2025年中考数学专题48 梯子最值与斜边中点专题（原卷版）

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型.【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值【简证】如图在Rt△AOB中，点Q是中点，∴OQ=AB.在Rt△ABC中，由勾股定理得CQ=.若OC要取得最大值，则O，Q，C三点共线，即OC=OQ+QC，即OC=AB+【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁例题精讲例题精讲【例1】．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为．变式训练【变式1-1】．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为（）A． B．2 C． D．【变式1-2】．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为_______【例2】．如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为．变式训练【变式2-1】．如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ＝4，点Q从点O出发沿OB方向运动过程中，动点C运动形成的路径长是．【变式2-2】．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，DE，DF分别交AB，BC于点E，F，求EF的最小值．1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B． C．2 D．2．如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（）A．2 B． C． D．3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣34．如图，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，△ABC的面积是4，那△ACD的面积是．5．如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为．6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为．7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点M，N分别为边AB，BC上的点，且MN＝2．点D，E分别是BC，MN的中点，点P为斜边AC上任意一点，则PE+PD的最小值为．8．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E为AB中点（1）若CD＝2，求△CDE的周长和面积．（2）若∠CBD＝15°，求△CED的面积．9．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的底端B向外滑出0.8米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少距离？（2）木棍在滑动的过程中，请判断A、O、B、P四点的所有连线中，哪些线段的长度不变，并简述理由．（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．10．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值＝cm．11．如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米？（2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况？若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．

12．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的