四川省眉山市2024届高三年级下册三模理科数学试题含解析

秘密★启用前

眉山市高中2024届第三次诊断性考试

数学（理科）

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用椽皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在复平面内，旧且对应的点位于（）

1-i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限1）第四象限

2.设全集。={-3,集合A={-2,-1,0,】},8={-则{—3,2}=（）

cQ,（Ac8）D.Q；（ADB）

3.采购经理指数（PMI）,是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作

用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指

数,指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张：低于50%,则反映企业生产经营活动较上月

收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：

根据该折线图判断，下列结论正确的是（）

A.2O23年各月综合PMI产出指数的中位数富于53%

B.2O23年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续犷张

C.2O23年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩

D.2023年上半年各月综合PM1产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差

4,已知向量a,D,c满足同=W=1,同=G,且〃+〃+c=0，则cos（d-d"一彳）=（）

133G3>/3B

A.-----D.---------V._，U.--------

14141414

5.(1—2x)(l+x)'的展开式中『的系数为()

A.20B.IOC.-10D.-20

6.已知aw(o,,j,cos(a+§)=—5，则sina=()

A12+5>/3D12-5>/3012岛5612A5-5

A.----------------D.----------------C.----------------L).----------------

26262626

7.设。为坐标原点，过点(2,0)的直线与抛物线C:丁=2/"(〃>0)交于两点，若

OM.0N=-4，则〃的值为()

A.-B.-C.2D.4

42

8.如图，该组合体由一个正四棱柱ABC。-A8JCQI和•个正四棱椎尸-48cA组合而成，已知

A.P\//平面ABC}D,B.Pg〃平面ABJD]

C.PC}1平面BDC}D.PD,1平面BDC1

9.四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从A,8,C三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择

相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（）

15211420

A.—B.—C.—D.—

16322727

/\

】0.绐出下述三个结论：①函数/（x）=cos|X的最小正周期为兀；②函数/3=|cos2x|在区间单

调递增；③函数/（X）=COS2X的图象关于直线*•=工对称.其中所有正确结论的编号是（）

A.①②③B.②③C.①@D.②

11.已知双曲线C:二一4=1（">02>0）的左，右焦点分别为6，8.点A在C上，点8在了轴上，

a"b

一4------------

=鸟,则C的痛心率为（）

A3①弁714+72714+72

A.----D.U2.C.---------U.--------

443

12.若关于.r的不等式hi：ad-Zu-2—1（"/0）恒成立，则-的最大值为（）

a

12〃12

A.—B.—C.-D.一

e"ee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-.y+2..O,

13.若Xy满足约束条件,2x-y-2,0,则z=-3x+y的最小值为.

2A*+y—2..0,

14.已知ABC的三边长AB=4cm,BC=2cm,AC=3cm,则ABC的面积为cm2.

15.若〃x）=2cos（x+0）+cosx为奇函数，则。=.（填写符合要求的，个值）

16.已知球。的半径为3,相互垂直的两个平面分别截球而得两个圆a，。2,其半径分别为小4,若

002=瓜,「2=垃八，两圆的公共弦的中点为例，则.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润丁（单位：亿元）与年份代

码x共5组数据（其中年份代码x=l,2,3,4,5分别指2019年，2020年，…,2023年），并得到如下值:

了=70.5,£（匕-方2=65,£（y-刃（芍-£）=25

1二1

（1）若用线性回归模型拟合变量）'与X的相关关系，计算该样本相关系数，•，并判断变量与X的相关程

度（厂精确到0.01）；

（2）求变量）'关于X的线性回归方程，并求2024年利润.V的预报值.

附：①a2.55;

②若|巾.0.75,相关程度很强；0.3„|/-|<0.75,相关程度一般；|小,0.3,相关程度较弱；

③一组数据（A;,1'）,（々，X），…，（%,，%）,其回归直线v=a+bx的斜率和截距的最小二乘估冲分别为

一工）（）'厂1）-工）（y-刃

B=J------------,4=了_加；相关系数「=心也[“

.一斤也（xf.也（yf

18.（12分）

已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，且2S,=3q-3,〃wN*.

（I）求数列｛〃“｝的通项公式：

（2）若,求数列也｝的前〃项和

37?X9">2

从①包=3"】ogq；②，—；③a=X4+「""），这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并

”,用2

解答问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（12分）

如图，在多面体48CDEF中，四边形45C。为菱形，平面尸CO」.平面45CD,平面E4B_L平面

ABCDmAEBgCFD是等腰直角三角形，旦/DFC=NBEA=三.

2

（1）证明：平面人//〃平面CDE：

71

（2）若/84D,耳，求平面ADE与平面ACE所成锐二面角的余弦值的取值范围.

20.（12分）

已知椭圆c：与+方=1（〃>〃>0）的离心率是白，左、右顶点分别为A.4,过线段AA?上的点

Q（】,o）的直线与。交于仞，N两点，且,amv与A?MN的面枳比为3:1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线MA,与NA2交于点p.证明：点p在定直线上.

21.（12分）

已知函数/（才）=A11U-61X2-2x.

（1）若过点（1,0）可作曲线y=/（x）两条切线，求”的取值范围；

(2)若/(X)有两个不同极值点用,占.

①求”的取值范围；

②当N>4A2时，证明：将£>16e\

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题记分.

22.［选修44坐标系与参数方程1(10分)

在直角坐标系.江少中，的圆心为C(2,2),半径为2,以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立

极坐标系.

(1)求QC的极坐标方程；

(2)过点O的直线交0。于P,Q两点，求的最大值.

231选修4-5不等式选讲1(10分)

已知函数/(6=|2-乂+2卜+2卜

(1)若对任意xGR,使得/(A-)..6/一3。恒成立，求<1的取值范围：

(2)令/(x)的最小值为例.若正数a,〃,c•满足,+1+±=例，求证：a-k-h+c.A.

abc

理科数学参考解答及评分参考

一.选择题

1.【答案】B

L+2i（l+2i）1+i）-i+3i

［解析］由――=匕=一1，对应的点位于第二象限，选择B.

1-1+2

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法运算，复数的几何

意义等基础知识：考查运算求解能力，数形结合思想：考查数学运算、直观想象等数学核心素养.

2.【答案】D

【解析】由（Q：A）C8={-3,2,3}C{—1,1,3}={3},选项A错误：

(QIA)D3={-3,2,3}D{—1,1,3}={-3,-1,1,2,3},选项B错误;

瘠(AcB)=y{-1,1}={-3,-2,0,2,3},选项C错误；因为ADB={-2,T,0,1,3},所以

心（Au8）={—3,2},所以选项。正确.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集与并集，补集运算

等基础知识：考查运算求解能力，数学运算等数学核心素养.

3.【答案】B

【解析】根据图表可知，各月PM/的中位数小于53%,A错误；2023年各月，2023年我国综合尸M/产出

指数均大于50%,表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，8正确；2023年上半年各月PM/比下

半年各月PM/的波动大，则方差也大，故。错误.

【考会意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统il-图表的应用等基础知识，考查概率统II•等思想方

法，考查数据分析等数学核心素养.

4.【答案】A

【解析】由题意得“+/，=-c，则（a+/，）2=c、2有r+2a"+12=（G）2,解得a3=］，又由

a+c^-b,则（”+c）2=尸有］2+2“c+（6）2=/，解得”.c=一日，同理可得c=所以

13i

[a-c^^h—c^=a-h—a-c—hc-^-c2=—\a—c\=yja2—2«-c-bc2=A/7,|/?—c|=yjh2-2hc+c2=币

卜——经

所以cos（n-c、,/，一c）

|«-c||/?-cjV7-5/714

注：本小题也可以利用向量线性运算的几何意义，利用数形结合思想求解.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的坐标运算，数量积，夹

角公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，数学建模（可构造三角形或取特值解答）思想；

考查数学运算、直观想象、数学建模等数学核心素养.

5.【答案】C

【解析】因为(1一2x)(l+x)5=(1+X)5-2X(1+X)5,相加的两项二项式展开后的通项分别为7；.1=G『

与T,^=—2.\C/，所以7的系数为C—2。=一10.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计二项式展开式的通项问题，主要考查二项式展开式特定项的

系数等基础知识；考查运算求解能力，分类讨论思想，数学运算等数学核心素养.

6.【答案】A

【解析】因为,所以但,?.有sin/a+4]=Jl-cos?(a+四]="，所以

J也=12+工6

nn71

sina=sina+一a+—COS——COS--

3Hj-T-26

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换求值问题，主要考查同角三角函数关系，两角

和的正弦公式，三角函数符号确定等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，数学运算等数学核

心素养.

7.【答案】C

【解析】设例(不)，]),2(占,多)，直线例N的方程为：x=my+2,联立方程必=2/衣得，

(vv『

2

y-2/?/»y-4/;=0,故)[%=-4/7.X1X2=1・八？=4,从而0M♦ON=+y\y2=4-4/；=-4,

即〃=2,故选C.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设“•直线与抛物线交点问题，主要考查直线与抛物线的位置

关系，向量的坐标运算，抛物线性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；

考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.

8.【答案】C

[解析】如图，因为曰=PC;=2,Ac=2J5,oc=eg=④，在平面ACG%中有

=/A£0=/CQC=；，所以PA〃OC「PA]〃平面BDCVP\不平行于平面A8CQ；

同理PB、//ODVPB,不平行于平面ABC。：易得P0=2正，

Pg=G0=2,所以PQ_LCQ,又PG_L8D,8OcGO=。，所以PGJL平面.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题，主要考查空间线面平

行，线面垂直的判断等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力；考杳逻辑推理，宜观想象等数学核

心素养.

9.【答案】C

【解析】/于+竹；7x614.

P=-―=--——-

348127

【命题意图】本小题设置实践应用情境，主要考查计数原理、分组排列、组合、古典概型等基础知识，考查

分类与整合等数学思想，考查逻辑推理，数学建模等数学核心素养.

10.【答案】B

【解析】对于①由/(x)=cosW=cosr，最小正周期为2兀，结论①不正确；对于②，由,

有2XG-,it,cos2x<0,此时/(x)=|cos2x|=-cos2x在区间弓,外单调递增，结论②正确：对于

③，f(x)=cos2%=1+COS^A=1cos2.r+-,对称轴由2工=人兀AGZ确定，当衣=1时，x=E,结论

2222

③正确.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三井函数图象性质问题，主要考查含绝对值的余弦函数图

象，降辕公式，余弦函数的最小正周期，单调区间，图象的轴对称等基础知识：考查逻辑推理能力，数形

结合思想，化归与转化思想，推理论证等数学核心素养.

11.【答案】A

【解析】设16Al=",则用=3闵8Al=4”,由于6,F?关于):轴对称，故忸用=忸周=3〃],又因

为F]BtAB,所以|AF；|=5〃],|£月|=3后〃，所以2。=4〃?,2c•=30m，所以e=，故选A.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计双曲线焦点弦问题，主要考查双曲线的方程与性质，双

曲线焦点弦，离心率等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；

考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.

】2.【答案】C

【解析】依题意,H0,X>0,不等式化为L,-.设f(x)=,则

、一―2-2x(ln.r+l)_]2m.,当xJo,e1时，/'(x)>0,/(x)单调递增；当六

e2,+e时，/'(x)<0J(x)单调递减，所以，/(“在1.=6-3处取得极大值，也即最大值|••又

I，/、hiv4-1ib](b]/、

入.>晨5时，/(*)>°仙题知不等式一^一”。卜一恒成立，所以y="卜一一J的图象恒在,f(x)的

图象的上方，显然a<()不符题意：当”>()时，:为直线)，=a(x-3卜J横截距，其最大值为.f(x)的

横截距，再令/(x)=0，可得x=g,且当宜线>=a(x—与/(戈)在点(J,。)处相切时，横截距,

取得最大值.此时，切线方程为y=〃=//=，，所以2取得最大值为！.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考杳导数的应用等基础知识，考查化归与转化等数学思想，

考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.

二、填空题

13.【答案】-6

【解析】作出约束条件表示的可行域为以A(4,6),8(0,2),C(1,0)三点为顶点的.A8C及其内部，作出直

线-3x+.y=()并平移，当直线.y=3x+z经过点A(4⑹时，在轴上的截距最小，此时目标函数

z=-3x+.y取得最小值znijn=-3x4+6=-6.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计简单的线性规划问题，主要考查不等式组的解法，约束条件

表示的可行域，直线平移及儿何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想；

考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

14.【答案主叵

4

［解析］由余弦定理有cosA=-=’+32-22=Z,所以疝》=叵,所以△A8C的

2ABAC2x4x388

面积S=」A8ACsiiM=1x4x3x^=^^.

2284

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设H•解三角形问题，主要考查余弦定理，同角间的三角函数关

系，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，应用

意识；考杳数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

2兀2兀

15.【答案】—,填写符合8=2桁土小，〃wZ的一个值即可.

【解析】依题意，/(X)=2COSACOS0-2siiLvsin*+co£r=(2cos0+l〉cosx-2sinxsin夕，当

2cos夕+1=(),为奇函数，此时cos8=-：,则e=2E±/,〃eZ,故填三,日等等.

【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查函数奇偶性等基本性质、简单的三角变换等基础知识，

考查化归与转化等数学思想；考看数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

16.【答案】I

(解析】如图，设OO}==d,OM=OyO->=>/6,ON=3,则在OMN中,MN=，在

△Q/WN中，2/=1+3,在4aON中，9=/+下，联立得q=2,所以在.O|/WN中，

MO：=<-MN2=1,所以Mg=1.

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计球与截面问题，主要考查平面与球相截，空间线面位置

关系，球内三角形，矩形的性质，勾股定理等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，方程思想等

基础知识；考杳数学运算素养，宜观想象，逻辑推理等数学核心素养.

三、解答题

17.【解析】(1)依题意，H="2+：+4+5=3,

^(.r,-x)2=(l-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=1(),

自«一M(.£.-刃252525

则，.=

居/后/一二-aX而一10x后〜10x2.55〜'

石(…)・栋()c)

则r>0.75，故变量y与x的相关程度很强.

(2)令变量与x的线性回归方程为y=a+bx.

£()；-方025

b=-i^-----------------=—=2.5,

6/71°t

2(%7)

<=1

所以。=了—底=70.5-2.5x3=63,

所以，变量y关于X的回归方程为y=2.5x+63.

2024年，即犬=6时，>'=2.5x6+63=78(亿元).

所以，该公司2024年利润)；的预报值为78(亿元).

【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查回归分析的基本思想及其初步应用，考杳统计基本思想

以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识；考查数学运算、数学建模等数学核心素养.

18.【解析】(1)由2s“=3(-3,

当〃=1忖，2q=30一3,得q=3,

当〃..2时，2a“=2Sn-2sLi=3%—3—(—3)，

整理得，q=34_-

又41T*•,所以乌-=3,

所以数列｛<?“｝是首项为3,公比为3的等比数列,

所以=3".

(2)若选①，由(1)可得，b„=3"Iog3&=〃,3"，

所以7；=1x3+2x32+3x3、+u-3",

37；=IX32+2X33+3X34++n-3"+',

两式相减得-27；=3+32+3、+3"--3,,+,

所以<=I卜叫施"）

3〃x9"3〃x9"0”

若选②，由（1）可得，bn=—=»-3.

♦

若选③，由（1）可得，4=；（。,*1_。"）=；（3川—3"）=小3".

【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计结构性不良的数列问题，主要考查数列的前〃项和与通项公

式，等比数列的性质，错位相减法求数列的和等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转

化思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.

19.【解析】（1）如图，取A8,C。的中点连接ME,EN,NF,FM.

因为FN1.DC,平面尸C。」.平面ABCD,

平面FCDc平面ABCD=CD,

所以RV」.平面A3CD

同理，£70_L平面ABCD.

所以尸N//ME.

又AAEB和ACED是等腰直角三角形，所以FN=ME,

四边形MENF为平行四边形，所以MF〃EN,

又因为A8〃CD,ABcMF=M,CDcNE=N,

所以平面A3b〃平面COE.

（2）如图，以A点为原点，A8所在直线为）,轴，过A平行于ME的直线为x轴，在平面

A3CO内垂直于AB的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

、3

则A（（）,（）,（））,8（0,2,0）,C（（）,2+2cos0,2sin0,0（（）,2cos0,2sin/9）,E（l,1,0）.

所以AE=（1,1,（））,AD=8C=（（）,2cose,2sine）,8E=（l,—L（））.

设平面AZ龙的法向量为匕=（N，y，zJ,则

AE-〃]=N+））=0,

AD•%=2cos6•y+2sin0.

八i，口ico§8.cos。、

令X=l,得y=_i,马=一二，所以“=1,-1,—^.

sin0Isin。J

设平面区CE*的法向量为%二（S，）；2，Z2），则

BEn2=&-）'2二°，

BC'n2=2cos6♦I+2sin0-z2=0.

人.1giCOS。.（..COS61

令&=T，得）'2=-l，Z2=-7；，Jr?rrKU//=-1,-1,——.

sin夕2Ising）

...cos0ff兀]],-sin20-cos20-1

sin6（13JJ（sin。）-（sin。）-

COS0（Tt

所以/=—^■在0,;上单调递减，所以/W——,+oo

sin。I33

所以cos/?1,n2=2了

「1>

所以平面ADE与平面3CE所成锐二面角的取值范围是-J

【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计立体几何问题，主要考杳空间线线、线面位置关系，空

间二面角等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力，运算求解能力；考查直观想象，逻辑推理等数

学核心素养，应用意识.

20.【解析】（1）由。（1，0），5,"，=JMM4-MN，52W=JA/N|4U

」S\MNdNMN|AQ|a+10rll_

故~?=3,则a=2.

S&MNMN[&Q|a—\

由c=,得（;=^/3,h=\t

2

故椭圆C的方程为：—+v2=l.

4•

（2）由（1）可得A（-2,0）,A?（2,（））,设M（XQ]）,N（X2，）。

显然直线MN的斜率不为•，所以设直线MN的方程为x=my+l.

2

将x=my+1与工+F=1联立，

4.

可得（〃尸+4）/+2/殴一3=0,

其中△=16（〃/+3）>0,

.-2"?—3

贝n5+为=^r—7，.Vi.y=-^—7-

nr+42"r+4

因为直线历A的方程为.y=-J(x+2),直线M4,的方程为)，=一三(犬一2),

X+2X,-2

联立直线MAt与直线M4?的方程可得：

x+2=%(3+2)=%(〃%+3)=)，2+3(x+)，J-3y

x-2,y,(A-2-2)力(，佻一1)〃?)'M一)1

-3--2m_-9m_

m♦—r—r+3•—_--3xf—--3y\

=〃:+4〃广+4_〃厂+4.o

"^3=3^

m—-------y.----------y.

〃尸+4力nr^4

JC+2

由----=3可得x=4,即为,=4,

A—2

故点P在定直线x=4上.

【命题意图】本小就设置数学课程学习情境，设计直线与椭圆间就，主要考查椭圆的方程，椭圆中的三角

形，直线过定点等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；考查

数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.

21.【解析】(1)依就意，/'(x)=lnx-21vx—1,

设过点(1,0)的直.线与曲线y=/(x)相切时的切点为伉斜率4=1叫一2的一1，则

N-(与1叫一盘—2%)=(也.%—2a%—。(犬一."),点(1,0)的坐标代入可得，

则一壬1你+鬲+2%=(1叫)-2aq-1)(1-』)，

即有—2cix0—x0+—1=0,

解法1：若过点(1,0)可作曲线y=/(x)两条切线，只需方程娓-2G0--%+m%-l=0方程有两个不

相等的实数根即可.

令g(X)=or?-2以一x+Inx-1,只需函数g(x)有2个零点即可.则

,,、12ax2-(2a+l)x+I(2«A

g'(x)=2“x-2“一I+上=------------——=-------——.

XXX

①若”>L则0<x<」-时,g'(x)>0;-5-<x<l时,g'(x)<0;x>l时，g'(x)>0,

22a2a

此时x=」-时，g(x)取极大值；x=l时，g(x)取极小值，

2a

又pf—=6/-f——2(1*—-----—+ln———1=-1112〃——!——2<0,

{2ciJ\2a)2a2a2a4a

X—+8时，g(x)->+8,

函数g(x)只有1个零点，不合题意.

②若0<6/<g,同理可知，此时X=1时，g(x)取极大值；X时，g(x)取极小值,

又g(l)=-4-2<0,Xf+8时，g(x)—>+00,

函数g(x)只有1个零点，不合题意.

③若，掇虬2依一10,则0<x<l时，g'(x)>0;x>l时，g'(x)<0,

所以x=l时，g(x)取极大值g⑴=一"一2,

又x-0时，-y,x->+co时，g(x)->-oo,

函数g(x)有2个零点，则必有g(l)=-c/-2>0,得“<一2,

故过点(1,0)可作曲线了=〃x)两条切线时，”的取值范围是(一。,一2).

解法2:显然，xw2.

A-+1-In%

若过点(1,0)可作曲线)：=/(x)两条切线,只需方程:°方程有两个不相等的实数根即可.令

X。一2小

x+1-lnx

g(x)=

A-2-2x

则JxHx+iu)(2I)(i)⑵―)

”(T^j5(7^7

2

令“(x)=2lnx-x_4,则l(x)=__l,

可知0<x<2时，〃'(x)>0,〃(x)单调递憎:x〉2时，〃'(x)<0,〃(x)单调递减,

所以"(x),,z/(2)<ln2-6<0.

故当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增：l<x<2时,g'(x)<0,g(x)单调递减:x〉2时,

g'(x)<0,g(x)单调递减.

又x>2时，rhliix<x+l,则g(x)>0；

由上可知x=l时，g(x)取得极大值,也即为xe(o,2)时，g(x)取得最大值g(l)=-2,

又x.0时，-8；1->2-时，--8,

函数g(x)的大致图象如图所示.

X。+1_liu

所以〃二0方程有两个不相等的实数根时,

引―2%

故过点(1,0)可作曲线y=/(x)两条切线时,

。的取值范围是(田,-2).

(2)①由(1)知，f'(x)=lnx—2”1一1,

因为/(x)有两个极值点x,,X,,/'(x)=0即2a=小二！有两个实数根x”x,,

X

./\hu-1X2-lux

令-vl=-------,m(X)=—，

Xx~

可知0<大</时，加(x)>o,"?(x)单调递增,此时〃?(工)<4；当彳“2时，加(x)<0,〃7(x)单调递

e

减，此时。〈/〃(工卜］，

e-

所以/'(x)=0即2a=处?有两个实数根时，0<2a<5.

则/(x)有两个极点时，ae(()，5),

Inv.-2av,-1=0,瓜！=2a%+1,得2a=皿-1哎

②由即

lnx2-2ax2-1=0,lnx2=2ax2+1,为一马

要证明X国>l6e3,只需证明1叫+21nx2>41n2+3.