平面向量应用举例

2、5平面向量应用举例

一、教材分析

向量概念有明确得物理背景与几何背景，物理背景就是力、速度、加速度等，几何背景就

是有向线段,可以说向量概念就是从物理背景、几何背景中抽象而来得，正因为如此,运用向

量可以解决一些物理与几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做得功，利用向量解决平

面内两条直线平行、垂直位置关系得判定等问题。

二、教学目标

1、通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题得两种方法---------向量法

与坐

标法,可以用向量知识研究物理中得相关问题得“四环节”与生活中得实际问题

2、通过本节得学习，让学生体验向量在解决几何与物理问题中得工具作用，增强学生得

积极主动得探究意识,培养创新精神。

三、教学重点难点

重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积得法则解决几何与物理问题、

难点：选择适当得方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决、

四、学情分析

在平面几何中，平行四边形就是学生熟悉得重要得几何图形,而在物理中，受力分析则就

是其中最基本得基础知识，那么在本节得学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉得内容

来讲解向量在几何与物理问题中得应用。

五、教学方法

1、例题教学，要让学生体会思路得形成过程，体会数学思想方法得应用.

2、学案导学:见后面得学案

3、新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑一情境导入、展示目标一合作探究、精

讲点拨一反思总结、当堂检测一发导学案、布置预习

六、课前准备

1、学生得学习准备:预习本节课本上得基本内容，初步理解向量在平面几何与物理中得

应用

2、教师得教学准备:课前预习学案，课内探究学案,课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

（-）预习检查、总结疑惑

检查落实了学生得预习情况并了解了学生得疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标

教师首先提问：（1）若0为重心，则++=

（2）水渠横断面就是四边形,=,且I=I,则这个四边形

为等腰梯形、类比几何元素之间得关系，您会想到向量运算之间都有什么关系？

（3）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力、为什么？

教师:本节主要研究了用向量知识解决平面几何与物理问题;掌握向量法与坐标法，以及

用向量解决平面几何与物理问题得步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习

情况并让学生把预习过程中得疑惑说出来.

（设计意图:步步导入，吸引学生得注意力，明确学习目标.）

（三）合作探究、精讲点拨.

探究一：（1）向量运算与几何中得结论"若,贝山且所在直线平行或重合"相类比，您有

什么体会？（2）由学生举出几个具有线性运算得几何实例.

教师:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出

来：例如,向量数量积对应着几何中得长度、如图：平行四边行中，设=,=,则（平移）,,（长

度)。向量，得夹角为、因此，可用向量方法解决平面几何中得一些问题。通过向量运算研究

几何运算之间得关系，如距离、夹角等。把运算结果"翻译"成几何关系。本节课，我们就

通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中得运用

例1。证明：平行四边形两条对角线得平方与等于四条边得平方与.

已知：平行四边形ABC，。

求证:.

分析：用向量方法解决涉及长度、夹角得问题时，我们常常要考虑向量得数量积•注意

到，，我们计算与。

证明：不妨设a,6,则

a+b,a-b,\a\2,Ib\\

得(a+b)-(a+b)

=aa+a-b-srba+bb=\aI~2a-b+IAI2o①

同理IaI2—20b+\bI2.②

①+②得2(IaI2+|*|2)=2().

所以，平行四边形两条对角线得平方与等于四条边得平方与.

师:您能用几何方法解决这个问题吗？

让学生体会几何方法与向量方法得区别与难易情况。

师：由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,她把一个思辨过程变

成了一个算法过程，可以按照一定得程序进行运算操作,从而降低了思考问题得难度、

用向量方法解决平面几何问题,主要就是下面三个步骤，

⑴建立平面几何与向量得联系，用向量表示问题中涉及得几何元素，将平面几何问题转

化为向量问题；

⑵通过向量运算,研究几何元素之间得关系，如距离、夹角等问题；

⑶把运算结果“翻译”成几何关系.

变式训练:中，D、E、F分别就是AB、BC、CA得中点，BF与CD交于点0,设(1)证明

A、0、E三点共线;(2)用表示向量。

例2,如图，平行四边形中，点E、尸分别就是A。、0c边得中点，BE、BF分

别与交于7?、T两点，您能发现ARRT、7c之间得关系吗？

分析：由于8、T就是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间得关系，只需要

分别判断AR、RT、TC与A。之间得关系即可.

解:设a,仇则a+b.

由与共线，因此。存在实数小使得=m(a+6).

又由与共线

因此存在实数“，使得—n=n(Z>—a).

由=〃，得相(a+b')=a+n(b一a)o

整理得a+b=O.

由于向量a、b不共线，所以有，解得.

所以。

同理

于就是

所以AR=RT=TCO

说明:本例通过向量之间得关系阐述了平面几何中得方法,待定系数法使

用向量方法证明平面几何问题得常用方法.F

探究二：（1）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力、，'：'、

（2）在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力、这些问题就是为，/：''

什么？

师：向量在物理中得应用，实际上就就是把物理问题转化为向量问题，然\L/

后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得得结果解释物理现象.

例3.在日常生活中，您就是否有这样得经验：两个人共提一个旅行包，

G

夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动，两臂得夹角越小越省力.您能从

数学得角度解释这种现象吗？

分析：上面得问题可以抽象为如右图所示得数学模型.只要分析清楚尸、,

G、三者之间得关系（其中歹为Fi、F2得合力），就得到了问题得数学解释。

解:不妨设3/=I户2I,由向量加法得平行四边形法则，理得平衡原理以及直角三角

形得指示，可以得到

FiI=»

通过上面得式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，得值由大逐渐变小，因此,|E|

有小逐渐变大，即户I、F2之间得夹角越大越费力，夹角越小越省力。

师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面得问题：

⑴为何值时，IFiI最小,最小值就是多少？

⑵|尸」能等于IG|吗?为什么？

例4如图，一条河得两岸平行，河得宽度m,一艘船从B

A处出发到河对岸。已知船得速度IyJ=10km/h,水流得\'\

速度I以1=2km/h,问行驶航程最短时，所用得时间就是多\

少（精确到0、1min）?x.'、、

分析:如果水就是静止得,则船只要取垂直于对岸得方\、'、、

向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短。考虑到水A-----------------*

得流速，要使船得行驶航程最短,那么船得速度与水流速度得合速度v必须垂直于对岸.（用

《几何画板》演示水流速度对船得实际航行得影响）

解:=（km/h）,

所以，（min）0

答:行驶航程最短时，所用得时间就是3、imino

本例关键在于对“行驶最短航程”得意义得解释，即“分析”中给出得穿必须垂直于河

岸行驶，这就是船得速度与水流速度得合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系侯，本例

就容易解决了.

变式训练:两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们得位移分别为，（1）写出

此时粒子B相对粒子A得位移s;(2)计算s在方向上得投影。

九、板书设计

§2、5平面向量应用举例

例L用向量法解平面几何例2变式训练

问题得“三步曲”

例3、例4

变式训练

十、教学反思

本小节主要就是例题教学，要让学生体会思路得形成过程，体会数学思想方法得应用。

教学中，教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路得形成过程，总结解题规律。指

导学生搞好解题后得反思,从而提高学生综合应用知识分析与解决问题得能力、

十一、学案设计(见下页)。

2、5平面向量应用举例

课前预习学案

一、预习目标

预习《平面向量应用举例》，体会向量就是一种处理几何问题、物理问题等得工具，建立

实际问题与向量得联系。

二、预习内容

阅读课本内容，整理例题，结合向量得运算，解决实际得几何问题、物理问题。另外，在思

考一下几个问题：

1.例1如果不用向量得方法，还有其她证明方法吗？

2.利用向量方法解决平面几何问题得“三步曲”就是什么？

3o例3中，⑴为何值时，|Fi|最小，最小值就是多少？

(2)I尸"能等于|GI吗?为什么?

三、提出疑惑

同学们，通过您得自主学习，您还有哪些疑惑，请把它填在下面得表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习内容

1、运用向量得有关知识(向量加减法与向量数量积得运算法则等)解决平面几何与解析

几何中直线或线段得平行、垂直、相等、夹角与距离等问题、

2、运用向量得有关知识解决简单得物理问题、

二、学习过程

探究一：(1)向量运算与几何中得结论"若,贝且所在直线平行或重合"相类比，您有

什么体会？

(2)举出几个具有线性运算得几何实例.

例1.证明:平行四边形两条对角线得平方与等于四条边得平方与。

已知：平行四边形/ec。。

求证：。

试用几何方法解决这个问题

利用向量得方法解决平面几何问题得“三步曲”？

(1)建立平面几何与向量得联系，

(2)通过向量运算，研究几何元素之间得关系，

(3)把运算结果"翻译"成几何关系.

变式训练：中,D、E、F分别就是AB、BC、CA得中点，BF与CD交于点0,设

(1)证明A、。、E三点共线；

(2)用表示向量。

例2,如图，平行四边形AMCZ)中，点E、尸分别就是A。、OC边得

中点，BE、B尸分别与AC交于R、T两点，您能发现AR、RT、之间得关系吗？

探究二:两个人提一个旅行包，夹角越大越费力、在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越

小越省力、这些力得问题就是怎么回事？

例3。在日常生活中，您就是否有这样得经验:两个人共提一个旅行包，

夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂得夹角越小越省力。您能从

数学得角度解释这种现象吗？

请同学们结合刚才这个问题，思考下面得问题：

⑴为何值时，I尸J最小，最小值就是多少？

⑵I居I能等于|GI吗？为什么？

例4如图,一条河得两岸平行，河得宽度口，一艘船从A

处出发到河对岸。已知船得速度|力I=10km/h,水流得速

度|兀I=2km/h,问行驶航程最短时，所用得时间就是多

少(精确到0、lmin)?

变式训练:两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一

时刻，它们得位移分别为

,(1)写出此时粒子B相对粒子A得位移s;(2)计算s在方

向上得投影.

三、反思总结

结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题,体现几何问题

代数化得特点，数形结合得数学思想体现得淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致,

又体现了数学得美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法.

本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题与物理问题;掌握向量法与坐标法，以及

用向量解决实际问题得步骤.

四、当堂检测

1、已知，求边长c.

2、在平行四边形A