2025年中考数学专题08 垂线段最短专题（解析版）

模型介绍模型介绍【结论一】如图直线外一点A到直线上所有点的距离中，垂线段AM最小.【结论二】如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值。则有以下结论成立：过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别与P、Q重合时，AM+MN有最小值，即为AQ的长度.方法点拨1.题型特征：①一定点②动点的运动轨迹为直线2.模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短.例题精讲例题精讲【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是≤AM＜6．解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC＝×5×12＝×13×AP，∴AP＝，即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范围是AM≥，∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6．故答案为：≤AM＜6．变式训练【变式1】．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是．解：作CP⊥AB于P，由垂线段最短可知，此时PC最小，由勾股定理得，AB＝＝＝5，S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×3×4＝×5×PC，解得，PC＝，故答案为：．【变式2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是2．解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，即DQ+PQ的最小值为2，故答案为：2．【变式3】.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4．故CM+MN的最小值为4．【变式4】.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是．解：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE＝PB，∴MP+PB＝PM+PE，∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin∠ACB＝＝，∴ME＝，∴MP+PB的最小值为，故答案为．实战演练实战演练1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．10解：当DE⊥AB时，DE的值最小，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5，∴DE的最小值＝CD＝5，故选：C．2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．6解：作C点关于BD的对称点G，过G点作GF⊥BC交BC于F，交BD于E，∴EG＝EC，∴EC+EF＝EG+EF＝GF，此时EC+EF最小，∵BD平分∠ABC，∴G点在AB上，∴BC＝BG，∵AC＝BC＝10，∴BG＝10，∠ACB＝4∠A，∴∠A＝∠B＝30°，∴GF＝BG＝5，∴EC+EF的最小值是5，故选：C．3．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．4.5解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M使PE+PM取得最小值，PE+PM＝PE′+PM＝E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC＝6，BD＝6，∴AB＝＝3，由S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•E′M得×6×6＝3•E′M，解得：E′M＝2，即PE+PM的最小值是2，故选：C．4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2，∴PB的最小值是2．故选：D．5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（）A．1B．C．D．解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，而∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，∴DH＝，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴∠2＝∠1，DE＝DF∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（）A． B．1 C． D．解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，在△CDP和△TDQ中，，∴△CDP≌△TDQ（SAS），∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，∴CQ的最小值为1．故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC上一动点，则CM+MN的最小值是．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵点M是∠ABC平分线BD上一动点，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，∴MN+CM＝ME+CM＝CE，∵CE⊥AB，∴CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，又∵•AB•CE＝S△ABC，∴×6×CE＝10，∴CE＝故答案为．8．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，则BE+EF的最小值为．解：过点D作DB'⊥AC交于点B'，过B'作B'F⊥AB交AD于点E，交AB于点F，∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），∴B与B'关于AD对称，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，∵AB＝8，AC＝10，BD＝，∴B'D＝，BC＝6，∵AB＝AB'，∴AB'＝8，∵sin∠CAB＝＝＝，∴B'F＝，∴BE+EF的最小值为，故答案为．9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG＝，连接EF，BG，则EF+BG的最小值为．解：如图，取BC的中点E'，连接EE'，GE'，∵E为AB的中点，∴EE'为△ABC的中位线，即EE'∥AC，且EE'＝AC，∵正方形ABCD的边长为2，∴AC＝＝2，∴EE'＝AC＝，∵FG＝，∴EE'＝FG，且EE'＝FG，即四边形EE'GF为平行四边形，∴EF＝E'G，连接DG，DE'，根据正方形的对称性可知，BG＝DG，∴EF+BG＝E'G+DG，根据两点间线段最短可得，当点E'，G，D在同一直线上时，E'G+DG取得最小值，即此时EF+BG的最小值为线段E'D的长度，连接E'G，则在Rt△E'CD中，∵E'C＝1，CD＝2，∴E'D＝＝，故EF+BG的最小值为，故答案为：．10．如图，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为6﹣3．解：连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR，如图：∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四边形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，∵折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，∴OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值为3，∴DF的最大值为6﹣3．故答案为：6﹣3．11．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是．解：如图，连接BF，由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，∴∠CAE＝30°，BD＝4，∴∠CBF＝30°，即点F的运动轨迹为直线BF，∴当DF⊥BF时，DF最短，此时，DF＝BD＝×4＝2，∴DF的最小值是2故答案为2．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P三点⊙O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为．解：∵经过P、E、F三点确定⊙O，由圆周角定理可知：⊙O的直径为EF，连接PC，PF，PE，∵AC＝BC＝8，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝PE，当PE⊥BC时，PE最小，即EF最小，此时PE＝AC＝4，∴EF的最小值＝4，故答案为：4．13．如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为．解：如图，过点A作AF⊥y轴于点F，连接AM，OM，∵∠BAC＝∠BOC＝90°，M为BC中点，∴AM＝OM，∴点M在线段AO的垂直平分线上，作线段AO的垂直平分线交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE，PM最小，连接AD，则AD＝OD，∵A（2，4），∴AF＝2，OF＝4，设OD＝AD＝t，则FD＝4﹣t，∵FD2+AF2＝AD2，∴（4﹣t）2+22＝t2，∴t＝，∴OD＝，∵∠FOA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OED＝90°，∴∠FOA＝∠OED，∵∠AFO＝∠DOE＝90°，∴△FAO∽△ODE，∴，即AF•OE＝OD•OF，∴OE＝5，∵P（1，0），∴PE＝4，在Rt△AFO中，OA＝＝2，当PM⊥DE时，PM最小，∴∠PME＝∠AFO＝90°，∴△PME∽△AFO，∴，∴，∴PM＝，故答案为：．14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是．解：如图1，以AD为斜边在AD下方作等腰直角△AGD，∴∠ADG＝∠EDF＝45°，∴∠ADE＝∠GDF，∴△ADE∽△GDF，∴∠DGF＝∠DAE＝60°，∴点F的运动轨迹是GF，∴BF的最短距离为×2＝；如图2，当点E移动到点B时，BF最大，在等腰直角三角形BDF中，BF＝BD＝2，所以BF的取值范围为2﹣2≤BF≤2，故答案为：≤BF≤2．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，动点M、N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求MN的最小值．解：如图①，∵∠MCN＝45°，在AB上方以MN为斜边作等腰Rt△MON，以OM为半径作△CMN的外接⊙O，连接OC、OM、ON，取MN的中点为P，AB的中点为Q，连接OP、CP、CQ，设⊙的半径为r，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，在Rt△MON中，OM＝ON＝r，∴CQ＝，OP＝r，MN＝r．∵OC+OP≥CP≥CQ，∴r+r≥CP≥．如图②，当且仅当点C、Q、P共线，且CP与CQ重合时，r+r＝，此时r最小，解得r＝﹣1，MN＝r＝2﹣，即MN的最小值为2﹣．16．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点．（1）求AM+BM+CM的最小值；（2）求AM+BM的最小值．解：（1）连接AC，MC，将△BCM绕点B逆时针旋转60°得△BAM′，再将△BAM绕点B逆时针旋转60°得△BA′M′，连接CA′，与AB交于点E，如图，则A′M′＝AM，BM′＝BM，A′B＝AB＝BC＝4，∠ABA′＝∠ABC＝60°，∠ABM′＝∠CBM＝∠ABM＝30°，∴△BMM′是等边三角形，BE⊥A′C，∴BM＝MM′，∴AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM≥A′C，当A′、M′、M、C四点共线时，AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM＝A′C的值最小，此时A′C＝2CE＝2．故AM+BM+CM的最小值为4；（2）如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝2，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥2，∴AM+BM≥2，∴AM+BM的最小值为2，故答案为：2．17．如图，二次函数的图象与x轴交于O、A两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求点A、点C的坐标；（2）求证：△OCD∽△A′BD；（3）求的最小值．（1）解：在中，令y＝0得x＝0或x＝4，∴A（4，0），∵＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴A的坐标为（4，0），C的坐标为（2，﹣2）；（2）证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；（3）解：∵△OCD∽△A′BD