.

『训练3』(1)已知a是第二象限角,则180°-a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)已知a是锐角，那么2。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.小于180。的正角D.第一或第二象限角

『解析』（1）由a是第二象限角可得，90°+k-360°<a<180°+JI-360O,女CZ.所以

180°-（90°+匕360。）>180°—a>180°-（180°+左S60。），即90°—k360°>180°—a>一

女S60。（左WZ）,所以180。一</为第一象限角.

（2）V00<a<90°,，0°<2a<l80°,/.2a是小于180。的正角.

『答案』（1）A（2）C

素养达成逐步落实

一、素养落地

1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽

象、直观想象素养.

2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解.

3.会写终边相同的角、区域角.

二、素养训练

1.在①160。；②480。；③-960。；④1530。这四个角中，属于第二象限角的是()

A.①B.①②

C.①②③D.①②③④

『解析』②480。=120。+360。是第二象限角；

③一960。=-3X360。+120。是第二象限角；

④1530。=4*360。+90。不是第二象限角,故选C.

『答案』C

2.(多选题)下列说法不正确的是()

A.三角形的内角一定是第一、二象限角

B.钝角不一定是第二象限角

C.相差180。整数倍的角为终边相同的角

D.钟表的时针旋转而成的角是负角

『解析』A错，如90。既不是第一象限角，也不是第二象限角；