2025年中考数学专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题（解析版）

例题精讲例题精讲考点1反比例函数与全等三角形综合问题【例1】．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在反比例函数y＝的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE，∵点C（﹣1，0），∴CO＝1，∴CO＝EO＝1，∴∠CEO＝45°，CE＝，∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC＝AC，∠OCA+∠DCB＝90°，∠CAB＝45°，∵∠OCA+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△OAC和△DCB中，∴△OAC≌△DCB（AAS），∴AO＝CD，OC＝BD＝1，∵y轴平分∠BAC，∴∠CAO＝22.5°，∵∠CEO＝∠CEA+∠OAC＝45°，∴∠ECA＝∠OAC＝22.5°，∴CE＝AE＝，∴AO＝1+＝CD，∴DO＝，∴点B坐标为（，﹣1），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣1×＝﹣，变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠BAC＝30°，点A的坐标为（﹣3，0），将△ABC沿直线AC翻折，点B的对应点D恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为（）A． B．﹣2 C．4 D．﹣4解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E．由对称可知CD＝BC，易证△DCE≌△BCO（AAS），∴CE＝CO，DE＝OB，∵∠BAC＝30°，OA＝3∴OC＝OA＝，∠OCB＝30°，∴OB＝OC＝1，∴DE＝OB＝1，CE＝OC＝，OE＝2，|k|＝DE•OE＝1×2＝2，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣2，故选：B．【变1-2】．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一动点，连接AO并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，则m，n满足_______(填等量关系）解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y＝的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO＝BO．又∵AC⊥BC，AC＝BC，∴CO⊥AB，CO＝AB＝OA，∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，AE＝CF，∵点C（m，n），∴CF＝﹣m，cF＝n，∴OE＝﹣m，AE＝n，∴A（﹣m，n），∵点A是反比例函数y＝图象上，∴﹣mn＝4，即mn＝﹣4，考点2反比例函数与相似三角形综合问题【例2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（）A． B． C． D．12解：过点M作MH⊥OB于H．∵AD∥OB，∴△ADM∽△BOM，∴＝（）2＝，∵S△ADM＝4，∴S△BOM＝9，∵DB⊥OB，MH⊥OB，∴MH∥DB，∴＝＝＝，∴OH＝OB，∴S△MOH＝×S△OBM＝，∵＝，∴k＝，故选：B．变式训练【变2-1】．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，＝，则k的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣3解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．则∠BDO＝∠ACO＝90°，则∠BOD+∠OBD＝90°，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴＝（）2＝（）2＝，又∵S△AOC＝×4＝2，∴S△OBD＝，∴k＝﹣．故选：B．【变2-2】．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC＝8，则k等于（）A．8 B．16 C．24 D．28解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．又∵S△BEC＝8，即BC×OE＝2×8＝16＝BO×AB＝|k|．又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．所以k等于16．故选：B．【变2-3】．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（）A．18 B．20 C．22 D．21解：如图，过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，∵OA＝AB，AF⊥OB，∴OF＝FB＝OB，∵BC⊥OB，∴AF∥BC，∴△ADE∽△BDC，，∴BC＝2EF，设OF＝a，则OB＝2a，∴A（a，），C（2a，），∴AF＝，BC＝，∴AF＝2BC＝4EF，AE＝AF﹣EF＝3EF，∵△ADE∽△BDC，∴，∴＝（）2＝，∵△BCD的面积为2，∴S△ADE＝，∴＝，∵＝，∴EC＝OE，∴＝，∴＝，∴S△AOE＝，∵＝＝，∴＝＝，∴S△AOF＝S△AOE＝×＝10，∴|k|＝10，∵k＞0，∴k＝20．故选：B．1．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y＝（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，且△ABC的面积为3，则k等于（）A．4 B．2 C．3 D．1解：连接BC，过点C作CM⊥OB于M，∵OC＝CA，即＝，∴＝＝，又∵△ABC的面积为3，∴S△OBC＝，又∵CM∥AB，∴＝＝，∴＝＝，∴S△OMC＝S△OBC＝＝|k|，∵k＞0，∴k＝1，故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3 B．2 C． D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，∴S△COD＝S△BCD＝，∴S△CEA＝4×＝1，∵OC＝CE，∴S△AOC＝S△CEA＝，∴S△AOE＝+1＝，∵S△AOE＝k（k＞0），∴k＝3，故选：A．3．如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为（）A． B． C． D．解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，∴S△AOC＝×|1|＝，S△BOD＝×|﹣5|＝，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，而∠ACO＝∠BDO，∴△AOC∽△OBD，∴＝（）2＝＝，∴＝，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，故选：B．4．如图，函数y＝﹣（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（）A．12 B．6+ C．6+2 D．6+2解：如图，过点D作DE⊥AO于E，∵点D是BO的中点，∴AD＝BD＝DO＝3，∴BO＝6，∵DE⊥AO，AB⊥AO，∴AB∥DE，∴，∴AB＝2DE，AO＝2EO，∵S△DEO＝DE×EO＝，∴S△ABO＝AB×AO＝2，∵AB2+AO2＝OB2＝36，∴（AB+AO）2＝36+8，∴AB+AO＝2，∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+2，故选：D．5．如图，长方形ABCD的顶点A、B均在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，对角线DB的延长线交x轴于点E，连接AE，已知S△ABE＝1，则k的值是（）A．1 B． C．2 D．4解：延长DC与x轴交于点F，∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC∥OE，∴△ABD∽△OBE，∴＝，即：AD•OB＝AB•OE，又∵S△ABE＝1＝AB•OE，∴AD•OB＝AB•OE＝2＝BC•OB，即：S矩形OBCF＝BC•OB＝2＝|k|，∴k＝2或k＝﹣2（舍去），故选：C．6．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P，若OP＝，则k的值为3．解：设点P（m，m+2），∵OP＝，∴＝，解得m1＝1，m2＝﹣3（不合题意舍去），∴点P（1，3），∴3＝，解得k＝3．故答案为：3．7．已知一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为y＝．解：∵一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，4），过C作CD⊥x轴于D，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴＝＝，∴CD＝6，AD＝3，∴OD＝1，∴C（1，6），设反比例函数的解析式为y＝，∴k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为2．解：设A（t，），∵点A与点B关于直线y＝x对称，∴B（，t），∵AB＝4，∴（t﹣）2+（﹣t）2＝42，即t﹣＝2或t﹣＝﹣2，解方程t﹣＝﹣2，得t＝﹣﹣2（由于点A在第一象限，所以舍去）或t＝﹣+2，经检验，t＝﹣+2，符合题意，∴A（﹣+2，+2），B（+2，﹣+2），∵C为AB的中点，∴C（2，2），∴OC＝＝2．故答案为2．9．如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为9．解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO∴△ADE∽△CDO，∴，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE∽△DCO，∴设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案为：．11．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k＝12．解：如图，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，则S△OBC＝S矩形OADF＝2S△OEG＝k，又∵EG∥BC，∴△OEG∽△OBC，∴＝（）2＝2，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴k＝12．故答案为12．12．如图，在平面直角坐标系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值为1．解：作BH⊥x轴，垂足为H，AM⊥y轴，垂足为M，∵∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，∴△BHO∽△AMO，∴，令OM＝a，则BH＝，代入反比例函数y2＝﹣得：x＝，∴OH＝，得：AM＝，∴，又∵AM•OM＝m，∴m＝1．故答案为1．13．如图，线段OA与函数y＝（x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y＝（x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为．解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．∴BE∥CF∥AM，∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，设点B的坐标为（a，b），∴OE＝a，BE＝b，∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，∴CF＝AM＝b，∴C（a，b），∴OF＝a，∴FM＝OM﹣OF＝a，∴DF＝FM＝a，∴OD＝OM﹣DF﹣FM＝a．∵△BCD的面积为3，∴△ABC的面积＝3×△BCD的面积＝9，∴△ABD的面积＝12．∴△BOD的面积＝×△ABD的面积＝6．∴•OD•BE＝a×b＝6．解得k＝ab＝．故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连接BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为2．解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的横坐标为＝＝2，故答案为：2．15．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝．解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝6，∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．16．如图，A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．过点B作BC⊥OB，交反比例函数（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，∴k＝2×6＝12．∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴，故答案为．17．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为．解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，∴∠AOM＝∠ODN，∵∠AMO＝∠OND＝90°，∴△AOM∽△ODN，∴＝（）2，∵A点在双曲线y＝，＝，∴S△AOM＝×4＝2，＝，∴＝（）2，∴S△ODN＝，∵D点在双曲线y＝（k＜0）上，∴|k|＝，∴k＝﹣9，∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，∴S△OEF＝+＝，故答案为．18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝8．解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，∴OD2＝CD•DA，设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，解得：mn＝8＝k，故答案为8．19．如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，已知S△BCE＝2，则k的值是4．解：（解法一）过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．又∵BC⊥AC，∴DA⊥AC．∵CD平行于x轴，∴∠ACD＝∠CEO．∵CO⊥OE，DA⊥AC，∴∠ECO＝∠D．设点D的坐标为（m，）（m＞0），则CD＝m，OC＝DF＝．在Rt△CAD中，CD＝m，∠CAD＝90°，AD＝m•cos∠D．在Rt△COE中，OC＝，∠COE＝90°，CE＝＝．S△BCE＝CE•BC＝•m•cos∠D＝k＝2，解得：k＝4；（解法二）设点D的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），则CD＝m，OC＝n，∵CD∥x轴，∴∠ACD＝∠OEC．∵四边形ABCD为平行四边形，BC⊥AC，∴DA⊥AC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠COE＝90°，∴△COE∽△DAC，∴＝，即＝，∴mn＝BC•CE．∵S△BCE＝BC•CE＝2，∴mn＝2S△BCE＝4．∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝mn＝4．故答案为：4．20．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，A（2，），C（4，），∵AH∥BC，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．21．如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，交于点E，若BO＝CE，则k的值为．解：过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，∵AC＝BD＝，∴点A的横坐标为，点B的横坐标为﹣，∵点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，∴点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣3，∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，∴CD＝AP+BQ＝9，OD＝3，AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴CE＝DE＝CD＝，∵BO＝CE，∴BO＝，在Rt△BOD中，由勾股定理可得BD2+OD2＝OB2，即，解得k＝或k＝﹣（舍去），故答案为：．22．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，BD⊥AC，OB＝OD＝＝2，∠ABC＝2∠OBC，∴点D（0，2），设点C（m，0），∵点N为CD的中点，∴点，∵反比例函数的图像经过点N，∴，解得：，即点，∴，∴，，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴，∵AE⊥BC，∴，∴．故答案为：．23．如图，平面坐标系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且双曲线y＝也过E、F两点，记S△CEF＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代数式表示．解：过点F作FG⊥y轴于点G，如图所示：∵CM⊥y轴，FG⊥y轴，∴CM∥FG，MC＝FG，∴△BME∽△BGF，∴＝＝＝，设点C的坐标为（a，b），则E（，b），F（a，），∴S1＝×（a﹣）•（b﹣）＝ab；S2＝a•b﹣•﹣•﹣ab＝ab．∴＝．24．如图，在平面直角坐标系中，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，PA、QB分别垂直x轴于点A、B，PC、QD分别垂直y轴于点C、D．设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n，△PCD的面积为S1，△QAB的面积为S2．（1）当m＝2，n＝3时，求S1、S2的值；（2）当△PCD与△QAB全等时，若m＝3，直接写出n的值．解：（1）∵当m＝2时，y＝＝6，∴P（2，6）．∵PA⊥x轴，PC⊥y轴，∴PC＝OA＝2，PA＝OC＝6．∵当m＝3时，x＝＝4，∴Q（4，3）．∵QB⊥x轴，QD⊥y轴，∴DQ＝OB＝4，QB＝OA＝3，∴CD＝OC﹣OD＝3，AB＝OB﹣OA＝2，∴S1＝CD•CP＝×3×2＝3，S2＝AB•QB＝×2×3＝3．（2）∵m＝3，∴P（3，4），∴PC＝OA＝3，当△PCD≌△QBA时，∵QB＝PC＝3，∴n＝3；当△PCD≌△ABQ时，∵PC＝OA＝3，∴AB＝PC＝3，∴OB＝OA+AB＝3+3＝6．∵点Q在反比例函数y＝的图象上，∴y＝＝2，∴n＝2．综上所述，n＝2或3．25．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），∵S△AOP：S△BOP＝1：4，∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．26．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）连接OE，如图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k＝2×2＝4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，＝，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠BAC，∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即＝，∴B′F＝，∴OB′＝B′F+OF＝B′F+AE＝+＝，∴CB′＝OC﹣OB′＝5﹣，在Rt△B′CD中，CB′＝5﹣，CD＝x，B′D＝BD＝3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，解这