河北省保定市九校2024届高三下学期二模试题 数学 含解析

高三数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座@号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知复数z满足2-zi=l+i,则2=（）

A.-|-iB.|-iC.|+iD.-1+i

2.已知集合A=k€Z|x+l>0},5={A-|A-<«},若AcB中有2个元素，则a的取值范围是（）

A.[2,4）B.[1,2）C.[2,4]D.[1,2]

3.某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：

5588605487999851990】1011）11029112071263412901

13001130921312713268135621362113761138011410114172

14191142921442614468145621462115061156011590119972

估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（）

A.14292B.14359C.14426D.14468

4.若函数$=是定义在R上的奇函数，则++（）

A.3B.2C.-2D.一3

5.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备

将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）

6.已知小为分别是双曲线•-春■=]仅>。）的左、右焦点，是〃双曲线。右支上的一个动点,

且“W耳「一|祈『”的最小值是8#,则双曲线。的渐近线方程为（）

A.y=±-xB.y=±\/2x

,2

c.丫=±立XD),-+正天

-212

uniuuu

7.已知圆。：1+），2=1,过点A（2Q）的直线/与圆。交于8,C两点，且A8=8C，则|®q=

()

C.72

A.2D

2T

8.如图，圆。和圆。2外切于点P,A,B分别为圆。和圆4上的动点，已知圆。|和圆。2的半径都为

A.2B.4C.272D.26

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.一般地，任意给定一个角aeR,它的终边。尸与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标.r还是纵坐标

y,都是唯一确定的，所以点〃的横坐标x、纵坐标「都是角a的函数.下面给出这些函数的定义：

①把点P的纵坐标了叫作a的正弦函数，记作sina,即y=sina：

②把点尸横坐标x叫作a的余弦函数，记作cosa,B|J.v=cosa.

③把点P的纵坐标v的倒数叫作a的余割，记作csca,BP—=csccz:

y

④把点P横坐标X的倒数叫作C的正割，记作scca,BP-=seca.

下列结论正确的有（）

4

Bcosaseco;=1

C.函数/(x)=secx的定义域为，+-

D.scc2tz+sin2ar+csc2tz+cos2tz>5

1(),如图1,在等腰梯形ABC。中，ABCD,EFA.AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

£5=4.将四边形AE”。沿才进行折叠，使到达位置，旦平面4。尸£」_平面8。正，连

接A8,D'C,如图2,则()

图1图2

ABEA.A'D'B.平面A'EB//平面D'FC

C.多面体A'EBC。'厂为三棱台D.直线A。与平面BCFE所成的角为三

4

11.己知函数〃x)=J'叫，函数g(x)=gJT，且A<o，定义运算b、a>b,

,设函数

a,a<b.

力(x)=〃x)®g(x),则下列命题正确的是()

A.力(6的最小值为g

B.若〃(x)在[0,]n2]上单调递增，则A的取值范围为(TO,-21n2]

C若〃(x)=〃7有4个不同的解，则，“的取值范围为

D.若力(1)=〃7有3个不同的解储，%则工|+々+工3=。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知产为抛物线。：)，2=23(〃＞，)的焦点，点?(|,一2)在抛物线上。，直线打'与抛物线©的另

个交点为A,则|AF|=.

13.在中，内角A,B,C对边分别为“，b,c,若c?sinA=6sinC，(o+c')，=18+/,则

“XBC的面积为.

14.己知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为1+五，高为100,现有若干个半径为的、加实心球，则

该圆柱形容器内最多可以放入个这种实心球.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.已知数列｛«,｝的前〃项和为S“，且S”=；〃(〃+l).

(1)求｛4｝的通项公式；

(、」一，〃为奇数

(2)若数列也J满足包=。“。,+2，求也｝的前2”项和也.

为偶数

16.如图，在四棱锥中，平面PCD内存在一条直线EF与A3平行，Q4L平面A8C。，直

线PC与平ifiiA8c。所成的角的正切值为且，PA=BC=26，CO=2A8=4.

(1)证明：四边形A8CD是直角梯形.

(2)若点E满足P£=2ED，求二面角P—跖一8的正弦值.

17.某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这

两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A="抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格“，B=

“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P(A|8)=—,P(3|A)=三,P(B)=-.

363

（1）求尸（4）和P（A|3）.

（2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析学生期末

统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关,

期末统考中的数学成绩

个性化错题本合计

及格不及格

建立

未建立

合计

（3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36上的样本（假设根据

新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的上倍，且新列联表中的数据都

为整数）.若要使得依据a=0.001的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定k的最小值

参考公式及数据：/1，小丽力研，

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

18.平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等

于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知JWC的垂心为D,外心为E,。和E关于原点。对

称，A（13,・）.

（1）若E（3,0）,点8在第二象限，直线3C_Lx轴，求点8的坐标：

77

（2）若A,D,£三点共线，椭圆T-.厂4-»=1(«>/?>0)与二A3c内切，证明：D,£为椭圆7的两

KF

个焦点.

19.已知函数/(x)=asinx+ACOSX.

（1）若4=0,求曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程;

(2)若主式一兀.兀)，试讨论〃x)的零点个数.

高三数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知复数z满足2—zi=l+i,则2=()

A.—1—iB.I—iC.1+iD.—1+i

【答案】A

【解析】

[分析]根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.

【详解】因为2—zi=l+i,所以2=*1="业=一1一i.

-i-i-

故选：A

2.已知集合人={1€2卜+1>0},B={A-|X<«),若AcB中有2个元素，则〃的取值范围是()

A.[2,4)B,[1,2)C.[2,4]D.[1.2]

【答案】B

【解析】

【分析】根据Af|B={0A]即可求解.

【详解】A=卜GZ|.V+1>0}={xeZ|x>-l},

因为AcB中只有2个元素，则AQ8={0,1},所以14“<2.

故选：B

3.某学生通过计步仪器，记录了自己最近3()天每天走的步数，数据从小到大排序如下:

5588605487999851990110111I1029112071263412901

13001130921312713268135621362113761138011410114172

14191142921442614468145621462115061156011590119972

估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为()

A.14292B.14359C.14426D.14468

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定数据，利用第75百分位数的意义求解即得.

【详解1由30x75%=22.5，得样本的第75百分位数为第23个数据,

据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426.

故选：C

4.若函数是定义在R上的奇函数，则/(-1)+/(0)+八1)=()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇函数的性质可得/“)+/(—x)=2,进而可得/⑴+/(-1)=2,/(0)=1,即可求解.

【详解】设〃(x)=/(x)-1,则F(x)+L(-x)=0,B|)/(X)-1+/(-X)-1=0.

即/(x)+/(-x)=2,所以/(l)+/(-l)=2.

因为80)=/(0)_[=0,所以40)=1,/(_1)+/(())+/■⑴=2+1=3.

故选：A

5.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备

将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为()

(111

A.gB.-C.-D.-

2346

【答案】B

【解析】

【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是

白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.

【详解】将4个盒子按顺序拆开有A：=24种方法，

若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在口那个盒子中，

则前两个盒子都是白球或都是黑球，有A；A；+A；A；=8种情况，

gI

则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为尸=旬=：；.

243

故选：B

6,已知片，F?分别是双曲线C：?一孑=|伍＞0）的左、右焦点，是M双曲线C右支上的个动点，

且”的最小值是8、/匕，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=~~xB.y=±5/2.v

C.y=±-^-xD.y=±^-x

22

【答案】C

【解析】

【分析】法一：根据条件，利用点到点的距离公式得到|A/F；『-|MF；「=4c%，再利用522,即可求出

结果；法二：利用双曲线的定义，得到碟=%4+2|例段），再利用阿眉的取值范围，即可

求出结果.

【详解】解法一：不妨设J（-c.O），6（c,0），"伍，.％）,且"2,

则|例片「T例周2=（X。+cf+y（,-（.%-c）2+.y（＞]=4cv0＞8c,

所以8c=8#，解得＜•=#,b=yf2,故双曲线C的渐近线方程为）』士"x.

解法二：|MF『—|用用2=（|M用—阿以川M用+|MF；|）=4（|M6|+|例周）

=4（4+2|MA'|）＞4[4+2（C-2）]=8C,

所以8c=8#，解得＜•=#，h=yf2＜故双曲线。的渐近线方程为

故选：C.

WLIUUI.

7,已知圆0:9+必=1,过点A（2,0）的直线/与圆。交于8,C两点，且A8=bC,则忸[=

3r~\/（＞

A.2B.-C.J2D.—

2、2

【答案】D

【解析】

［分析］根据条件可得BD=-OC=结合图形得出cos/COA=-cosZODB=,然后根据转化法

224

利用向量积求出向量AC的模即可

【详解】如图，在&OAC中，BD//OC,BD=-OC=-,cosZODB=—=~,

22ED4

故选：D

8.如图，圆4和圆4外切于点尸，A，8分别为圆/和圆仇上的动点，已知圆。|和圆。2的半径都为

1，且多/8=—1，则pA+PB『的最大值为（）

A.2B.4C.2返D.2也

【答案】D

【解析】

【分析】由PAPB=（PO］+O1A）（PO2+O2B）=\,化简得到

口八冬卜园佗八。㈤同年―。同，两边平方化简可得：—1+J5,由

\PA+尸4=卜。1+OtA+PO2+O2B^化简即可得到答案.

［详解］PAPB=(pq+aA).(P0；+.8)=PO1.PO,+POtO2B+OtA-PO2+QAO2B

--1+PO,

{O2B-OXA^+O,A-O2B^-\,

所以|0".。0=|只9；.(a月T。司卜I必一。H，

所以|0AQ5『<|Q8『+|aA『-2aAQ8,即何AR耳”+2QA.Q8-24(),

解得一i—64QA-a8<—i+/.

|PA+时=附|+Q|A+PO2+a5(=|O|A+O2q2=|Q"+|023『+2O.AO.B

=2+2Q|A02342+2x(-1+石)=26

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.一般地，任意给定一个角aeR,它的终边OP与单位圆的交点户的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标

¥，都是唯一确定的，所以点户的横坐标.V、纵坐标y都是角a的函数.下面给出这些函数的定义：

①把点P的纵坐标},叫作a的正弦函数，记作sina,即y=sina:

②把点P的横坐标.V叫作a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa；

③把点。的纵坐标V的倒数叫作a的余割，记作csca,即工=csca.

y

④把点『的横坐标工的倒数叫作a的正割，记作seca,即工=$€©0.

B.cosaseccr=1

C.函数/(x)=secx的定义域为,+-

D.sec26z+sin2<z+esc2a+cos2a>5

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.

,5兀_1_B

(详解】esc彳--7、A正确：

sin—

4

cosaseca=cosa--二1,B正确；

cosa

函数〃x)=$ear的定义域为{X|XH依，火GZ},c错误；

■>2211114

seca+sina+csca+cosa=1+———+——+----—=1+————>5,

cos-tzsirrasin-crcos5-asin_2cr

当sin2a=±l时，等号成立，D正确.

故选：ABD.

10.如图1,在等腰梯形A8CD中，ABCD,EF±AB,CF=EF=21)F=2.AE=3,

EB=4,将四边形入沿EP进行折叠，使入。到达AQ'位置，且平面AQT£J,平面8CFE,连

接A8,DC，如图2,则（）

A.HEI.A'D'B.平面A'EB〃平面

C,多面体A'EBCD'F为三梭台D.直线A'/y与平面BCFE所成的角为-

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.由面面垂直得线面垂宜再得线线垂直；氏由“£〃■“，8E〃。「易得平面4£8〃平面。'FC；

C.由棱台的定义可判断：D.确定线面角，计算即可.

G

【详解】

因为平而A'D'FE_L平面BCFE,平面A'D'FE"平面BCFE=EF,Z?Eu平面HCFE，HE±EF,

所以BEL平面A'D'FE,又因为ADu平面NUFE、

则故A正确.

因为力石〃〃尸，AEo平面。'尸C，oHu平面D'FC，则平面AE//平面。'FC，

又BE〃CF,BEQ平面D'FC，Wu平面〃RC，则平面4E//平而。AC，

又因为A'EcBE=E,A£/?Eu平面4团，

所以平面AE6//平面。AC，B正确.

n'F1FC2D'FFC

因为一；一=；；，—则丁。令，所以多面体4硝8'尸不是三枝台，c错误.

AE3EB4NEEH

延长A/丁，石/相交于点G

因为平面A'D'FEBCFE，平面AONE”平面BCFE=EF,AEu平面AD'FE,

AE.LEF.

所以AE1平面HCFE,则ZA'GE为直线A'iy与平面BCFE所成的角.

D'FGF

因为/石〃〃户，所以七一二---------

A'EGF+FE

AE_

解得GF=】，G£=3，则lan/AGE

GE

则/AGE」,D正确.

4

故选：ABD.

11.已知函数/(x)=J"L函数g(x)=g」T,且上＜0,定义运算h,a>b,

,设函数

a,a<b,

/z(x)=/(x)®g(x),则下列命题正确的是()

A.〃(《¥)的最小值为；

B.若/?(x)在［0,ln2］上单调递增，则k的取值范围为(Y0,-2In2］

(斗*n

C.若有4个不同解，则〃7的取值范围为Le2、〃

D.若/?（X）=〃7有3个不同的解，%,如则司+勺+.=。

【答案】AC

【解析】

【分析】对A,对k分类讨论，并作出分段函数的图象求出最小值即可；对B,令e*"=乂3,求出打,

2

根据其单调性得到不等式，解出即可；对C和D结合图象转化为直线）'=，"与函数图象交点个数，并结合

函数对称性即可判断.

［详解］对A,=<e,丁-hg（.r）=：JT=22

e,x<-k,21k

—ey＜一.

22

啧解得—等

当一一—《斤<0时，作出函数/（A）和月（X）的图象，如图I所示.

力3=g(力,显然当X=2时，g(x)m,n=g

此时,

图1

当上<一一联时•，作出函数。（X）的图象，如图2所示.

（上、1

/（-VL=〃-"）=r鼠虫"问万卜^，所以〃（x）的最小值为5，

综上”（x）的最小值为J,A正确.

对B,令e~x°~k=；e"2,解得/=Jln2-g),_e~j("吗).

若力（x）在［0/n2］上单调递增，则.%=；（ln2—：）2ln2,解得k<-21n2.

因为当——><k<o时，〃G）在［（）,+“）上单调递增，

所以k的取值范围为（-8,-21n2］U-->，0，B错误.

对CD,若〃（x）=，〃有3个不同的解3,/，内，则结合图象可得

1，3〃、k

5(ln2+；J或为+吃+内=2*5_女=0,D错误.

,、（42+延

212

若/?（*）="?有4个不同的解，则=€l,eC正确.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是结合图象找到临界位置，从而得到不等式，CD选项应结合函数

图象，转化为直线与函数图象交点个数问题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知尸为抛物线C：V=2px（〃>（））的焦点，点？（1,一2）在抛物线上C,直线PE与抛物线C的另-

个交点为A,则|AF|=.

【答案】2

【解析】

【分析】将「（1,『2）代入抛物线方程，再根据直线外马》釉垂直求解即可.

［详解】由题意可得（-2丫=2〃x1,解得〃=2,则F（1,O）.

又直线与、轴垂直，^(1,2),\AF\=2.

故答案为：2

13,在148。中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若dsinA=6sinC，(”+cf=18+4,贝ij

JkBC的面积为.

【答案】西

2

【解析】

【分析】由正弦定理角化边可得ac=6,再结合余弦定理可得cosB，根据三角形面积公式

SfBc=^ncsin(3即可求解.

【详解】解：因c2sin/A=6sinC»由正弦定理可得：4c?=6c，即ac=6,

又(a+c、y=18+/?2,所以a2+c’—IT=18—2ac=6，

nCl24-C2—b2I.5/3

rhncosfi=----------=-=sinfi=——，

2ac22

rrhJc1.n3G

所以S=-fzcsin£?=---,

八旌22

故答案为：空.

2

14.已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为1+0,高为100,现有若干个半径为的虚实心球，则

该圆柱形容器内坡多可以放入个这种实心球.

【答案】49

【解析】

【分析】分析第1个实心球a上的点与第2个实心球。2上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离，依次叠

放，找出规律得到每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2,即可得到答案.

【详解.】如图，将第1个实心球q靠近该圆柱形容器侧面放置，

球a上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为20:

将第2个实心球R也靠近该圆柱形容器侧面放置，

过点。作。A垂直于该圆柱形容器的母线，垂足为A,

过点a作OZB垂直于该圆柱形容器下底面，垂坦为8,

设0AO»B=C.AC=BC=屈,C0、=2,C02=^0^1-CO；=2.

球O?上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为2+2日

同理可得球Q,上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为4+2J5.

由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2.

因为48x2+2VI<100<49x2+2及，

所以该圆柱形容器内最多可以放入49个这种实心球.

故答案为：49

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底

面的最大距离加2,从而得解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.已如数列｛«,｝的前〃项和为S,,,且+

(I)求｛4｝的通项公式；

,———，“为奇数.

(2)若数列也J满足勿=%限，求也｝的前2〃项和7k.

为偶数

【答案】(1)%=〃：

0、r4,,+'-4

(2)刀“=---n--+-------.

2/7+13

【解析】

［分析］(1)根据a„,Sn的关系由：a„=S“-S“_1求解即可；

(2)根据。通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可.

【小问1详解】

当〃=1时.a]=5；=1.

当“？2时，许=S“_S“T

当〃=1时，也符合巴=〃.

综上，

【小问2详解】

,〃为奇数[-(---L],〃为奇数

由么=伯明+2="=11+2J

2",〃为偶数12",〃为偶数

则氏=伯+4+…+)+(4+4++电)

—!—H+22+24+---+22"

2w+1JJ

警

n4,,+l-4

2/i+l3

n4H+,-4

故｛〃“｝的前2〃项和小“-----F

2〃+1----3

16.如图，在四棱锥P-A8CO中，平面PCO内存在一条直线E厂与A8平行,心」一平面48。。，直

线尸C与平面ABCD所成的角的正切值为13，PA=BC=26CD=2AB

：4.

2

（1）证明：四边形A8CO直角梯形.

（2）若点E满足瓶=2反），求二面角尸一瓦一8的正弦值.

【答案】（1）证明见解析;

10

【解析】

【分析】(1)根据条件，利用线面平行的判定定理，得到A3//平面PCQ,再线面平行的性质定理，得

到A6//CQ,再利用条件得到AC=4,结合A3=2，8c=26，即可证明结果：

(2)建立空间直角坐标系，求出平面PCQ和平面A8E的法向量，利用面面角的向量法，即可解决问题.

【小问1详解】

因为A8//W,E"u平面PCD,A80平HUPCQ,所以A3〃平面PC。，

因为ABu平面A6C。，平面A/JCQc平面PCQ=C。，所以A3//CO,

连接AC，因为PAJ_平面ABCD,所以ZPCA是PC与平面ABCD的夹角，

则tan/PC4="=^=且，解得AC=4.

ACAC2

因为A6=2,8c=26，所以A82+8C2=AC2,所以ABJ.BC.

又AB丰CD,所以四边形A/JCO是直角梯形.

【小问2详解】

取CO的中点射，连接AM，以人为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则.0,0,26)£)(2>/3,-2,0),C(273,2,0),/i(0,2,0),A3=(0,2,0),

巾二卜32,-2@，PD=(2#),2—2,5).

设平面PC。的法向量为n=(x,y,z),

nPC=2>/3.v+2y-=0,、

则｛LL，取X=l，得到F=0,z=l,即，i=(l,0,l，

n-PD=2A-2y-2任=0

设平面A8E的一个法向量为/z?=(x,_y,z),

((2y=0

m-AB=0_

则由J,得至4处io2出，到x=l，得到y=0，z=-2,

m-BE=0------x------)'+--z=0

1I333

所以平面A8E的一个法向量为th=(1,0,-2)

设二面角P-E5-6的平面角为

niir।।nmM3加

则|««例=|8$〃，，〃|=丽=记所以sin8=

10

故二面角P—印—B的正弦值为别e.

17.某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这

两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A="抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格“，B=

—2—5,7

“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P（A|3）=二，P（8|A）=<尸（8）=:,

363

⑴求尸⑷和P（A|8）.

（2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析学生期末

统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关,

期末统考中的数学成绩

个性化错题本合计

及格不及格

建立

未建立

合计

（3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36A的样本（假设根据

新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的左倍，且新列联表中的数据都

为整数）,若要使得依据a=0.001的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定4的最小值

-bey

参考公式及数据：z2=〃=a+〃+c+〃.

卜/+〃)(4+d)卜/+c)(〃+d)

a0.0]0.0050.001

6.6357.87910.828

【答案】(I)?(A)=g,P(A|8)=L

6

(2)表格见解析，有关；

⑶-

4

【解析】

【分析】(1)利用条件概率公式结合全概率公式即可得到答案；

(2)由(1)所计算的概率即可完成列联表，再由独立性检验的知识即可得到结论;

⑶利用独立性检验的知识可得9『N10.828,在结合4左GZ,即可得到答案.

【小问1详解】

-2—5

因为P(A|8)=—,&8|A)=±,

36

所以P(RZ)=1—P(A|历=LP(B\A)=\-P(B\A)=-,

36

lt^P(A|6)P(6)=P(8]A)P(A)，解得P(A)=；，所以P(A)=Q.

P(A)=P[B)-P(A|B)+P(B)-P(A\B),解得P(A怛)」.

【小问2详解】

期末统考中的数学成

个性化错题合

绩

本计

及格不及格

建立20424

未建立4812

合计241236

零假设为“0；期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.

根据列联表中的数据，经计算得到/=36*(20*4x4)-=9>7879=A.A.

24x12x12x24°15

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断%不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性

化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.

【小问3详解】

〃=k(a+b+c+d)®kd-kb-kcj=k(a+b+c+d)(ad—bc7=〉］0328,解得

〃(〃+/»•A(c+d)•+c>k(b+d)(a+〃)(£+")(a+c)(〃+4)

,10.828

k>------.

9

要使新列联表中的数据都为整数，则需44£Z.

又因为4k>心28x4。4.8,所以4k的最小值为5,故k的最小值是』

94

18.平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高所在直线的交点)的距离等

于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍.已知“6C的垂心为/),外心为“和£关于原点。对

称，A(13,0).

(1)若E(3,0),点8在第二象限，直线6cl.i-轴，求点8的坐标：

22

(2)若A,D,E三点共线，椭圆T：「+千=1(4>/，>0)与内切，证见D,£为椭圆7'的两

个焦点.

【答窠】(1)5(-5,6)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】⑴根据垂心以及外心满足的等量关系即可根据目=卜目，忸斤+|即「=|AE『，求解，

(2)根据共线以及卜同=2怛耳可得5=13—2"?,进而根据4?,。。满足的垂直关系可得

rr=(3/n-l3)(/n+l3),联立直线与椭圆方程，得判别式，化筒可得//=(13-6)(3m一13).即可求解.

【小问I详解】

因为E(3,0),所以。(一3,0).

设6c与x轴的交点为尸(一加,0),由题意可得卜0=2但日，

即13+3=2（，〃+3）,解得加=5.

设B（-5,〃），因为怛E|=|A£|,所以忸肝+|£F「=|AE『,

则（3+5『+,尸=03—3）2,解得〃=6.

所以8（—56）.

【小间2详解】

证明：因为。和£关于原点O对称，旦A,D,E三点共线，所以A,D,E,。四点共线，即点A,D,

E,。都在x轴上.

因为AQ是的高，所以AO1BC,即