2024成都中考数学一轮复习 图形的相似 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题图形的相似

一、单选题

1.（2023・重庆•统考中考真题）如图，已知AABCSA即。，AC:EC=2:3,若的长度为6,则DE的长

度为（）

A.4B.9C.12D.13.5

2.（2023・四川遂宁•统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平

面直角坐标系中，格点/成位似关系，则位似中心的坐标为（）

A.（-1,0）B.（0,0）C.（0,1）D.（1,0）

3.（2023•浙江嘉兴・统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为"（1,2）回2,1）,C（3,2）,

现以原点。为位似中心，在第一象限内作与。8c的位似比为2的位似图形A/‘B'C',则顶点C'的坐标是

C.（6,4）D.（5,4）

4.（2023•四川南充•统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置

一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已

知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,

则旗杆高度为（）

C.9.6mD.12.5m

5.（2023•安徽•统考中考真题）如图，点E在正方形48cZ）的对角线NC上，跖于点尸，连接并

延长，交边8c于点“，交边N3的延长线于点G.若/尸=2,FB=1,则MG=（）

B.通

A.2^3c.Vs+iD.Vio

2

6.（2023•湖北黄冈•统考中考真题）如图，矩形"BCD中，AB=3,BC=4,以点3为圆心，适当长为半径

画弧,分别交5C,BD于点E,F,再分别以点£,尸为圆心，大于净长为半径画弧交于点尸，作射线族,

过点C作BP的垂线分别交8。,/。于点M,N,则CN的长为（）

A.VioB.VTTC.2^3D.4

7.（2023•四川内江•统考中考真题）如图，在“BC中，点。石为边的三等分点，点尸、G在边BC上,

AC〃DG〃EF,点H为AF与DG的交点、.若4C=12,则的长为（）

C.2D.3

8.（2023•湖北鄂州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，0/=05=3百，点C为平面

3

内一动点，BC=-,连接NC,点M是线段NC上的一点，且满足CM:M4=1:2.当线段（W取最大值时,

2

点、M的坐标是（）

9.（2023•山东东营•统考中考真题）如图，正方形/BCD的边长为4,点E,尸分别在边。C,BC上，且BF=CE,

4E平分NC4D,连接。下，分别交/C于点G,M,尸是线段/G上的一个动点，过点尸作PNL/C

垂足为N,连接PA/,有下列四个结论：①4E■垂直平分DM:②尸〃+PN的最小值为3亚；③C尸2=GE./E;

④$M斯=6a.其中正确的是（）

C.①③④D.①③

10.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形48co沿着直线。E折叠，使点C与48

延长线上的点0重合.。石交5c于点R交N8延长线于点E.。。交8c于点尸，DM，AB于点、M,3=4,

则下列结论，①DQ=EQ,②8。=3,③BP=『®BD//FQ.正确的是（）

O

D.①②③④

11.（2023•黑龙江•统考中考真题）如图，在正方形48。中，点E,尸分别是“8,8。上的动点，^.AFLDE,

垂足为G,将尸沿加翻折，得到交DE于点?，对角线8。交"'于点"，连接

HM,CM,DM,BM,下列结论正确的是：@AF=DE；®BM//DE；③若CM工FM,则四边形AWF是

菱形；④当点E运动到NB的中点，tanZBHF=2y/2;⑤EP•DH=2AG-BH.（）

AK______________D

BFC

As.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

二、填空题

12.（2023・湖北鄂州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“3C与片G位似，原点。是位似

OA'±.若。/：44'=1：2,则和AH"C'的周长之比为______

会

14.（2023・四川乐山•统考中考真题）如图，在平行四边形/BCD中,£是线段上一点，连结/C、DE交

于点？右EB?’则工四

15.（2023•江西•统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的

曲尺（即图中的48C）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A,B,。在同

一水平线上，/48C和尸均为直角，4P与BC相交于点D.测得48=40cm,BD=20ctn,NQ=12m,

则树高尸。=m.

16.（2023・四川成都•统考中考真题）如图，在“3C中，。是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为

圆心，以适当长为半径作弧，分别交48,NC于点N；②以点。为圆心，以长为半径作弧，交DB

于点W';③以点为圆心，以"N长为半径作弧，在NA4C内部交前面的弧于点N'：④过点N'作射线DN'

RF

交BC于点、E.若43。£与四边形”。£。的面积比为4:21,则/的值为.

17.（2023•内蒙古•统考中考真题）如图，在RtZ\48C中，ZACB^90°,AC=3,BC,将绕点/逆

AH

时针方向旋转90。，得到△AB'C'.连接39，交/C于点D,则=的值为.

18.（2023•河南•统考中考真题）矩形4BCD中，M为对角线AD的中点，点N在边/。上，且MV=/3=1.当

以点。，M,N为顶点的三角形是直角三角形时，/D的长为

19.（2023・辽宁大连•统考中考真题）如图，在正方形48c。中，4B=3,延长8c至E,使CE=2,连接/E,

CF平分NDCE交4E于F,连接。尸，则。尸的长为.

20.（2023・广东•统考中考真题）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上

（如图），则图中阴影部分的面积为.

21.（2023・天津•统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形NOE,EA=ED=^.

2

（2）若F为BE的中点，连接相并延长，当C。相交于点G,则/G的长为.

22.（2023•四川泸州•统考中考真题）如图，E,尸是正方形48。的边48的三等分点，户是对角线/C上

Ap

的动点，当PE+尸尸取得最小值时，芸的值是.

23.（2023•山西•统考中考真题）如图，在四边形4BCD中，ZBCD=90°,对角线/C,8。相交于点。.若

AB=AC=5,BC=6,AADB=2ZCBD,则4D的长为

A

D

BC

三、解答题

24.(2023・湖南•统考中考真题)在Rt448C中，/B4C=90。，4D是斜边2C上的高.

(1)证明：△48Ds/\CA4；

(2)若/3=6,BC=10,求5。的长.

25.(2023・湖南•统考中考真题)如图，点8是线段上的一点，且C8LBE.已知

AB=S,AC=6,DE=4.

(1)证明：△ABCsLDEB.

(2)求线段AD的长.

26.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，Y48co中，点£是4D的中点，连接CE并延长交A4的延长

线于点F.

（2）点G是线段相上一点，满足NFCG=NFCD,CG交4D于点若/G=2,尸G=6,求GH的长.

27.（2023・四川凉山•统考中考真题）如图，在Y/BCD中，对角线ZC与AD相交于点O,NC4B=NACB,

过点B作BE工4B交AC于点E.

(1)求证：AC1BD-,

⑵若/3=10,AC=16,求OE的长.

28.(2023•江苏扬州•统考中考真题)如图，点ERG、〃分别是Y48co各边的中点，连接"、CE相交

于点"，连接/G、C耳相交于点N.

(1)求证：四边形/MCN是平行四边形;

(2)若口/MCN的面积为4,求Y/BCD的面积.

29.(2023・上海•统考中考真题)如图，在梯形/BCD中8C,点F，E分别在线段3C,AC±,且

NFAC=NADE，AC^AD

⑴求证：DE=AF

⑵若NABC=NCDE,求证：AF?=BF-CE

参考答案

一、单选题

1.【答案】B

【分析】根据相似三角形的性质即可求出.

【详解】解：；AABCSAEDC,

：.AC:EC=AB:DE,

"：AC:EC=2:3,AB=6,

，2:3=6:DE,

DE=9,

故选：B.

【点拨】此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.

2.【答案】A

【分析】根据题意确定直线的解析式为：V=x+1,由位似图形的性质得出/。所在直线与所在直线

x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解.

【详解】解：由图得：.(1,2),1(3,4),

设直线的解析式为：y=kx+b,将点代入得：

，直线的解析式为：y=x+l,

AD所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，

•,.当>=0时，x=-l,

•••位似中心的坐标为(TO),

故选：A.

【点拨】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关

键.

3.【答案】C

【分析】直接根据位似图形的性质即可得.

【详解】解：；“3C的位似比为2的位似图形是且C(3,2),

/.C（2x3,2x2）,即C（6,4）,

故选：C.

【点拨】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键.

4.【答案】B

【分析】根据镜面反射性质，可求出=再利用垂直求△力最后根据三角形相似

的性质，即可求出答案.

【详解】解：如图所示,

E

BCD

由图可知，AB上BD,CDIDE,CFLBD

\DABC=DCDE=90°.

・•・根据镜面的反射性质,

ZACF=ZECF,

J90°—ZACF=90。一/ECF,

ZACB=/ECD,

:AABCS八EDC,

ABBC

DECD

•・・小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,

二.AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.

1.62

DE10

/.DE=8m.

故选：B.

【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性

质.

5.【答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例得出黑=2=2,根据△/DESAC腔,得出言=言=2,则

133

CM=-AD=~,进而可得地=-,根据8。〃4。，得出AMBSAGDA,根据相似三角形的性质得出BG=3,

222

进而在RtZXHGW中，勾股定理即可求解.

【详解】解：:四边形455是正方形，AF=2,FB=\,

：.AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3,AD//CB,AD工AB,CBLAB,

「EFLAB,

：.AD//EF//BC

DEAF

：.——=—=2,4ADEs/\CME,

EMFB

.AD-DE-o

13

则CM=_/Q=_,

22

3

：.MB=3-CM=-,

2

•・,BC//AD,

：.^GMB^GDA,

3

ABGMB2_1

而一五一5一5

・•・BG=AB=3,

在RtABGM中，MG=^MB2+BG2=J1|)+3?=~-，

故选：B.

【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌

握以上知识是解题的关键.

6.【答案】A

【分析】由作图可知BP平分NCS。，设BP与CN交于点。，与C0交于点凡作入。于点0,根据角

平分线的性质可知RQ=RC,进而证明RM8CR丝RtABQR,推出80=80=4,设火0=RC=x,贝I」

4

DR=CD-CR=3-x,解RtA。。尺求出0A=CR=1.利用三角形面积法求出OC,再证AOCRSA^CN,

根据相似三角形对应边成比例即可求出CN.

【详解】解：如图，设8尸与CN交于点。，与CD交于点R,作火于点°,

D

,矩形/BCD中，48=3,BC=4,

：.CD=AB=3,

BD=ylBC2+CD2=5.

由作图过程可知，BP平分NCBD,

四边形/BCD是矩形，

•••CDVBC,

又：RQLBD,

RQ=RC,

在RLBCR和RLBQR中,

[RQ=RC

\BR=BR'

：.RUBCRmRLBQR(HL),

BC=BQ=4,

QD=BD-BQ^5-4^\,

设AQ=RC=x,则。7?=CD-CR=3-x,

在RtA。。火中，由勾股定理得。F=。。2+夫02,

即(3-X『d+f,

解得％=不

4

CR=—,

3

BR=yjBC2+CR2=-V10.

3

VS=-CRBC=-BROC,

ERRrR22

卜4

—V10.

:。r5

•••ZCOR=ZCDN=90°,/OCR=/DCN,

...△OCRSQCN,

4

OCCR-VTo

...——=——，即Bn53，

DCCN-=4—

CN

解得CN=5.

故选：A.

【点拨】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股

定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出8尸

平分NCBD,通过勾股定理解直角三角形求出CR.

7.【答案】C

【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE=OE=/。，BF=GF=CG,AH=HF,是△/跖的

中位线，易证△BEFs^BAC,得空=些，解得所=4,则。〃=!£/=2.

ACAB2

【详解】解：£为边48的三等分点，EF〃DG〃AC,

:.BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,

:.AB=3BE,。〃是△人防的中位线，

:.DH=-EF,

2

EF〃AC,

ZBEF=ABAC,ZBFE=NBCA,

:△BEFs/^BAC,

EFBEEFBE

——=——,即Hn——=---,

ACAB123BE

解得：EF=4,

:.DH=-EF=-x4=2,

22

故选：C.

【点拨】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知

识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

8.【答案】D

【分析】由题意可得点C在以点8为圆心，5为半径的或上，在X轴的负半轴上取点。-〒,。，连接2n

分别过C、M作CFLCU,MEVOA,垂足为尸、E,先证从而当CQ

CDAD3

取得最大值时，（W取得最大值，结合图形可知当D,B,。三点共线，且点5在线段DC上时，CD取得

最大值，然后分别证ABDOSACD尸，AAEMSDFC,利用相似三角形的性质即可求解.

3

【详解】解：•••点。为平面内一动点，BC=：,

2

,,3

...点C在以点3为圆心，；为半径的05上，

2

在x轴的负半轴上取点。-~,连接分别过C、M作CFLOZ,MEVOA,垂足为b、E,

・,OA=OB=35

・・AD=OD+OA=^-9

2

.OA_2

•万一“

：CM:MA=\:2,

.OA^2CM

9AD~3~^4C"

・•ZOAM=ZDAC,

\"AMSADAC,

,OMOA_2

'~CD~^D~3,

当。。取得最大值时，0M取得最大值，结合图形可知当。，B,。三点共线，且点8在线段DC上时,

CD取得最大值,

3/s

•：OA=OB=3后,0D=7

15

BD=yj0B2+0D2=

T

，CD=BC+BD=9,

..OM2

•CD-3

：.OM=6,

:了轴，》轴，CFVOA,

：./DOB=NDFC=90°,

'：ZBDO=NCDF,

ABDOS£DF,

噌嚼即常£

9

解得5=苧

同理可得，AAEMS"FC,

ME2

MEAM2Rn-r=~

--------二—即18A/53,

CFAC3

5

解得=上叵

5

OE=YIOM2-ME2=62-

12A/T

・・・当线段（W取最大值时，点M的坐标是一厂，

I$

故选：D.

【点拨】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握

相似三角形的判定及性质是解题的关键.

9.【答案】D

【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明ND4£=NEDC,通过等量转化即可求证NG,DM,利

用角平分线的性质和公共边即可证明"。GM"MG（ASA）,从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证

明推出。£2=G£♦/E,通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推

出AM和CM长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM+PN的

最小值，从而证明②不对.

【详解】解：•.•Z5C。为正方形，

BC=CD=AD,ZADE=ZDCF=90°,

•・•BF=CE,

DE=FC,

.△ADE%DCF(SAS).

/DAE=ZFDC,

•••ZADE=90°,

:.ZADG+ZFDC=90°f

ZADG+ZDAE=90°f

:.ZAGD=ZAGM=90°.

vAE平分/CAD,

:./DAG=/MAG.

-：AG=AG,

.\AADG^AAUG(ASA).

:.DG=GM,

\'ZAGD=ZAGM=90°,

.,.4E垂直平分。M,

故①正确.

由①可知，ZADE=NDGE=90。,NDAE=/GDE,

「.△ADEs小DGE,

.DE_AE

,~GE~~DEJ

:.DE?=GEAE,

由①可知。£=CF,

:.CF2=GEAE.

故③正确.

•.•/BC。为正方形，且边长为4,

.­.AB=BC=AD=4,

・•・在RtzX/BC中，AC=y/2AB=442.

由①可知，"£>G些ANVG(ASA),

AM=AD=4,

:.CM^AC-AM=4后-4.

由图可知，ADMC和△ZOM等高，设高为A,

•Q=V_Q

-24ADM2"DC°ADMC，

4x/z_4x4(40-4)〃，

2，

：.h=242，

，S山=：Z"=；x4x2夜=4立

故④不正确.

由①可知，"OG之ANMG(ASA),

DG=GM,

二〃■关于线段NG的对称点为。，过点。作。N'_L/C,交AC于N',交AE于P,

.•.尸川+两最小即为。乂，如图所示，

由④可知△4DM的高〃=2后即为图中的。N',

:.DN'=2日

故②不正确.

综上所述，正确的是①③.

故选：D.

【点拨】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解

题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.

10.【答案】A

【分析】由折叠性质和平行线的性质可得N。。尸=NC。尸=/。£/，根据等角对等边即可判断①正确；根

据等腰三角形三线合一的性质求出==4,再求出2。即可判断②正确；由△CDPS^BQP得

CpCD5FFOF

—=--7-求出8P即可判断③正确；根据一*3即可判断④错误.

orD\JjDEBE

【详解】由折叠性质可知：ZCDF=ZQDF,CD=DQ=5,

9：CD//AB,

：./CDF=ZQEF.

・,.ZQDF=ZQEF.

・・・DQ=EQ=5.

故①正确；

*.*DQ=CD=AD=5,DM1AB,

・,.MQ=AM=4.

*：MB=AB-AM=5-4=1,

：.BQ=MQ—MB=4—\=3.

故②正确；

・・•CD//AB,

：.ACDP^ABQP.

•_C_P___C__D__5

••而一而一§.

・・•CP+BP=BC=5,

315

：.BP=-BC=—.

88

故③正确；

CD//AB,

：.ACDFS/XBEF.

•_D_F___C__D_____C_D_______5___5

BQ+QE~7+5~8f

.EF8

,•五一百，

..QE_5

*—8，

.”工婆

「DEBE'

Z\EFQ与AEDB不相似.

ZEQF丰NEBD.

二AD与尸。不平行.

故④错误；

故选：A.

【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱

形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键.

11.【答案】B

【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答.

【详解】解：••・四边形/BCD是正方形，

ZDAE=/ABF=90°,DA=AB,

AFIDE,

:.ZBAF+ZAED=90°,

•:NB4F+NAFB=90。,

ZAED=NBFA,

:./\ABF^AED(AAS),

AF=DE,故①正确，

将八ABF沿加翻折，得到“MF,

BMVAF,

,：AFLDE,

BM//DE,故②正确，

当。/_1_四时，Z.CMF=90°,

;NAMF=NABF=90°,

:.ZAMF+ZCMF^\^Q°,即4",C在同一直线上，

NMCF=45°,

ZMFC=90°-ZMCF=45°,

通过翻折的性质可得ZHBF=NHMF=45。，BF=MF,

：.AHMF=ZMFC,ZHBC=ZMFC,

BC//MH,HB//MF,

.•.四边形BHMF是平行四边形，

■：BF=MF,

二平行四边形8AMF是菱形，故③正确,

当点E运动到N2的中点，如图，

设正方形/BCD的边长为2a,贝1]/£=3/=a,

在RtZUE。中，DE=ylAD2+AE2=4ia=AF^

■：ZAHD=ZFHB,ZADH=ZFBH=45°,

.FHBF_a」

"AH~AD^2a~2,

,,„_2__2V5

..A.H——A.F-----a,

33

•・•AAGE=ZABF=90°,

:.△AGFS^ABF,

AEEGAG_a_V5

~AF一薪一百

Js2J5

EG=BF=a,AG=-AB=^-a,

5555

4J54A/5

/.DG=ED-EG=—L-a,GH=AH-AG=—!—a,

515

/BHF=/DHA,

在RtZ\QG"中，tanABHF=tanZDHA=—=3,故④错误,

GH

•△AHDsAFHB,

BH_1

••一—9

DH2

11r-2>/222r4V2

/.BH=-BD=-x2V2a—Q,DH=-BD=-x242a=-^~a，

333333

•/AFLEP,

根据翻折的性质可得EP=2EG=拽a,

.”八〃_2石472_8/10/

..EP•DH=---CL----CL=-----u，

5315

26242_8^,

2ZG•BH=2------a-----a------d,

5315

:.EPDH^2AGBH^^^-a2,故⑤正确;

15

综上分析可知，正确的是①②③⑤.

故选：B.

【点拨】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求

做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键.

二、填空题

12.【答案】(3,1)

【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.

【详解】解：设4(%")

：与△48©位似，原点O是位似中心，且7五=3.若49,3),

・・・位似比为3:，

.9__32_3

••————，

m\n\

解得机=3,n-1,

4(3,1)

故答案为：(3,1).

【点拨】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键.

13.【答案】1:3

【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.

【详解】解：•・・。4：44'=1：2,

:.OA:OA'=1:3,

设周长为4，设A/'2'C'周长为4，

4BC和A/®C'是以点。为位似中心的位似图形,

'1

一厂市一鼠

I]:/2=1:3.

二.△ABC和△H*C'的周长之比为1:3.

故答案为：1:3.

【点拨】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质.

14.【答案】|

2

【分析】四边形/BCD是平行四边形，贝l|/8=CD,N8||CD,可证明AE/FSAOCF,得到竺=8=坐，

EFAEAE

由A芸p=;o进一步即可得到答案.

EB3

【详解】解：:四边形/BCD是平行四边形，

.・.AB=CD,AB\\CD,

：.ZAEF=/CDF,ZEAF=ZDCF,

AEAFS^DCF,

,DFCD_AB

••EF-AE-AE'

..AE_2

*砺_§，

・AB_5

^^4E~29

・S^ADF_DF_AB_5

~~EF~AE~2,

故答案为：：

【点拨】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△口/s.ocb是解题的关

键.

15.【答案】6

【分析】根据题意可得△力助s.尸，然后相似三角形的性质，即可求解.

【详解】解：。和40。均为直角

・・.BD//PQ,

/.AABD^AAQP,

•_B_D___A__B

^PQ~^Q

*.*AB=40cm,BD=20cm,4。=12m,

AQxBD_12x20

PQ=

故答案为：6.

【点拨】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

16.【答案】|

【分析】根据作图可得然后得出。石〃NC,可证明△BDEs△胡。，进而根据相似三角形

的性质即可求解.

【详解】解：根据作图可得=

DE//AC,

：.ABDEs^BAC,

：ABOE与四边形的面积比为4:21,

.S.BDC_4一、町

,BE_2

"5C"5

,BE2

•一

CE3

故答案为：j.

【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

17.【答案】5

【分析】过点。作。尸，/5于点尸，利用勾股定理求得48=Jm，根据旋转的性质可证A/5*、△DFB是

等腰直角三角形，可得DF=BF,再由邑®=gx2Cx/O=gx。尸xNB,得AD=J^DF,证明

AAFD~^ACB,可得变=且弓，即/尸=3DF,再由4F=Ji6-。F,求得DF=叵,从而求得40=』，

BCAC42

CD=-,即可求解.

2

【详解】解：过点。作。尸于点尸，

:44cB=90°,AC=3,BC=\,

,,AB=A/32+12=Vw，

:将“3C绕点/逆时针方向旋转90。得到△4B'C',

•・AB=AB'=M,/BAB'=90。，

・・・△459是等腰直角三角形，

JZABBf=45°,

又,:DFLAB,

：./FDB=45。,

△£＞必是等腰直角三角形，

DF=BF,

•:S.ADB=gxBCxAD=gxDFxAB,BPAD=回DF，

*.•ZC=ZAFD=90°fNCAB=/FAD,

\AAFDfACB,

•.黑=今,^AF=3DF,

又：AF=回-DF,

/.DF=—

4

AD=Ax粤V，CD=31=

2

5

.9=2=5

•,CDI

2

故答案为：5.

【点拨】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

18.【答案】2或夜+1

【分析】分两种情况：当/M7VD=9O。时和当/MWD=90。时，分别进行讨论求解即可.

【详解】解：当/M7VD=9O。时，

:四边形/BCD矩形,

，N/=90°,则儿W〃/3,

由平行线分线段成比例可得：翁工

又♦.•〃为对角线AD的中点,

，BM=MD,

.AN_BM

'•而一南一，

即：ND=AN=1,

：.AD=AN+ND=2,

当/NW=90°时,

为对角线2。的中点，NNMD=90。

MN为AD的垂直平分线，

BN=ND,

•四边形/BCO矩形，AN=AB=1

/A=90°,则BN=JAB?+AN2=拒，

BN=ND=42

AD=AN+ND=6+1>

综上，NO的长为2或夜+1，

故答案为：2或立+l.

【点拨】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨

论是解决问题的关键.

19.【答案】之叵

4

【分析】如图，过尸作尸NLBE于M,FN1CD于N,由CF平分/DCE,可知NFCM=NFCN=45。，

可得四边形CMFN是正方形，FM//AB,设FM=CM=NF=CN=a,贝!|ME=2-a,ffill^EFM^AEAB,

则餐=竺，即解得a==，DN=CD-CN=3,由勾股定理得DF=个DN?+N可，计算求解

ABBE33+244

即可.

【详解】解：如图，过/作于M,FNLCD于N,则四边形CMFN是矩形，FM//AB,

,：CF平分/DCE,

：.NFCM=ZFCN=45°,

：.CM=FM,

：.四边形CMFN是正方形，

设FM=CM=NF=CN=a,贝ljAffi=2-a,

,/FM//AB,

:・AEFMS^EAB,

.FMMEa2-a3

..---=----,即nn一=----解得

ABBE33+2

9

：.DN=CD-CN=-,

4

由勾股定理得DF=NDN?+NF1=W叵,

4

故答案为：亚.

4

【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识

的熟练掌握与灵活运用.

20.【答案】15

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：如图，

A10D

由题意可知力。==10,CG=CE=GF=6,NCEb=/£FG=90。，GH=4,

：.CH=10=ADf

・.・ZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

AAADJ^HCJ(AAS),

：.CJ=DJ=5f

：.EJ=\,

*：GI//CJ,

：.AHGIS^HCJ,

,GI_GH_2

a/-cF-5?

GI=2,

:・FI=4,

•••s梯形切F=T（£J+尸/）.跖=15；

故答案为：15.

【点拨】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

21.【答案】3；V13

【分析】（1）过点E作根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求

出E/7的长，即可得到VNDE的面积；

（2）延长EH交4G于点K,利用正方形和平行线的性质，证明瓦^AKE尸（ASA）,得到EK的长，进而

得到K3的长，再证明得到察=黑，进而求出GD的长，最后利用勾股定理，即可求

GDAD

出/G的长.

【详解】解：（1）过点£作

BA

F,

H

cGD

・・・正方形/BCD的边长为3,

二.AD=3,

•.•A4DE是等腰三角形，EA=ED=-,EHVAD,

2

13

AH=DH=—AD=—,

22

在RGAHE中，EH=ylAE2-AH2

■■S.ADE=^AD-EH=^3x2=3,

故答案为：3；

(2)延长交4G于点K,

•・・正方形的边长为3,

:.ZBAD=ZADC=90°,AB=3,

ABIAD,CDAD,

•「EKLAD,

/.AB//EK//CD,

ZABF=/KEF,

・•,方为BE的中点，

BF=EF,

在厂和AKEF中,

'/ABF=/KEF

<BF=EF,

/AFB=/KFE

:AABFm公KEF(ASA},

EK=AB=3,

由(1)可知，AH=-AD,EH=2,

2

•••KH//CD,

：.AAHKsAADG,

KHAH

"~GD~^D'

\GD=2,

在RtVADG中，AG=y)AD2+GD2=g+2。=岳，

故答案为：岳.

【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键.

22.【答案】|

【分析】作点厂关于NC的对称点尸L连接EF交4C于点P,此时尸E+P厂取得最小值，过点尸，作的

垂线段，交/C于点K,根据题意可知点F落在/。上，设正方形的边长为。，求得/K的边长，证明

Kp，

△AEP's^KFP,可得其=2,即可解答.

【详解】解：作点尸关于NC的对称点尸‘，连接斯'交NC于点P,过点/作/。的垂线段，交4c于点、

K,

由题意得：此时尸落在40上，且根据对称的性质，当尸点与P重合时PE+P厂取得最小值,

2

设正方形48co的边长为a,则/尸'=/尸=§。，

•••四边形/BCD是正方形，

:.ZF'AK=45°,ZP'AE=45°,AC=®a

F'K1AF',

ZF'AK=ZF'KA=45°,

•1'ZF'P'K=ZEP'A,

:△E'KP'SAEAP,

.F'KKP'c

..——2,

AEAP'

1,

/.AP'=—AK=—。,

39

:.CP=AC—AP'=—B,

9

.4P_2

••7=一,

CP'7

ApT

当PE+尸尸取得最小值时，器的值是为：，

故答案为：y.

【点拨】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确

画出辅助线是解题的关键.

23.【答案】叵

3

【分析】过点/作，BC于点H,延长AD,BC交于点E,根据等腰三角形性质得出BH=HC=\BC=3,

2

根据勾股定理求出/〃=J/C2一c”2=4,证明NC3Q=NC£。，得出。5根据等腰三角形性质得出

CDCE8

CE=BC=6,证明CD〃力〃，得出薪7=笠，求出根据勾股定理求出

HE3

DE=y/cE2+CD2=『+,DECE2v

根据得出匕=手，即36,求出结果即可.

ADCHD=-

AD3

【详解】解：过点/作3c于点延长BC交于点、E,如图所示：

A

BHCE

则NAHC=NAHB=90°,

AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC=-BC=3

2f

*'­AH7AC2-CH2=4,

•：NADB=NCBD+NCED,ZADB=2/CBD,

：./CBD=/CED,

：.DB=DE,

•・•/BCD=90。，

・・・DCLBE,

：.CE=BC=6,

：.EH=CE+CH=9,

9

：DCVBE,AHIBCf

：.CD//AH,

：.△£CDfEHA,

.CDCE

•・初一说’

口