2025年中考数学专题31 正、余弦定理与正弦面积公式解析版

模型介绍模型介绍R正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有R余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：a2＝b2+c2﹣2bccos∠Ab2＝a2+c2﹣2accos∠Bc2＝a2+b2﹣2abcos∠C．R正弦面积公式：S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB例题精讲例题精讲【例1】．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为10，点O到AB的距离的最大值为5+5．解：作△OAB的外接圆，如图，∵＝，∴当∠ABO＝90°，△ABO是等腰直角三角形时，点O到顶点A的距离最大．则OA＝AB＝10．点O到AB的距离的最大值为5+5．故答案是：10，5+5．变式训练【变式1-1】．以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为6．解：∵以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC＝，∴∠APB＝∠ACB＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，∵P为弧AC的三等分点，∴∠ABP＝∠ABC＝20°，∴∠PBC＝40°，∴∠PAC＝∠PBC＝40°，∴∠PAB＝∠BAC+∠PAC＝100°，∵，，∴，，∵＝2，∴PA＝2sin20°，PB＝2sin100°，PC＝2sin40°，∴PA2+PB2+PC2＝4[sin220+sin280+sin240]＝4[++]＝4[﹣cos（60°﹣20°）+cos20°﹣cos（60°+20°）]＝6．故答案为：6．【变式1-2】．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5（3+）海里，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°，在△DAB中，由正弦定理得，∴DB＝，＝，＝，＝，＝10（海里），又∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝30°+（90°﹣60°）＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC＝300+1200﹣2×10×20×＝900，∴CD＝30（海里），则需要的时间t＝＝1（小时）．答：救援船到达D点需要1小时．【例2】．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，CD＝2，求AD的长．解：设AD＝x（x＞0）．∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，∴AC＝，AB＝；又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcos45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，解得x＝6，∴AD＝6．变式训练【变式2-1】．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝26，AD＝30，AC，BD交于点O，∠AOB＝60°．求S四边形ABCD＝506．解：设BO＝x，AO＝y，CO＝a，DO＝b，由余弦定理，得．由（③+④）﹣（①+②）得：ax+by+ab+xy＝2024．所以S四边形ABCD＝xysin60°+axsin120°+absin60°+bysin60°＝xy+ax+ab+by＝（ax+by+ab+xy），所以．故答案是：506．【变式2-2】．如图，圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，AC＝，求AB2+BC2+CD2+AD2的值．解：∵，．∵AC平分BD，∴BP＝DP，∴S△ABC＝S△ADC，∴．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴sin∠ADC＝sin∠ABC，cos∠ADC+cos∠ABC＝0，∴AB•BC＝AD•CD，∴，即AB2+BC2+AD2+CD2＝10．1．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解：∵△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，∴由正弦定理可设a＝5k，b＝11k，c＝13k，由余弦定理得：cosC＝＝＝﹣＜0，∴∠C是钝角，∴△ABC是钝角三角形，故选：C．2．如图，点D是△ABC的边BC上一点，如果AB＝AD＝2，AC＝4，且BD：DC＝2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形解：方法1：过A作AE垂直BC于E，令BD＝2xCD＝3x则BC＝5x，∵AB＝AD＝2，∴BE＝x，cosB＝，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB即16＝4+25x2﹣10x2，解得，x＝，∴△ABC用余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcosA即20＝4+16﹣16cosA，∴cosA＝0，∠A＝90°．方法2：过点D作AB平行线交AC于E，因此很容易得到DE：AB＝CE：CA＝CD：CB＝3：5，那么DE＝1.2；AD＝2，AE＝1.6，由勾股定理得△AED构成一个直角三角形，即△ABC是直角三角形故选：B．3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．2 B．+1 C．2 D．解：∵∠B＝45°、AC＝2，∴由余弦定理cosB＝得：＝，∴ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，即（2﹣）ac≤4（当且仅当a＝c时取等号），∴ac≤＝2（2+）＝4+2，∴△ABC的面积S＝acsinB≤（4+2）×＝1+，则△ABC的面积的最大值为1+，故选：B．4．△ABC中，，，BC＝2，设P为BC边上任一点，则（）A．PA2＜PB•PC B．PA2＝PB•PC C．PA2＞PB•PC D．PA2与PB•PC的大小关系并不确定解：如图，设BP＝x，PC＝2﹣x，在△ABC中，由余弦定理，有＝，在△ABP中，由余弦定理，有PA2＝AB2+BP2﹣2AB•BPcosB＝，∴PA2＝x2﹣5x+8，而PB•PC＝x（2﹣x）＝2x﹣x2，令y＝PA2﹣PB•PC＝x2﹣5x+8﹣2x+x2＝，∴PA2＞PB•PC．故选：C．5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（）A．78.5 B．97.5 C．90 D．102解：设AB＝5，BC＝10，CD＝11，AD＝14，∵52+142＝102+112，∴BD2＝AB2+AD2＝BC2+CD2，∴∠A＝∠C＝90°，∴S四边形＝AB•AD+BC•CD＝5×7+5×11＝90．故选：C．6．如图，点1为单位正方形内一点，且AE＝BE＝AB，延长AE交CD于F，作FG⊥AB于点G，则EG的长度为（）A． B． C． D．解：如右图所示，∵AE＝BE＝AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠AEB＝60°，又∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°，∴∠AFG＝30°，∴AF＝＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣1，在△EFG中，EG2＝EF2+FG2﹣2×EF×FG×cos30°＝，∴EG＝．（作EH⊥FG，求出EH，GH，利用勾股定理即可解决问题）故选：D．7．设△ABC的三边为a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，则sinA：sinB：sinC＝7：5：3．解：由已知，设（k＞0），得b+c＝4k，c+a＝5k，a+b＝6k，三式相加，得a+b+c＝k，∴a＝k，b＝k，c＝k，∴sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝7：5：3．8．已知在△ABC中，有一个角为60°，，周长为20，则三边长分别为5，7，8．解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．由题意，可得，，，解得a＝7，b＝5，c＝8或a＝7，b＝8，c＝5，所以，△ABC三边长分别为5，7，8．故答案为：5，7，8．9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，CA＝3，CD为∠C的角平分线，则CD＝．解：令CD＝x，由正弦定理可知：S△ABC＝9＝×3×x•sin45°+×6×x•sin45°，故x＝．故答案为：2．10．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，那么AD的长是6．解：设AD＝x（x＞0）．∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，∴AC＝，AB＝；又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcos45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，解得x＝6．故答案是：6．11．在△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝48，BC＝27，则AC＝35．解：作CD交AB于D，使∠ACD＝∠A，由已知得∠BCD＝2∠A，又因∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，所以∠BCD＝∠BDC，BD＝CB＝27，CD＝AD＝AB﹣BD＝21，在△CBD和△ABC中，由余弦定理，得：，解得：AC＝35．故答案为：35．12．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D为AC中点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，BD＝，则AC的长为4．解：设AE＝x（x＞0），BE＝BC＝y（y＞0），∵∠A＝45°，DE⊥AB，∴AE＝DE＝x，在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2，即x2+y2＝87…①，在Rt△ADE中，AD＝＝x，又∵D为AC中点，∴AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cosA，即y2＝（x+y）2+8x2﹣2（x+y）×2x×，整理得：5x2﹣2xy＝0，解得：y＝x…②，将②代入①得：x＝2，∴AC＝2x＝4．故答案为：4．13．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是2＜a＜4．解：法一：由正弦定理得：＝，即＝，再sinA＝，由题意得：当60°＜∠A＜120°时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得2＜a＜4；法二：由题，对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，例如下图所示，在BC为定值时，存在两个不全等的△ABC与△A′BC，∴两个不全等的△ABC中其中一个是锐角三角形，其中一个是钝角三角形（∠CAB为钝角），①当△ABC为锐角三角形时，假设0°＜∠A＜60°，如下图所示，在图中无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，②当△ABC为锐角三角形时，假设∠A＝60°，如下图所示，△ABC为等边三角形，在图中也无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，∴综上，当△ABC为锐角三角形时，∠A必须满足：90°＞∠A＞60°，∵当∠A＝60°时，△ABC为等边三角形，此时BC＝2，∵当∠A＝90°时，△ABC为直角三角形，此时BC＝4，∴对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，则BC需满足：2＜BC＜4，∴2＜a＜4；故答案为：2＜a＜4．14．在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝，AC＝3，CD＝，求AB的长．解：∵AD＝，AC＝3，CD＝，∴AC2＝32＝9，AD2＝3，CD2＝6，∴AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∵∠B＝45°，∴AB＝AD＝•＝．15．如图，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，点D在AB上，点E在AC上，且DE平分△ABC的面积，求线段DE长度的最小值．解：在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC＝＝30，sinA＝＝．∵DE平分△ABC的面积，∴S△ADE＝S△ABC＝15．令AD＝a，AE＝b，有：absinA＝15．故ab＝78．∴．故DE长度的最小值为．16．如图，在△ABC中，AD⊥直线BC，垂足为D，且AD＝BC＝a（a为常数），AC＝b，AB＝c，求最大值．解：由题意知bcsinA＝a•a，即bcsinA＝a2．又∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2＝a2+2bccosA，∴＝＝＝＝sinA+2cosA．又∵sinA+2cosA＝（sinA+cosA）＝sin（A+B）．∴最大值为．17．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；（2）通过合理的构造，试求cos105°．解：（1）由余弦定理，可得cosE＝，∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，∴＝，解得EF＝1或3；（2）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．∵在RT△ADC中，AD＝1．∴AC＝2，CD＝，∵在RT△ADB中，AD＝1，∴AB＝，BD＝1，∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，利用余弦定理可得cos105°＝＝＝．18．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：①正弦定理：＝＝②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．③S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2asinB＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面积．解：（1）∵2asinB＝b，利用正弦定理＝得：asinB＝bsinA，∴2bsinA＝b，∵sinB≠0，∴sinA＝，又∵A为锐角，∴A＝；（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cosA，即36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝64﹣3bc，∴bc＝，又∵sinA＝，∴S△ABC＝bcsinA＝．19．△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB．（1）若∠A＝x°，∠BDC是y°，则y与x之间的函数关系式y＝x+45；（2）若△BDC三边的长是三个连续整数，求sinA；（3）在（2）的条件下求△ADC的面积．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝x°，∴∠ACB＝∠B＝，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝x°+＝，∴y＝x+45．故答案为y＝x+45；（2）∵∠BCD＝∠ACB＝＝45°﹣x°，∠BDC＝x°+45°，∠DBC＝2∠BCD，∴∠BCD＜∠BDC，∠BCD＜∠DBC，∴△BCD中BD边最小．作∠ABC的平分线交CD于E．∵∠DBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCB，∠BDE＝∠CDB，∴△BDE∽△CDB，∴BD：CD＝BE：BC＝DE：BD．（*）设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣z．下面分两种情况讨论BC与CD的关系：①当BC＞CD时，设BD、CD、BC分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣z．将它们代入（*），得＝＝，由＝，得z＝，由＝，得n+1﹣z＝，两式相加，得n+1＝，解得n＝1．由三角形三边关系定理