2024届河南省南阳市唐河县中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

2024学年河南省南阳市唐河县重点名校中考数学最后冲刺模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.一元二次方程为2—%—1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

A<&>B@c©

3.如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=30°,AB的垂直平分线1交AC于点D,则NCBD的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.75°

4.如图，四边形ABCE内接于。O,ZDCE=50°,贝！|NBOE=()

C.70°D.130°

1

+EW的整数部分囿）

A.3B.5C.9D.6

6.一次函数y=2x+l的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.下列命题中假命题是()

A.正六边形的外角和等于不：B.位似图形必定相似

C.样本方差越大，数据波动越小D.方程--=，)无实数根

8.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋

子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是()

4121

A.—B.—C.—D.一

9399

9.如图，已知h〃12,ZA=40°,Zl=60°,则N2的度数为()

A.40°B.60°C.80°D.100°

10.如图，为了测量河对岸h上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线L上取

C、D两点，测得NACB=15。，NACD=45。，若h、L之间的距离为50m,则A、B之间的距离为()

A.50mB.25mC.(50-^2^1)mD.(50-2573)m

3

11.利用运算律简便计算52x(-999)+49x(-999)+999正确的是

A.-999x(52+49)=-999xl01=-100899

B.-999x(52+49-1)=-999xl00=-99900

C.-999x(52+49+1)=-999xl02=-101898

D.-999x(52+49-99)=-999x2=-1998

12.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2_5»z+3=0有一个根为1,则机的值为

A.1B.3C.0D.1或3

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.关于x的一元二次方程x2-2x+m-l=0有两个实数根，则m的取值范围是.

14.八位女生的体重(单位：kg)分别为36、42、38>40、42、35、45、38,则这八位女生的体重的中位数为kg.

15.如图，菱形ABCD的边AD_Ly轴，垂足为点E,顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y

k

=—（呼0,x>0）的图象经过顶点C、D,若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为

16.函数y==土中，自变量x的取值范围是

x-2

17.已知x+^=6,贝！|—+二=

xx

根据图中信息可知，这7天中最大的日温差

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长60仇根的普通公路，另一条是全长480«根的高速公路，某客车在

高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙

地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.

20.（6分）某商店准备购进甲、乙两种商品.已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价

45元.

⑴若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

⑵若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应

该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润=售价-进价）

21.（6分）在某校举办的2012年秋季运动会结束之后，学校需要为参加运动会的同学们发纪念品.小王负责到某

商场买某种纪念品，该商场规定：一次性购买该纪念品200个以上可以按折扣价出售；购买200个以下（包括200

个）只能按原价出售.小王若按照原计划的数量购买纪念品，只能按原价付款，共需要1050元；若多买35个，

则按折扣价付款，恰好共需1050元.设小王按原计划购买纪念品x个.

（1）求x的范围；

（2）如果按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同，那么小王原计划购买多少个纪念品？

22.（8分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自

行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元

销售7辆获利相同.求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售,

该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获

利最大？最大利润是多少？

23.（8分）如图，AABC内接于。，AB=AC,CO的延长线交A5于点。.

（1）求证：AO平分

3

（2）若BC=6,sinABAC=-,求AC和CD的长.

24.（10分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道

的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的3点间的距离约

为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A,B,C在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂

直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得R4,M与观光船航向的夹角"Q4=18。，

ZDPB=53°,求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长（参考数据：5ml8°~0.31,cosl80~0.95,

tonl8°«0.33,sin53°«0.80»c（?553o«0.60,ton53°«1.33）.

・♦珠潮*K）主tt

25.（10分）已知A、3、C三地在同一条路上，A地在5地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、8两地向正北

方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间f（小时）的函数关系如图所示.

(小时

(1)图中的线段L是(填“甲”或“乙”)的函数图象，C地在5地的正北方向千米处;

(2)谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；

(3)如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度.

26.(12分)如图，AB是。O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分NCAE交。O于点D,MAE±CD,垂足

为点E.

(1)求证：直线CE是。O的切线.

(2)若BC=3,CD=3也，求弦AD的长.

27.(12分)如图，已知A5是。的直径，点C、。在〉。上，/D=60且AB=6,过。点作垂足

为E.

(1)求OE的长；

(2)若OE的延长线交。于点F,求弦AR、AC和弧C尸围成的图形(阴影部分)的面积S.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

把a=l,b=-l,c=-l,代入A=b?-4ac,然后计算/，最后根据计算结果判断方程根的情况.

【题目详解】

a=l,b=-l,c=-1

AZ?2-4ac=1+4=5

•••方程有两个不相等的实数根.

故选A.

【题目点拨】

本题考查根的判别式，把a=l,b=-l,c=-l,代入A=—4"计算是解题的突破口.

2、B

【解题分析】

由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180。后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分

析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.

故选B.

3、B

【解题分析】

试题解析：'：AB=AC,ZA=30°,：.ZABC=ZACB=75°,,.,AB的垂直平分线交AC于。，NA=NA5Z）=30。,

/.ZBDC=6d°,：.ZCBD=180°-75°-60°=45°.故选B.

4、A

【解题分析】

根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求出NA,根据圆周角定理计算即可.

【题目详解】

四边形ABCE内接于。O,

:.ZA=ZDCE=5Q°,

由圆周角定理可得，ZBOE=2ZA=100°,

故选：A.

【题目点拨】

本题考查的知识点是圆的内接四边形性质，解题关键是熟记圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它

相邻的内角的对角）.

5、C

【解题分析】

解”寻？pa"71^=6一垃…回:阿=-回+同':,原式=亚-1+6-垃+…-

^+7100=-1+10=1.故选C.

6、D

【解题分析】

根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2>0,b=l>0可知，一次函数y=2x+l的图象过一、二、三

象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.

【题目详解】

Vk=2>0,b=l>0,

,根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.

故选D.

【题目点拨】

本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.

7、C

【解题分析】

试题解析：A、正六边形的外角和等于360。，是真命题；

B、位似图形必定相似，是真命题；

C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；

D、方程x?+x+l=0无实数根，是真命题；

故选：C.

考点：命题与定理.

8、A

【解题分析】

首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求

得答案.注意此题属于放回实验.

【题目详解】

画树状图如下：

开始

黄白

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果,

4

:,两次都摸到黄球的概率为-,

故选A.

【题目点拨】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回

实验.

9、D

【解题分析】

根据两直线平行，内错角相等可得N3=N1,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得

解.

【题目详解】

解：

/.Z3=Z1=6O°,

:.N2=NA+N3=40°+60°=100°.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的

关键.

10、C

【解题分析】

如图，过点A作于点过点3作BNLOC于点N.则AM=3N.通过解直角△ACM和△3CN分别求得

CM、CN的长度，则易得A3=MN=CM-CN,即可得到结论.

【题目详解】

如图，过点4作4拉，OC于点M,过点8作BNLOC于点N.

贝!|A5=MN,AM=BN.

在直角AACM中，VZACM=45°,AM=50m,：.CM=AM=50m.

BN

在直角△3CN中，•.,N3CN=NAC3+NACZ)=60°,5N=50，"，：.CN==(m),；.MN=CM-CN=50

tan60°63

50A/3/、

------km).

3

则AB=MN=(50-)m.

3

故选C.

【题目点拨】

本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数

学问题.

11>B

【解题分析】

根据乘法分配律和有理数的混合运算法则可以解答本题.

【题目详解】

原式=-999x(52+49-1)=-999x100=-1.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.

12、B

【解题分析】

直接把X=1代入已知方程即可得到关于m的方程，解方程即可求出m的值.

【题目详解】

Vx=l是方程(m-1)x2+x+m2-5m+3=0的一个根，

(m-1)+l+m2-5m+3=0,

:.m2-4m+3=0,

m=l或m=3,

但当m=l时方程的二次项系数为0,

:.m=3.

故答案选B.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的运算.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、m<l

【解题分析】

根据一元二次方程有实数根，得出A20,建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.

【题目详解】

解：由题意知，△=4-4(m-1)>0,

m<l,

故答案为：m<l.

【题目点拨】

此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式小的关系：△>0,方程有两个不相等的实数根；△=0,

方程有两个相等的实数根；△<0,方程没有实数根是本题的关键.

14、1

【解题分析】

根据中位数的定义，结合图表信息解答即可.

【题目详解】

将这八位女生的体重重新排列为：35、36、38、38、40、42、42、45,

则这八位女生的体重的中位数为言竺=lkg,

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据个数是奇数或偶数来确定中位数，如果数据有

奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数.

【解题分析】

过点D作DFLBC于点F,由菱形的性质可得BC=CD,AD〃BC,可证四边形DEBF是矩形，可得DF=BE,DE

=BF,在RtADFC中，由勾股定理可求DE=1,DF=3,由反比例函数的性质可求k的值.

【题目详解】

如图，过点D作DFLBC于点F,

V四边形ABCD是菱形，

.,.BC=CD,AD/7BC,

VZDEB=90°,AD〃BC,

.,.ZEBC=90°,且NDEB=90。，DF1BC,

二四边形DEBF是矩形，

.•.DF=BE,DE=BF,

•点C的横坐标为5,BE=3DE,

.".BC=CD=5,DF=3DE,CF=5-DE,

VCD2=DF2+CF2,

.\25=9DE2+(5-DE)2,

.\DE=1,

；.DF=BE=3,

设点C(5,m),点D(Lm+3),

k

•.•反比例函数y='图象过点C,D,

X

:.5m=lx(m+3),

3

/.m=—,

i3

.,.点C(5,-),

4

故答案为：—

4

【题目点拨】

本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键.

16、xRl

【解题分析】

解：・・,》==三有意义，

x-2

Ax^l;

故答案是：/1.

17、34

【解题分析】

,•*xH—=6,/.X2H—z-=f%+——2=62—2=36—2=34>

XX-(XJ

故答案为34.

18、11.

【解题分析】

试题解析：•••由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差

=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃-5℃=8℃；周六的日温差=15℃-71℃=8℃；周日的日温差

=16℃-5℃=11℃,

...这7天中最大的日温差是ire.

考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19>4小时.

【解题分析】

本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A地道5的速度=客车由普通公路的速度+45,列出方程，解出检

验并作答.

【题目详解】

解：设客车由高速公路从甲地到乙地需X小时，则走普通公路需2x小时,

600m480

根据题意得:——+45=——

2xx

解得x=4

经检验，x=4原方程的根，

答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时.

【题目点拨】

本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.根据速度=路程;时间列出

相关的等式，解答即可.

20、(1)商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件；(2)应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润

最大，最大利润为900元.

【解题分析】

(1)设购进甲、乙两种商品分别为x件与y件，根据甲种商品件数+乙种商品件数=100,甲商品的总进价+乙种商品

的总进价=2700,列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值，得到购进甲、乙两种商品的件数；

(2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100-a)件，根据甲商品的总进价+乙种商品的总进价小于等于3100,

甲商品的总利润+乙商品的总利润大于等于890列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，得到a的取值范围，根

据a为正整数得出a的值，再表示总利润W,发现W与a成一次函数关系式，且为减函数，故a取最小值时，W最

大，即可求出所求的进货方案与最大利润.

【题目详解】

⑴设购进甲种商品x件，购进乙商品y件，

根据题意得：

x+y=100

[15尤+35y=2700

x=40

解得：

y=60'

答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件;

⑵设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100-a)件,

根据题意列得:

+35（100-tz）<3100

5a+10（100-。）2890

解得：20<a<22,

•.•总利润W=5a+10(100-a)=-5a+1000,W是关于a的一次函数，W随a的增大而减小,

.•.当a=20时，W有最大值，此时W=900,且100-20=80,

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元.

【题目点拨】

此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系及不等关

系是解本题的关键.

21、(1)0<x<200,且x是整数(2)175

【解题分析】

(1)根据商场的规定确定出x的范围即可;

(2)设小王原计划购买x个纪念品，根据按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同列出分式方程,

求出解即可得到结果.

【题目详解】

(1)根据题意得：OVxMOO,且x为整数;

(2)设小王原计划购买x个纪念品,

1050仁1050，

根据题意得:------x5=--------x6，

xx+35

整理得：5x+175=6x,

解得：x=175,

经检验x=175是分式方程的解，且满足题意,

则小王原计划购买175个纪念品.

【题目点拨】

此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系“按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同”

是解本题的关键.

22、(1)进价为1000元，标价为1500元；(2)该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元.

【解题分析】

分析：(1)设进价为x元，则标价是L5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5xx0.9x8-8x,

将标价直降100元销售7辆获利是(1.5x-100)x7-7x,根据利润相等可得方程1.5xx0.9x8-8x=(1.5x-100)x7-7x,再

解方程即可得到进价，进而得到标价;

(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量x每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方

法求最值即可.

详解：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得:

1.5xx0.9x8-8x=(1.5x-100)x7-7x,

解得：x=1000,

1.5x1000=1500(元)，

答：进价为1000元，标价为1500元；

(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：

w=(51+—x3)(1500-1000-a),

20

3

------(a-80)2+26460,

20

3

V--<0,

20

当a=80时,w最大=26460,

答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元.

点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系

式，进而求出最值.

23、(1)证明见解析；(2)AC=3jI6，CD=||,

【解题分析】

分析：(1)延长AO交BC于H,连接BO,证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AOLBC,再由等腰三角形

的性质即可得出结论；(2)延长CD交。O于E,连接BE,则CE是。。的直径，由圆周角定理得出NEBC=90。，

ZE=ZBAC,得出sinE=sinNBAC,求出CE=?BC=10,由勾股定理求出BE=8,证出BE〃OA,得出空=型，

3BEDE

259011

求出OD=—,得出CD=—，而BE〃OA,由三角形中位线定理得出OH=—BE=4,CH=-BC=3,在RtAACH中，

131322

由勾股定理求出AC的长即可.

本题解析：

解：⑴证明：延长AO交BC于H,连接BO.

VAB=AC,OB=OC,

；.A,O在线段BC的垂直平分线上..，.AO，BC.

又；AB=AC,...AO平分NBAC.

(2)延长CD交。。于E,连接BE,则CE是。O的直径.

/.ZEBC=90°,BC±BE.

VZE=ZBAC,：.sinE=sinZBAC.

ACE=-BC=10.

(I*S1

・・・BE=、/cFBC=8,OA=OE=；CE=5.

VAH±BC,ABE//OA.

5

--

BDx

解得OD=M.，CD=5+K=n.

VBE/7OA,BPBE#OH,OC=OE,工OH是△CEB的中位线.

...OH=!BE=4,CH=-BC=3....AH=5+4=9.

在RtAACH中，AC=>/AH?ICH3^^I32=35/io.

图2

点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数及圆的有关计算，(1)中由三线合一定理求解是解题的关键，

(2)中由圆周角定理得出NEBC=90。，ZE=ZBAC,再利用三角函数及三角形中位线定理求出AC即可，本题综合

性强，有一定难度.

24、5.6千米

【解题分析】

设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在RtAPAD中利用正切的定义得到tanlS*2，即y=0.33x,同样在RtAPDB

中得到y+5.6=1.33x,所以0.33x+5.6=l.33x,然后解方程求出x即可.

【题目详解】

设PD的长为x千米，DA的长为y千米，

〜4DA

在RtAPAD中，tanNDPA=-----,

DP

即tanl8°=—,

x

/.y=0.33x,

.,,64x（5.6g-%）

在RtAPDB中，tanNDPB=------------------,

56

y+5.6

即tan53°=----------,

x

,*.y+5,6=1.33x,

.•.0.33x+5.6=L33x,解得x=5.6,

答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米.

【题目点拨】

本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问

题的答案，再转化得到实际问题的答案.

34

25、（1）乙；3；（2）甲先到达，到达目的地的时间差为一小时；（3）速度慢的人提速后的速度为彳千米〃卜时.

【解题分析】

分析：

（1）根据题意结合所给函数图象进行判断即可；

（2）由所给函数图象中的信息先求出二人所对应的函数解析式，再由解析式结合图中信息求出二人到达C地的时间

并进行比较、判断即可得到本问答案；

（3）根据图象中的信息结合（2）中的结论进行解答即可.

详解：

（1）由题意结合图象中的信息可知：图中线段（是乙的图象；C地在B地的正北方6-3=3（千米）处.

（2）甲先到达.

设甲的函数解析式为s=股，则有4=f,

s=4f.

当s=6时，t=—.

2

设乙的函数解析式为s=〃f+3,则有4="+3,即n=l.

•••乙的函数解析式为s=f+3.

/.当s=6时，Z=3.

33

二甲、乙到达目的地的时间差为：3一一=-（小时）.

22

（3）设提速后乙的速度为v千米〃J、时，

,/相遇处距离A地4千米，而C地距A地6千米，

,相遇后需行2千米.

又•••原来相遇后乙行2小时才到达C地，

...乙提速后2