2024年高考数学专项复习：圆锥曲线九大题型归纳（解析版）

2024年高考数学专项复习圆锥

曲线九大题型归纳（解析版）

圆锥曲线九大题型归纳

题型一:弦的垂直平分线问题

题型二:动弦过定点的问题

题型三:过已知曲线上定点的弦的问题

题型四：向量问题

题型五:面积问题

题型六:弦或弦长为定值、最值问题

题型七:直线问题

题型八:对称问题

题型九:存在性问题：（存在点，存在直线沙=做+馆,存在实数，存在图形:三角形（等比、等腰、直

角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：弦的垂直平分线问题＜

题1过点T（T,0）作直线，与曲线N:靖=c交于A、B两点，在立轴上是否存在一点E（g,0）,使得AABE

是等边三角形，若存在，求出3；若不存在,请说明理由。

【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦他的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦4B的中

点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关

问题，比如:求L在工轴y轴上的褶距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较障蔽，要分析后

才能判定是有关弦AB的中点问题，比如:弦与某定点。构成以。为顶点的等腰三角形(即。在AB的垂直平

分线上)、曲线上存在两点的关于直线m对称等等。

血］2例题分析1：已知抛物线y=—/+3上存在关于直线x+y=O对称的相异两点A、则|AB|等于

题型二:动弦过定点的问题

题1已知椭圆。：£+%=l(a>6>0)的离心率为空，且在力轴上的顶点分别为4(—2,0),4(2,0)。

(1)求椭圆的方程；

(〃)若直线l-.x=力。>2)与工轴交于点T,点P为直线I上异于点T的任一点,直线P4PA2分别与椭圆

交于河、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

题型三:过已知曲线上定点的弦的问题i

血］1已知点A、B、C是椭圆E：考■+%=1（a>b>0）上的三点,其中点4（2遍,0）是椭圆的右顶点，直线

ab

BC过椭圆的中心O,且彩•或=0,|或|=2|而I，如图。（/）求点。的坐标及椭圆E的方程；（〃）若椭

圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线①=代对称,求直线PQ的斜率。

题型四：共线向量问题

题］如图所示，已知圆。：（，+l）2+y2=8,定点41,0）,“为圆上一动点，点P在A河上，点N在CM上，且满

足a=2#，而*5•用访=0,点N的轨迹为曲线EJ）求曲线E的方程；〃）若过定点F（0,2）的直线交曲

线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足前=4融，求4的取值范围.

吼2已知椭圆。的中心在坐标原点，焦点在立轴上,它的一个顶点恰好是抛物线《=十犷的焦点，离心率为

¥.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线Z交椭圆。于A、B两点，交g轴于河点,

5

若MA=XxAF，MB=A2BF，求证：九十4=―10.

血］3已知△OFQ的面积S=2萌,且标•闲="。设以。为中心，F为焦点的双曲线经过Q,\OF\^c,

(乎-I*,当|西|取得最小值时，求此双曲线方程。

m=

1类型1一一求待定字母的值

网］1设双曲线。：考■-y2=l(a>0)与直线乙：x+y=l相交于两个不同的点4B,直线刀与沙轴交于点P,

a

且=求a的值

2类型2一—求动点的轨迹

网11如图2，动直线3=%必+1与沙轴交于点A,与抛物d=c—3交于不同的两点B和C,且满足BP=

APC,AB=/L4C,其中4CR.。求APOA的重心Q的轨迹。

思路:将向量表达式转化为坐标表达式,消去参数入获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的

取值范围，从而确定轨迹的形状。

3类型3一—证明定值问题

网］1已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在，轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于两点，

瓦？+屈与4=(3,-1)共线。设/■为椭圆上任意一点，且丽=4或+〃加，其中儿〃e兄证明：矛

+〃2为定值。

思路:设A、B、加"三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定

理、点在椭圆上满足方程等证明定值。

4类型4一一探索点、线的存在性

期]1在△ABC中，已知B(—2,0),C(2,0),AD，于D,△ABC的垂心H分有向线段AD所成的比

为设P(—l,0),Q(l,0),那么是否存在点H,使上,士,士成等差数列，为什么？

3\HP\\PQ\\HQ\

思路:先将AC，EH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程;再将向量的长度关系转化为代数(坐

标)关系,通过解代数方程组获解。

5类型5一—求相关量的取值范围

血]1给定抛物线C：婿=4c,F是。的焦点，过点F的直线Z与。相交于43两点，且丽=疝可4C[4,9],

求/在V轴上截距的变化范围。

思路:设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出/在v轴上的截距，利用函数的

单调性求其变化范围。

?■兴

题型五：面积问题

刷1已知椭圆。：与+£=13>b>o)的离心率为差,短轴一个端点到右焦点的距离为B

ab3

(I)求椭圆。的方程；

(II)设直线Z与椭圆。交于4、B两点，坐标原点。到直线I的距离为空，求△AOB面积的最大值。

02已知椭圆+£=l(a>b>0)的离心率为手,短轴一个端点到右焦点的距离为V3.(I)求椭圆

a2b23

C的方程;(II)设直线，与椭圆。交于A、B两点,坐标原点。到直线I的距离为卓,求"OB面积的最

大值.

回色已知椭圆（+q=1的左、右焦点分别为用&过后的直线交椭圆于两点，过河的直线交椭圆

O/

于4。两点，且ACLBD,垂足为P.（1）设。点的坐标为（如加,证明：?+必〈1；

（II）求四边形ABCD的面积的最小值.

题型六：弦或弦长为定值、最值问题

血］1已知△OFQ的面积为2瓜OF-FQ^m

（1）设血<小<4碗,求AOFQ正切值的取值范围；

（2）设以。为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|而|=c,m=（乎一I,?当|可|取得最小值

时,求此双曲线的方程。

血12已知椭圆号+手=1两焦点分别为月、鸟，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足丽•丽=1,过P作

倾斜角互补的两条直线P4、P8分别交椭圆于A、B两点.（I）求P点坐标；（II）求证直线的斜率为

定值；（III）求APAB面积的最大值.

网］3己知椭圆号+娟=1的左焦点为F,。为坐标原点。（1）求过点O、F,并且与椭圆的左准线，相切的圆

的方程；（〃）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与立轴交于

点G,求点G横坐标的取值范围。

的4已知点AB的坐标分别是(0,—1),(0,1),直线相交于点”,且它们的斜率之积为—(1)求

点河轨迹。的方程；(2)若过点。(2,0)的直线，与(1)中的轨迹。交于不同的两点E、F(E在。、F之

间),试求kODE与AODF面积之比的取值范围(O为坐标原点).

22

015已知椭圆G：与+弓=l(a>b>0)的右顶点为A(l,0),过G的焦点且垂直长轴的弦长为1.

ab

(1)求椭圆G的方程；

2

(〃)设点P在抛物线C2：y=x+h(hC1?)上，G在点p处的切线与G交于点M,N.当线段4P的中

点与上W的中点的横坐标相等时，求拉的最小值.

题型七:直线问题

--22

网］1设椭圆。:今+%7/=l(a>b>0)过点M(四,1),且着焦点为^(-72,0)

ab~

(I)求椭圆。的方程；

(II)当过点P(4,l)的动直线Z与椭圆。相交与两不同点4B时,在线段AB上取点Q,满足|布卜|QB|=

司•医同，证明：点Q总在某定直线上

吼2已知曲线r上任意一点P到两个定点月(—四,0)和凡(g,0)的距离之和为4.(1)求曲线「的方程；

(2)设过(0,-2)的直线Z与曲线r交于。两点，且瓦•阮=0(0为坐标原点)，求直线I的方程.

网］3设月、月分别是椭圆,+/=1的左、右焦点。

(I)若P是该椭圆上的一个动点，求朋•明的最大值和最小值；

(II)设过定点同(0,2)的直线，与椭圆交于不同的两点A、B,且/AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直

线Z的斜率％的取值范围。

题型八:轨迹问题:

轨迹法直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的

技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法；

丽］1已知直角坐标系中，点Q(2,0),圆。的方程为为+夕2=1,动点'到圆。的切线长与1M的比等于常数,

4(4>0),求动点Af的轨迹。

2/

◎◎如图，圆。1与圆。2的半径都是1，。1。2=4.过动点P分别作圆。2、圆。2的切线，PN（M,N分

别为切点）,使得PM=2PN.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.

二、定义法:运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,

或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。

刷2已知动圆过定点（着,0）,且与直线2=-々相切，其中p>Q.

求动圆圆心。的轨迹的方程；

y,

©©已知圆。的方程为"+才=100,点A的坐标为（—6,0）,“为圆。上任一点，4W•的垂直平分线交

。同于点P,求点P的方程。

◎©已知4B、。是直线Z上的三点，且|=|BC|=6,。O切直线,于点4又过8、C作。O,异于I

的两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.

三、相关点法:动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点F（rc,y）却随另一动点Q（〃，娟）的

运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x',y'表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹

方程，然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。

几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得

出动点的轨迹方程。

网］3如图，从双曲线"―力=1上一点Q引直线。+9=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方

程。

22

血］4◎◎己知椭圆为+旨=l(a>b>0)的左、右焦点分别是用(一c,0)、£(c,0),Q是椭圆外的动点,满足

ab

|而|=2a.点P是线段RQ与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足丙•理=0,|元|20.

求点T的轨迹。的方程；

J

四、参数法，求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数）,

使之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

五、交轨法:求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法,也可以

引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

网］7抛物线y2=4PMp>0）的顶点作互相垂直的两弦。4、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M

的轨迹。

题型九:对称问题1

何1若椭圆勺+可=1上存在两点4石关于心夕=4/+m对称，求的取值范围

/O

血］2已知实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线S的焦点在c轴上,直线y=-是双曲线S的一条渐近线,

而且原点。，点A(a,0)和点6(0,—b)使等式即+|翦2=小那说『成立.

(I)求双曲线S的方程；

(〃)若双曲线S上存在两个点关于直线l-.y=m+4对称,求实数k的取值范围.

题型十:存在性问题

(存在点，存在直线V=far+m,存在实数，存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),

刷1设椭圆/£+乂=1(见6>0)过河(2,2)，N(碗,1)两点，。为坐标原点，

ab

(1)求椭圆E的方程；

(〃)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点且小X，/？若

存在，写出该圆的方程，并求|的取值范围，若不存在说明理由。

网］2在平面直角坐标系xOy中，经过点（0,V2）且斜率为％的直线，与椭圆号+/=1有两个不同的交点P

和Q.（1）求k的取值范围；（〃）设椭圆与。轴正半轴、"轴正半轴的交点分别为A,是否存在常数3

使得向量加+的与荏共线？如果存在，求k值;如果不存在,请说明理由.

幽以设E、E分别是椭圆曰+?=1的左、右焦点.（I）若。是该椭圆上的一个动点，求丽•两的最大值

和最小值；（II）是否存在过点力（5,0）的直线，与椭圆交于不同的两点使得㈤。|=|月D|?若存

在,求直线，的方程;若不存在,请说明理由.

22

题14椭圆G：%+%=l(a>6>0)的两个焦点为用、月，短轴两端点马、星，已知后、£、马、昆四点共圆，

且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为56.(1)求此时椭圆G的方程；(2)设斜率为封％/0)的直线山与

椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P(0,苧)、Q的直线对称？

若能,求出％的取值范围;若不能，请说明理由.

题5已知椭圆。：三+卷=l(a>6>0)的离心率为手,过右焦点F的直线I与。相交于A、B两点，当Z

的斜率为1时,坐标原点。到，的距离为坐

⑺求a,6的值；

(〃)。上是否存在点P,使得当Z绕F转到某一位置时，有诙=+9成立？若存在，求出所有的P的

坐标与，的方程;若不存在，说明理由。

22

口6已知直线c—29+2=0经过椭圆C：3+上=l(a>b>0)的左顶点A和上顶点。，椭圆C的右顶点

ab

为B,点S是椭圆。上位于多轴上方的动点，直线AS,BS与直线Z:c=孚分别交于河,N两点。

(1)求椭圆。的方程；

(II)求线段的长度的最小值；

(III)当线段7WN的长度最小时，在椭圆。上是否存在这样的点T,使得aTSB的面积为言？若存在,

确定点T的个数，若不存在，说明理由

血］7已知双曲线/—丁=2的左、右焦点分别为耳，后,过点月的动直线与双曲线相交于两点.

(1)若动点“满足F\M=F{A+F\B+而(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程；

(〃)在立轴上是否存在定点。，使司.历为常数？若存在，求出点。的坐标;若不存在，请说明理由.

血］8在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2区的圆。与直线y=x相切于坐标原点O.

椭圆三+4=1与圆。的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

a9

(1)求圆。的方程；

(2)试探究圆。上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,

请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

22

血19设椭圆石:与+4=l(Q,b>0)过河(2,2)，双(前，1)两点，。为坐标原点，

ab

(1)求椭圆E的方程；

(〃)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且。N，OB2若

存在，写出该圆的方程，并求MB|的取值范围,若不存在说明理由。

园J锥曲线九大题型归纳

题型一:弦的垂直平分线问题

题型二:动弦过定点的问题

题型三:过已知曲线上定点的弦的问题

题型四：向量问题

题型五:面积问题

题型六:弦或弦长为定值、最值问题

题型七:直线问题

题型八:对称问题

题型九:存在性问题：（存在点，存在直线沙=做+馆,存在实数，存在图形:三角形（等比、等腰、直

角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：弦的垂直平分线问题

面］1过点T（T,0）作直线Z与曲线N:靖=。交于A、B两点，在立轴上是否存在一点E（g,0），使得AABE

是等边三角形，若存在，求出茄；若不存在,请说明理由。

解:依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线z：y=%3+i）,4伤,%），B（呵,而。

2

由｛y-k（x+1）消整理，得k2x2+（2R2TM+fc=0①

Vy=x

由直线和抛物线交于两点，得△=（2fc2-l）2-4A:4=-4fc2+l>0

1

即0Vfc29<-J②

2肥一12k2-l1

由韦达定理，得：x+x-77一，◎力2：lo则线段AB的中点为

T22肥,2k

线段的垂直平分线方程为：

1一.,则E\1

广/=一1/一与三）令“=°，得为

2k22k2-T°

AABE为正三角形，E（—'到直线AB的距离d为啕明。

\2k2/

\AB\=J（%—统）2="二耿-VT+Pd=

抵勺；4昭.1+%2=J：*解得卜=土嚼满足②式此时g=。

2k2\K\loJ

【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦43的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中

点坐标M,结合弦与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关

问题，比如:求L在工轴y轴上的褶距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较障蔽，要分析后

才能判定是有关弦的的中点问题，比如:弦与某定点。构成以。为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平

分线上)、曲线上存在两点他关于直线m对称等等。

血]2例题分析1：已知抛物线y=—/+3上存在关于直线，+v=0对称的相异两点A、B,则因国等于

L......................./

2

解：设直线AB的方程为g=/+b,由'彳。nx+x+b—3=0nx1+x2=—l,进而可求出AB

[y=x+b

的中点M(—p―+b),又由―p—去+b)在直线/+g=0上可求出b=l,x2+x-2=0,

由弦长公式可求出\AB\=V1+l2Vl2-4x(-2)=3V2.

题型二:动弦过定点的问题，

011已知椭圆。：A+蒋=l(a>6>0)的离心率为手，且在立轴上的顶点分别为4(—2,0),4(2,0)。

(1)求椭圆的方程；

(〃)若直线l-.x=>2)与c轴交于点T,点P为直线，上异于点T的任一点，直线分别与椭圆

PAX,PA2

交于河、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：(/)由已知椭圆。的离心率e=£=~^~、a=2,则得c==1。从而椭圆的方程为亍+才

=1

(〃)设“(劣1,%)，N(力2,92),直线4河的斜率为ki,则直线4河的方程为g=ki3+2),由

2

消y整理得(1+4kl)x+16k2x+16fe?-4=0•••—2和g是方程的两个根，23=

哂一42-8/c?2-湍4fcx\

贝Ix=yi=------7)即点河的坐标为1+4就'1+4k"

1+4就1i+4kV1+4就

8A；2—2—4k2]

同理,设直线4N的斜率为％2,则得点N的坐标为1+4feo1+4照)

多，•.•直线MN的方程为：2二比=3&

---Vp=+2）,%=k2（t-2）3—

卜1+AZ2X—XiX2-Xi

令夕=0,得力=-%一的纺，将点河、N的坐标代入，化简后得：7=±

仇一仇t

又1>2,0V?<2•.•椭圆的焦点为（心,0）：.^=V3,^t=4V3

"T"

故当力=手时，MN过椭圆的焦点。

O

题型三:过已知曲线上定点的弦的问题］

网］1已知点4B、。是椭圆E：目+%=1（a>6>0）上的三点,其中点A（2V3,0）是椭圆的右顶点，直线

ab

BC过椭圆的中心。,且前•炭=0,叵方|=2|/I，如图。（/）求点C的坐标及椭圆E的方程；（〃）若椭

圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线①=代对称,求直线PQ的斜率。

解：（/）•.•叵方|=2|而且BC过椭圆的中心O

/.\oc\=\AC\•：AC-BC=0:.Z.ACO=彳■又；^4（273,0）.♦.点C的坐标为（/3,阅。

232

A（2A/3,0）是椭圆的右顶点，a=2V3,则椭圆方程为：-\—-=1

12o

22

将点。（逐风代入方程，得/=4,.•.椭圆E的方程为m+（=1

（〃）•.•直线PC与直线QC关于直线田="对称，

设直线PC的斜率为R,则直线QC的斜率为一上从而直线PC的方程为:

y=kx+V3（l-k）卷理得.

y—V3=k{x—V3），即g=krc+V3（l—k）,由"+3户12=0消9，整理年

（1+3fc2）cc2+6A/3fc（l—k）x+9k2—18k—3=0\*x=V3是方程的一个根,

9k218k39fc2—18k—3ce-r,巨9fc2+18fc—3

.-..V3=-7x-布（1+访同理可行-=茴（1+词

Xpl+3fc2P

yp-yQ=kxP+V3（l-k）+kxQ-V3（l+k）=k（xP+x（^-2^3k=小肃;肥）

2

9fe-18A:-39肥+1弘一3-36fc.，DQ=1

XpXq~V3（l+3肥）V3（l+3fe2）—73（1+3k2）PQ

■-xP-xQ1

则直线PQ的斜率为定值［■。

0

题型四：共线向量问题/

四］如图所示，已知圆C:(x+1产+才=8,定点4(1,0),"■为圆上一动点,点P在4W上，点N在CM■上，且满

足瓦法=2不，而5••=(),点N的轨迹为曲线EJ)求曲线E的方程；〃)若过定点F(O,2)的直线交曲

线E于不同的两点G、H(点G在点之间)，且满足寿=4用，求4的取值范围.

解：⑴资=2毋,其7防=O；.NP为的垂直平分线，=

又v|C7V|+\NM\=2V2,.-.\CN\+\AN\=2V2>2.：.动点N的轨迹是以点

C(-l,0),A(1,0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为2a=2V2,

焦距2c=2./.a=V2,c=l,b2=l..,.曲线E的方程为1-+y2=1.

(2)当直线G8斜率存在时,设直线GH方程为y=far+2,代入椭圆方程与+y2=1,

得(5+肥)/+4如+3=0.由A>0得配>多设GQI,%),8(g,%),

—4k—8k/1、3

则Xi+X2=E⑴，-2—J(2)又•.•吊=4两,

-^+fc22+k21+2/c2

；.(◎,%—2)=A(x2,y2-2)A/尸电,=U，，鲁n'+；+2=3/葭)=

Vk2>4<———〈学..•.4<义+=+2<孚.解得5<4<3.又•••0<义<1,

23傍+2)3A33

~V4V1.

O

又当直线GH■斜率不存在，方程为t=0,前=[■而"=VI,即所求4的取值范围是

OOO

丽2已知椭圆。的中心在坐标原点,焦点在c轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=/的焦点，离心率为

¥.(1)求椭圆。的标准方程；(2)过椭圆。的右焦点作直线,交椭圆。于人、3两点，交沙轴于初点，

5

若MA—A-iAF,MB=A2BF,求证：4+%=—10.

、............................................................，，，，.......................................................................................................................................*

2沙2

解：设椭圆。的方程为q+{=1(a>b>0)抛物线方程化为a?=4g,其焦点为(0,1),

ab

则椭圆。的一个顶点为(0,1),即6=1由6=个=、/^^我=2£,.•.a2=5,椭圆。的方程为y

+/=1(2)证明：右焦点F(2,0),设A(g,yi),B32，%),河(0,%)，显然直线I的斜率存在，设直线I的方

程为g=k(c—2),代入方程J+g2=i并整理，得(i+5/)/—20兴化+20k?—5=0，g+力2=

5

一叱2，/逆2=，"二?又赤=(B，%一%),MB=(g,%一夕0),AF=(2-X1,-7/1),BF=(2-a?2,

1+5fc1+5fc

—y»,

而MA=A^AF,MB=A2BF,(TJ-0,yr-yo)=zli(2-xlt-yj,(x2-0,y2-yo)=/l2(2-rr2,-y2)

.ng甑9.._的g_2(刈+22)—2gg_I。

一三'所以—;K+-4—23+电)+力限—T°

血]3已知△CFQ的面积S=2函,且云•至=m。设以。为中心，F为焦点的双曲线经过Q,\OF\^c,

机=(乎-I%?,当|函|取得最小值时，求此双曲线方程。

1...............................................................................................…*

24

解：设双曲线方程为今~——=1,。(力o,y°)。

ab

FQ=(x0-c,yo),S^0FQ=-^\OF\\y0\=2V6,：.y0=±^^-o

OF'FQ=(c,0)(g-c,加=c(g—c)=(乎—l)c2nx0=平c。

\OQ\=J就+。=J+92-2V3,

当且仅当哆=粤，即c=4时诙|最小，此时Q(西,祈)或(西

OC

WA-=1(CL2—4T?11~

所以V”F=>,2.故所求的双曲线方程为手一%=1。

[a2+b2=16S=12412

1类型1一一求待定字母的值

网］1设双曲线C：4-y-l(a>o)与直线乙”+沙=1相交于两个不同的点A、B,直线乙与U轴交于点P,

a

且PA=2PB,求a的值

思路:设力、8两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的

值。

解：设4%，以)，毛㈤断)，P(O,I)

PA=卷PB,...(©,%—1)=卷(陶纺-1),•••立尸行如

x+y=l

联立2_1,消去。并整理得，(1-a2)*T2+2a2x-2a2=0(*)

I7一"=1

,Jl-aMO,

vB是不同的两点，.二't4a4+8a2(l-a2)>0,

2

2a2

，0VQ〈血且QW1.于是劣1+/2=----------7且力1力2=一•

1-a一/，

即器灰=一产=，且得舄=一产:，消去电得，—产三289

121—a121—a1—a60，

a=±磊,丁0VaV四且aW1,・\Q=圣。

J.OXo

2类型2一—求动点的轨迹

用］1如图2，动直线9=fcr+l与g轴交于点A,与抛物力=±—3交于不同的两点B和C,且满足BP=

APC,AB=/L4C,其中4CR.。求APOA的重心Q的轨迹。

思路：将向量表达式转化为坐标表达式,消去参数A获得重心Q的轨迹方程,再运用判别式确定实数k的

取值范围，从而确定轨迹的形状。

J_________________________________________________________________________/

解：由（"2=kXY得，必/+（2k—1）立+4=0.

（y=x-3

设式），幼），。（72,夕）2,（图2）

*12fc

则xr+x2=~,益g=

kk

由BP=APC=>（x-x^y-yj=A（x2-x,y2-y'）

=>x—

由AB=AAC=>3i,%-1)=A(x2,y2-1)n判=Ax2,

zn.—=电一♦.2叩2=8

,X1x2X1+x2l-2k'

=>y'=kx+1=+1=消去卜得，x'-2-6=0(*)

1-Zrv1-ZK

'x=^-rr=o

设重心QQ，U),则3今忆：；i,代入(*)式得，3t—6y—4=0。

y=乜—iy—sy上

因为—且kW0=>4Vx<12且rc'W8=>二</<4且力¥与

2633

故点Q的轨迹方程是3/一6g—4=0(-^-VnV4且/W,),其轨迹是直线3x—6y—4=0上且不包

括点的线段AB。

3类型3--证明定值问题

血］1己知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在立轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、8两点，

瓦5+加与日=(3,-1)共线。设“为椭圆上任意一点，且两=AOA+〃加，其中九〃CR.证明：下

+”为定值。

思路:设A、"三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定

理、点在椭圆上满足方程等证明定值。

L....—............................—.—.」

22

解：设椭圆方程为+与■=1(Q>b>0),尸(c,0).则直线AB的方程为

ab

y=x-c.代入椭圆方程中，化简得，（。2+/）22_2a2cx+a2c2—a?b2=0.

2Q2c_Q2c2—Q2”

设A(伤,%),石(力2辿2),则21+/2=ixlx2

~^~a2+b2

由OA+OB与日=⑶-1）共线，OA+OB=（g+g,%+g2）得,

3（%+统）+（g+g）=0。又％=g—c,j2=a2—c,

/.3（21+g—2c）+（为+力2）—0,/,21+/2=坐"，即2：:=坐,:•怖=3b2.

2a+b2

而02=Q2—猿于是。2=1_//=#。

27

X222

因此椭圆方程为9-\——=1,即x-\-3y—3b.

3bb

设TWQ,y）,由丽？=/1瓦5+得，（力,g）=4（如明）+〃（力2,3），

X=Ax1+/Ltx2且g=义?/1+〃"2・

因M为椭圆上一点，所以（私+〃/2）2+3（/1m+〃仍）2=3b2.

2

即下（4+3裙）+〃2（后+3/）+2A^x1x2+3y1y2）=3&①

I3c2321212（1C-Q%232

又为+力2=F，a=—c,b=--c,xx=-----—=—c.

NNNr2a+bo

2

则x1x2+3y1y2=gg+3（g—c）（x2—c）=4xix2-3（/i+g）c+3c

=yc2--1-c2+3c2=0.而xl+3yl=3b2,xl+3yl=3b2,

代人①得，矛+〃2=i,矛+片为定值。

4类型4一一探索点、线的存在性

血］1在△ABC中，已知B(—2,0),C(2,0),ADLBC于。，△ABC的垂心H分有向线段入。所成的比

为J。设P(—1,0),Q(l,0),那么是否存在点H,使士，士,士成等差数列，为什么？

3\HP\\PQ\\HQ\

思路:先将AC,瓦/转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程;再将向量的长度关系转化为代数(坐

标)关系，通过解代数方程组获解。

1......I............一L♦

解：设H(c,y),由分点坐标公式知

为垂心：.AC±BH,：.卜一2,?)Q+2,y)=0,

整理得，动点H的轨迹方程为亨+与=1(沙¥0)。

\HP\=y/(x+lT+y2