云南省峨山一中2025届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

云南省峨山一中2025届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（）A． B．C． D．2．已知幂函数过点，令，，记数列的前项和为，则时，的值是（）A．10 B．120 C．130 D．1403．l：的斜率为A．﹣2 B．2 C． D．4．已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为（）A． B． C． D．5．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．6．若向量，，则（）A． B． C． D．7．若向量满足：与的夹角为，且，则的最小值是（）A．1 B． C． D．28．如果成等差数列，成等比数列，那么等于（）A． B． C． D．9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，若，则周长的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．1210．下列四个函数中，与函数完全相同的是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．______.12．若x、y满足约束条件，则的最大值为________.13．下列关于函数与的命题中正确的结论是______.①它们互为反函数；②都是增函数；③都是周期函数；④都是奇函数.14．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同种产品，数量分别为90件，60件，30件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，采用层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了2件，应从甲车间的产品中抽取______件.15．已知斜率为的直线的倾斜角为，则________．16．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求边的值．18．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，､､分别是､､的中点.（1）证明:直线平面；（2）求直线与面所成角的大小；（3）求二面角的平面角的余弦值.19．在中，角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若的面积为，求在上的投影.20．某校为创建“绿色校园”，在校园内种植树木，有A、B、C三种树木可供选择，已知这三种树木6年内的生长规律如下：A树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.1米，以后每年比上一年多长高0.2米；B树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.04米，以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍；C树木：树木的高度（单位：米）与生长年限（单位：年，）满足如下函数：（表示种植前树木的高度，取）．（1）若要求6年内树木的高度超过5米，你会选择哪种树木？为什么？（2）若选C树木，从种植起的6年内，第几年内生长最快？21．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据图象求出即可得到函数解析式.【详解】显然，因为，所以，所以，由得，所以，即，，因为，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了根据图象求函数解析式，利用周期求，代入最高点的坐标求是解题关键，属于基础题.2、B【解析】

根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.【详解】设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.3、B【解析】

先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.【详解】由题得直线的方程为y=2x,所以直线的斜率为2.故选：B【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解析】

先化简得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得的外接圆面积.【详解】由题得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圆面积为.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5、D【解析】

因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D．6、B【解析】

根据向量的坐标运算，先由，求得，再求的坐标．【详解】因为，所以，所以．故选：B【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7、D【解析】

设作图，由可知点在以线段为直径的圆上，由图可知，，代入所求不等式利用圆的特征化简即可.【详解】如图，设，取线段的中点为，连接OE交圆于点D，因为即，所以点在以线段为直径的圆上(E为圆心)，且，于是.故选：D【点睛】本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题.8、D【解析】

因为成等差数列,所以,因为成等比数列,所以,因此.故选D9、D【解析】

利用正弦定理和三角函数关系式，求得的值，由角的范围求出角的的大小，再由条件和余弦定理列出方程，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，根据正弦定理可得，因为，所以，所以，即，又由，所以，由余弦定理可得，又因为，当且仅当时等号成立，又由，所以，即，所以三角形的周长的最大值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函数的性质，以及基本不等式的应用综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10、C【解析】

先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与相同的函数.【详解】的定义域为，A.，因为，所以，定义域为或，与定义域不相同；B.，因为，所以，所以定义域为，与定义域不相同；C.，因为，所以定义域为，又因为，所以与相同；D.，因为，所以，定义域为，与定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先令，得到，两式作差，根据等比数列的求和公式，化简整理，即可得出结果.【详解】令，则，两式作差得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记错位相加法求数列的和即可，属于常考题型.12、18【解析】

先作出不等式组所表示的平面区域，再观察图像即可得解.【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由图可得：目标函数所在直线过点时，取最大值，即，故答案为：.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.13、④【解析】

利用反函数，增减性，周期函数，奇偶性判断即可【详解】①，当时，的反函数是，故错误；②，当时，是增函数，故错误；③，不是周期函数，故错误；④，与都是奇函数，故正确故答案为④【点睛】本题考查正弦函数及其反函数的性质，熟记其基本性质是关键，是基础题14、.【解析】

根据分层抽样中样本容量关系,即可求得从甲车间的产品中抽取数量.【详解】根据分层抽样为等概率抽样,所以乙车间每个样本被抽中的概率等于甲车间每个样本被抽中的概率设从甲车间抽取样本为件所以,解得所以从甲车间抽取样本件故答案为:【点睛】本题考查了分层抽样的特征及样本数量的求法,属于基础题.15、【解析】

由直线的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函数的基本关系式计算可得答案．【详解】根据题意，直线的倾斜角为，其斜率为，则有＝，则，必有，即，平方有：，得，故，解得或（舍）．故答案为﹣【点睛】本题考查直线的倾斜角，涉及同角三角函数的基本关系式，属于基础题．16、2【解析】试题分析：由题意可得：．考点：扇形的面积公式．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用，，然后用正弦定理求解即可（Ⅱ）利用，然后利用余弦定理求解即可【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，及，，可得．（Ⅱ）由及，可得，由余弦定理，即，可得．【点睛】本题考查正弦以及余弦定理的应用，属于基础题18、（1）证明见解析（2）（3）【解析】

（1）取的中点，证明为平行四边形，且，再由三角形中位线证明，最后由线面平行的判定定理证明即可；（2）作交于点，由线面垂直关系得到直线与面所成角为，再根据是正三角形求解即可；（3）由（2）知，平面，再证明和分别垂直于，求出直线与面所成角为，再求出和的长度即可求解.【详解】（1）在直四棱柱中，取的中点，连接，，，因为，，且，所以为平行四边形，所以，又因为､分别是棱､的中点，所以，所以，因为.所以､､､四点共面，所以平面，又因为平面，所以直线平面.（2）因为，，是棱的中点，所以，为正三角形，取的中点，则，又因为直四棱柱中，平面，所以，所以平面，即直线与面所成角为，所以，即，所以直线与面所成角为.（3）过在平面内作，垂足为，连接.因为面，即，且与相交于点，故且，则为二面角的平面角，在正三角形中，，在中，，∵，∴，在中，，，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定、线面角和二面角的求法，考查学生的空间想象能力和对线面关系的掌握，属于中档题.19、（1）；（2）当时，在上的投影为；当时，在上的投影为.【解析】

（1）由已知条件，结合正弦定理，求得，即可求得C的大小；（2）由已知条件，结合三角形的面积公式及余弦定理，求得的值，再由向量的数量积的运算，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理知，即，又，所以，所以，在中，，所以，又，所以；（2）在中，由余弦定理得，由，即，因此，所以，解得或，当时，在上的投影为；当时，在上的投影为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.20、（1）选择C；（2）第4或第5年.【解析】

（1）根据已知求出三种树木六年末的高度，判断得解；（2）设为第年内树木生长的高度，先求出，设，则，．再利用分析函数的单调性，分析函数的图像得解.【详解】（1）由题意可知，A、B、C三种树木随着时间的增加，高度也在增加，6年末：A树木的高度为（米）：B树木的高度为（米）：C树木的高度为（米），所以选择C树木．（2）设为第年内树木生长的高度，则，所以，，．设，则，．令，因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，取得最小值，从而取得最大值，此时，解得，因为，，故的可能值为3或4，又，，即．因此，种植后第4或第5年内该树木生长最快．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列求和，考查函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.21、（1）312（2）【解析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，，然后利用导数求其最值.试题解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.（2）设A1B