北师大版新教材高中数学必修第一册第一章预备知识1集合教学设计

1集合

1.1集合的概念与表示....................................................1

1.2集合的基本关系......................................................6

1.3集合的基本运算.....................................................10

1.1集合的概念与表示

【教学分析】

集合知识是整个高中学习的基础，本节主要让学生理解集合的含义，了解常

用数集，掌握集合与集合中元素的相关概念，集合的元素特征，及集合的表示方

法等。通过学习集合知识，可以使学生更好的理解数学中的集合语言，可以使学

生逐步运用集合的观点和思想分析数学问题。

【教学目标】

理解集合定义，了解元素特性及元素与集合的关系，熟记不同数集的符号，

掌握集合的表示方法。

【核心素养】

数学抽象：集合含义。

逻辑推理：选择集合不同语言形式描述具体问题。

数学运算：根据集合与元素之间的关系求值。

直观想象：在理解集合含义及特征的过程中，运用元素分析集合问题，提高

学生分析问题和解决的能力。

数学建模：从实例理解集合的含义过程中，提高语言转换和抽象概括能力，

树立用集合语言表示数学内容的意识。

【教学重点】

集合的含义与表示方法。

【教学难点】

运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单集合。

【课前准备】

PPT

【教学过程】

一、新课引入

军训前学校通知：9月1日8点，高一年级在操场集合进行军训，试问这个

通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是

高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一

个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。

二、创设问题

我们高一5班一共60人，其中体育委员王肖，现有以下问题：

1.我班的60人能否组成一个整体？

2.王肖和60人所组成的班集体是什么关系？

3.假设刘鹏飞是相邻班的学生，问他与我班是什么关系？

4.学生活动：学生回答：

（1）60个人能成为一个集体。

（2）王肖属于这个班集体。

（3）刘鹏飞不属于这个班集体。

三、集合的有关概念

1.集合的概念：一般地，我们把指定对象的全体称为集合，通常用大写的

拉丁字母A,B,C…表示，集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小

写英文字母”,b,c,…表示.

2.集合与元素的关系

（1）如果。是集合A的元素，就说。属于A,记作：awA；

（2）如果a不是集合A的元素，就说〃不属于A,记作：aeA,

【课堂练习】

用符号或"”填空：

(1)-3一一N,0.5_____N,3_____N♦.

(2)1.5―__Z,-5______Z,3_____Z,.

(3)-0.2Q,兀Q,7.21Q.

（4）1.5R,-1,2R,nR

3.元素的特征

探究1.指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我班全体学生；

（2）我国的直辖市；

（3）我们班高个子男生；

（4）大于200的数。

4.学生活动：学生回答：

（1）可以，全体学生

（2）可以构成集合，元素是直辖市；

（3）有的说可以，有的说不可以；

（4）可以，大于200的数。

5.教师总结

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A

的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体

（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关.

四、集合的分类

由有限个元素组成的集合叫做有限集.由无限个元素组成的集合叫做无限集.

由数组成的集合叫做数集.所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N.

所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+或N*.

所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z.

所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q.

所有实数组成的集合叫做实数集，记作R.

不含任何元素的集合叫做空集，记作。

五、集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，一

般可将集合表示为{a,0,c,……}

例如：20以内的所有素数组成的集合C用列举法可表示为

C={2,3,5,7,11,13,17,19）

注：用列举法表示集合时，元素排列的顺序可以不同，例如：{1,2,3},{2,1,3}

{3,2,1}这些都是同一集合

例1：用列举法表示下列集合

（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合

（2）方程f-9=0的所有实数解组成的集合

答案：（1）A={4,5,6,7,8,9}

（2）B={-3,3}

课堂练习1.用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程犬2=》的所有实数根组成的集合；

（3）由1〜20以内的所有质数组成的集合。

解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,123,4,5,6,7,8,9}.

由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可

以有不同的列举法.例如:A={9,8,7,6,5,4,321,0}。

（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么8={0,1}.

（3）设由1〜20以内的所有质数组成的集合为C,那么

C={2,3,5,7,11,13,17,19}。

（2）描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法称为描述法。具体

方法是：{x及x的范围|x满足的条件}

例2：用描述法表示下列集合

（1）小于10的所有有理数组成集合A

（2）所有奇数组成集合B

（3）平面a内，到定点。的距离等于定长r的所有点组成集合C

答案：A={xeQ|x<10}

B=[x\x=2n-l,neN}

C={M^a\\MO\=r]

课堂练习2.用描述法表示下列集合:

①{1,4,7,10,13}；②{—2,-4,—6,—8,70}

答案：①{x|x=l+3Z,女=1,2,3,4}②{x|尤=-24,左=1,2,3,4,5}

六、集合与区间的关系

集合名称区间数轴表示

Wa<x<l)开区间(%b)

{Mcz<x<M闭区间&b]

{x[G<X<B}半开半闭区间[«,b)

{x[a<x<f^半开半闭区间(a,b]

【教学反思】

“问题是数学的心脏”。一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体

到抽象，感性到理性的过程。本节教案通过一个现实生活中的具体实例引入集合,

进而又通过若干集合进一步加以诱导剖析，最终形成概念。

集合的表示法教学中的难点，为此，我们以实例出发引起学生的注意。再由

特殊到一般，由师生一起讨论出如何更适当的表示出集合。着重培养学生的思维

能力，学习数学概念和数学性质的方法和能力，提高学生学习数学的兴趣，养成

良好的学习习惯，形成积极进取、勇于探索、不断创新的品格，提高学生的综合

素质。让学生亲身经历这两个过程是教师主导作用的体现，也是实现上述设计意

图的根本保证。于是，本课的教学方法主要以探索发现法为主，教师努力创造平

等、民主、热烈、务实、高效的氛围，实现教学目标。

1.2集合的基本关系

【教材分析】

集合的基本关系是继上一节集合的基本概念之后的又一个基本知识，集合之

间的关系是包含与被包含的包含关系，元素与集合是属于与不属于的从属关系，

在言语表达和符号书写时，要求要准确、简洁，它是高中数学的基本符号语言，

为下一节集合的运算奠定基础，同时对于学生养成简洁、准确的数学语言，良好

的思维习惯和规范的书写习惯等都非常重要。

【教学目标】

1.知识目标：

掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语

言表述和“1、&、&、方、=”等符号表示；掌握集合相等的含义；能使用Venn

图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。

2.核心素养目标：

灵活运用集合的符号语言表示有关数学对象，读懂、会用抽象的数学符号（数

学语言）进行数学表达，提升学生的数学抽象能力和概括能力，同时培养学生良

好的思维习惯和规范的书写习惯。

【教学重难点】

1.集合与集合的关系，子集、真子集的概念；

2.熟练使用“=、？、《、乃、=”等符号表示集合间的关系，以及用Venn

图表示集合间的关系；掌握空集是任何集合的子集，熟练写出一个集合的所有子

集，了解一个集合的子集个数的计算；

3.数学语言和符号表示的规范性和准确性。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、知识的引入

1.思考讨论：

问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合P,其中女同学组成集

合M：

若aeM,则a与集合P是什么关系？

问题2：用/表示所有矩形组成的集合，B表示所有平行四边形组成的集合:

若aeA,则a与集合8是什么关系？

问题3：所有有理数都是实数，则有：

若ae。，则aeR

试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？

二、新知识

1.子集的概念

一般地，对于两个集合A与8,如果集合/中的任何一个元素都属于集合B,

即若aeA,则aeB,那么称集合A是集合8的子集。

符号表示：AqB（或

读作：集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）

如上面问题1"女生集合M包含于班级集合P”，记作〃=尸。

注意：①概念中的关键词“任何一个元素”，相当于“所有元素”；

②元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的从属关系，集合与集合的关

系是“包含”或“不包含”的包含关系；

③符号“U”的开口方向的集合要“大”一些。

2.子集的相关结论

（1）任何一个集合都是它本身的子集，即A=A；

（2）空集是任何集合的子集，即0uA；

（3）集合A是集合5的子集，即A=可以用Venn图表示，如图:

3.集合的相等

对于两个集合A与5,如果集合A是集合8的子集，并且集合8是集合A的

子集，那么称集合A与集合3相等。

记作：A=B

注意：①两个集合A、B,如果AqB,且BqA,则4=8,

类比:两个实数“、b,如果a上力，且62a,则〃=人；

②两个集合相等，则两个集合所含的元素完全相同。

4.真子集的概念

对于两个集合A与3,如果A=并且ARB,那么称集合A是集合8的真

子集。记作：AczB（或8NA）

读作：集合4真包含于集合B（或集合B真包含集合4）

注意：①集合4是集合B的真子集，说明集合4中的元素都属于B,但集合B中

存在元素不属于集合4

②空集。是任何非空集合的真子集；

③任何一个集合至少有两个子集：空集白和它本身。如：

-2-10123456x

{x|x>3},{x|x>-2}

常见的几个数集N、aNaZaQaR

例3：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合

格，若用A表示练习本用纸合格的产品组成的集合，B表示纸的密度合格的产品

组成的集合，C表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成

立？

AcB,BoA,A^C9CoA

试用Venn图表示这三个集合的关系。

解：由题意知，A^B,AqC成立，它们的关系可用Venn图表示如下：

例4：写出集合｛0,1,2｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

解：由子集的定义知，集合｛0,1,2｝的子集的元素个数最少为0个，最多为3

个，由少到多依次写出它的子集，得

©，｛0｝，｛1｝，｛2｝,｛0,1｝,｛0,2｝,｛1,2｝,｛0,1,2｝

上述8个子集，其中除了｛0,1,2｝以外，其余7个都是它的真子集。

如果集合A含有〃个元素，那么它的子集个数为2"个。

思考讨论：

（1）你能说出集合4=｛刈％=24—1,%£2｝与集合3=｛》|%=4加土1,加£2｝的

关系吗？

（2）集合A=｛0,1,2,3,4｝,非空集合B满足：B^A,并且任意都有

4-x^B,这样的集合8有多少个，请写出来？

提不：（1）A—B

（2）满足条件的非空集合B有7个，依次为｛2｝、｛0,4｝、｛1,3｝、｛0,2,4｝、

｛1,2,3｝、｛0,1,3,4｝、｛0,1,2,3,4｝°

三、课题练习

教材P7,练习1、2,3、4o

四、作业布置

教材P12,习题1-1,5o

补充作业：已知集合4满足：｛0,l｝aAa｛0,l,2,3,4｝,写出所有满足条件的集

合4。

解析：集合/至少含有元素。和1,另外不能同时含有元素2,3,4,所以满足

条件的集合A依次为｛0,1｝、｛0,1,2｝、｛0,1,3｝、｛0,1,4｝、｛0,1,2,3｝,｛0,1,2,4｝｛0,1,3,4｝、

共7个。

【教学反思】

本节课内容不多，难度也不大，教学中务必提高学生数学语言的准确性和书

写的规范性要求，比如元素与集合之间在叙述时只能是“属于”或“不属于”，

而集合之间只能是“包含”或“不包含”等，同时注意培养思考的周密性和运算

的准确性。

1.3集合的基本运算

【教学分析】

本节内容从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比的方法，引入集合间

交并运算，同时，结合相关内容介绍子集，引入全集，补集等概念.本节内容重

点体现了知识间的逻辑思考的方法，如类比等.以及如何利用图形（Venn图）

的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算.

【教学目标】

1.理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合并集与交集.

2.能用Venn图表示集合间的运算，体会直观图对理解抽象概念的作用.

3.理解全集，补集的概念，掌握求某集合补集的方法.

【核心素养】

1.数学抽象：集合交集，并集的概念.

2.逻辑推理：本节内容依照集合前两节的内容，引出本节知识点，不仅体

现的数学知识点的连贯性，也体现数学知识的逻辑性.

3.数学运算：会求两集合的交集，并集，补集.

4.直观想象：在理解集合的基本运算过程中，培养学生逻辑思维，以及了

解类比方法；通过利用直观图示对理解抽象概念的作用，培养学生数形结合的思

想.

5.数学建模：在集合的基本运算的学习过程中，体验数学的类比思想和应

用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.

【教学重难点】

教学重点：让学生掌握求集合间的并集、交集、补集以及利用韦恩图与数轴

进行交并的运算.

教学难点：弄清并集、交集，补集的概念，符号之间的区别与联系.

【课前准备】

PPT

【教学过程】

一、关于交集的理解

实例分析：

1.设集合A={x|是6的因数},8={x|是8的因数},C={x|是6和8的公因数},

则集合C是由集合A与3集合的所有公共元素组成的.

2.设集合。={刈-1WxV2},£={x|x>0},F={x|0<x<2},则集合

F是由集合D与集合E的所有公共元素组成的（如图1-7）.

£______________

D，

F

JJ,一

-1012x

图1-7

交集的概念：

一般地由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合叫作集合A

与6的交集，记作AAB,读作“A交B”，即Ac3={x|eA,且xv3}

可用Venn图（如图1-8）表示.

A{AHB]B

根据交集的定义，对于任何集合A,B,有

AryB-BoA,AoBQA,AcBqB,Ac4=A,AAO=<t>

例1求下列每一组中两个集合的交集：

（1）A={x|x是不大于10的正奇数},3={X|X是12的正因数};

（2）C={x|x是等腰三角形},D={x|x是直角三角形}.

解：（1）因为A={x|是不大于10的正奇数}={1,3,5,7,9},B={x|是12的

正因数）={1,2,3,4,6,12）,所以Ac3={1,3,5,7,9}n{1,2,3,4,6,12}={1,3}；

（2）依题意知Cc。={x|x是等腰三角形}n{x|x是直角三角形}={x|x

是等腰直角三角形}.

二、关于并集的理解

实例分析

1.设集合4={*|%-2=0},B={x|x+2=0},C={x|（x-2）（%+2）=0},

则集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.

2.设集合D={（|-14x42},E={x|x>0},F={x|x>-1},则集合F是

由所有属于集合D或属于集合E的元素组成的.

并集的概念：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A

与B的并集，记作AB,读作“A并B”，即

=A,^xeB]

可用Venn图（如图1-9）表示.

B

AUE

根据并集的定义对于任何集合A,B,有AuB=3uA,AQAUB,BqAuB,

AuA=A,AuO=A,

例2已知集合4={》|一1<%<2},3={x|0WxM3},求4c3,A\JB.

解在数轴上表示出集合A,B（如图1-10）,则

Ac3={x|-1W2}c{x|04xV3}={x|0MxV2}

=1<%<2}k_j{x|0<x<3}={x|—l<x<3}

全集与补集概念

在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合

叫作全集，常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合.

设U是全集，A是U的一个子集（即A=U）,则由U中所有不属于A的

元素组成的集合，叫作U中子集A的补集（或余集），记作，CuA即

C^JA={X\X&U^JC^A},可用Venn图（如图1-11）表示.

例如，设全（U为R,则无理数集是有理数（Q的补集，可以表示为2厂。.

由补集的定义，对任何集合A,有aD（CDA）=〃，AC（CDA）=O>,

Ckj(CkjA)=a.

例3设全集u={x|x是小于10的正整数},A={2,4,6,8},3={2,3,5,7},

求CuA,CuB.

解依题意知3={1,2,3,4,5,6,7,8,9},因为A={2,4,6知},B={2,3,5,7),

所以CuA={1,3,5,7,9},CuB={1,4,6,8,9}.

例4设全(U=R,A={x|V5},3={x|x>3},求：

(1)CR(AC8)；(2)CR(AJB)；

(3)(CRA)C(CRB)；(4)(CRA)U(CRB).

解：(1)在数轴上表示出集合A,B(如图1-12),则

Ac3={x|V5}c{x|x>3}={x|3Vx<5},所以

CR(Ac3)={x|xW3或x>5}

----------''1&

AC\B

—J-------LiL-J.▲一

-10123456”

IS1-12

(2)由图1-12可知AD8={X[<5}U{X|X>3}=A,所以CR(ADB)=①，

10I234S6

(3)在数轴上表示出集合CRA,CRB(如图1-13),即CRA={X|XN5},

CRB={xIx<3},所以(CRA)C(CRB)={x|xN5}c{x|x<