4.1因式分解（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步课堂（北师大版）

北师大版数学八年级下册第四章因式分解1因式分解学习目标1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重点）2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点）一、创设情境，引入新知

你能把993-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？

本章将研究如何把一个多项式分解成若干整式的乘积的形式，你将体会到这一过程与整式乘法运算的联系.二、自主合作，探究新知探究一：因式分解的定义想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.所以，993-99能被100整除.993-99还能被哪些正整数整除?小明是这样做的：在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.二、自主合作，探究新知议一议：你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.a3-a

=a(a2-1)

在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个整式的积的形式.逆用平方差公式=a(a+1)(a-1).

=

.二、自主合作，探究新知做一做：观察下列拼图过程，写出相应的关系式.a+b+cmambmcm(1)xxx111x1(2)x+1x+1

=

.ma+mb+mcm(a+b+c)x2+2x+1(x+1)2思考：观察以下等式，它们有什么共同特点？x2+2x+1=(x+1)2.ma+mb+mc=m(a+b+c)

,a3-a

=

a(a+1)(a-1),二、自主合作，探究新知多项式整式的积你能总结出因式分解的定义吗？像这样的变形叫做因式分解.二、自主合作，探究新知知识要点

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.因式分解的定义二、自主合作，探究新知典型例题例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有(

)①x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1；

②x3+x＝x(x2+1)；③(x-y)2＝x2-2xy+y2；

④x2-9y2＝(x+3y)(x-3y).A.1个

B.2个C.3个D.4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B.B二、自主合作，探究新知判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；

(3)右边的因式全是整式.方法总结根据左面算式填空:(1)3x2-3x=_________;(2)ma+mb+mc=_________;(3)m2-16=__________;(4)y2-6y+9=________.计算下列各式:(1)

3x(x-1)=__,(2)

m(a+b+c)=______,(3)(m+4)(m-4)=_____,(4)(y-3)2=

.做一做：二、自主合作，探究新知3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+93x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(y-3)2整式乘法因式分解探究二：因式分解与整式乘法的关系二、自主合作，探究新知想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？多项式几个整式的积因式分解整式乘法因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.

二、自主合作，探究新知典型例题C二、自主合作，探究新知例3：若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)

=ax2+ax-6a.

∴a=1，b=﹣6a=﹣6.方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.典型例题1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(

)A.a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-xy+y2=(x-y)2C2.(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果()

A.m2+4n2

B.-m2+4n2C.m2-4n2

D.-m2-4n2C三、即学即练，应用知识3.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是 (

)A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198三、即学即练，应用知识B4.若多项式x2+mx+n因式分解的结果为(x-3)·(x+1),则m,n的值分别为(

)A.2,3 B.-2,3C.2,-3D.-2,-3D6.如图所示，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼接成一个大长方形，则利用整个图形可表示出一些有关多项式因式分解的等式，请你写出任意一个表示因式分解的等式:

.三、即学即练，应用知识a2+2ab=a(a+2b)5.对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是

，从右到左的变形是

.整式乘法因式分解三、即学即练，应用知识7.小明在解答“因式分解:(1)3x2-9x+3;(2)9x2-4.”这道题目时,是这样做的:解:(1)3x2-9x+3=3(x2-6x+1).(2)9x2-4=(3x+2)(3x-2).请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解得对不对.解:(1)因为3(x2-6x+1)=3x2-18x+3≠3x2-9x+3,所以小明分解得不对.(2)因为(3x+2)(3x-2)=(3x)2-4=9x2-4,所以小明分解得对.三、即学即练，应用知识8.通过计算说明255+511能否被30整除.解:原式=510+511=510+5×510=6×510=6×5×59=30×59.∵30×59能被30整除,∴255+511能被30整除.因式分解因式分解与整式乘法的关系定义四、课堂小结互为逆运算.因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积；整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式叫做这个多项式的因式.

五、当堂达标检测2.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（）A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2

C．x2+y2

D．﹣x2﹣y2BA4.如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形,请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:

.3.若(x-3)(x+5)是x2+px+q因式分解的结果，则p的值为

.五、当堂达标检测2五、当堂达标检测5.若多项式x2-mx+4可分解为(x-2)(x+n)，求mn的值.解:因为x2-mx+4=(x-2)(x+n)=x2+(n-2)x-2n,所以-m=n-2，-2n=4,解得m=4，n=-2,则mn=-8.五、当堂达标检测6.20232+2023能被2024整除吗?解:∵20232+2023=2023(2023+1)=2023×2024∴20232+2023能被2024整除.五、当堂达标检测7.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求mn的值.

解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，

∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，