安数省合肥2024届高三年级下学期最后一卷数学含答案

绝密★启用前

合肥六中2024届高三最后一卷

数学

考生注意：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

郑

一、选择题:本题共8小题,卷小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

J,设全集。=&集合M=34<2},N=\x\-2<«<3|，则二

A.%（MUN）B.NU（C〃M）C.C〃（Mn/V）D.AfU（C^/V）

2已知复数z满足区l-z22+i,则z=

BY+i3.

rc?-】

4

3.已知向量a=(2,/)9b=(1,2)，若当t时・b=lol•Ibl,当£="时则

&八=-4,i=-1B.与=-4,t=1

黑22

C.a=4,z=-1D.fj=4,^2=1

喝,c喝，则

4.已知函数f(%)=ln%+ln(2-%),记G,b

K.b>a>cB.6>c>aC.c>b>aD.c>a>6

5.记的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,若b=2,率=吧、+嗯2獭=尿，则

ba+c

I嬴I可能是

12

A.yB-YC.1D.2

“2”2

6.已知椭圆a：与+/=i（次>1）与双曲线c?内-/=1（九>0）的焦点重合,与,与分别为

mn

a,cz的离心率，则

A.6^2>2B.+e2>2€1・0<6遇2<2D.0<61+e2<2

数学试题第1页（共4页）

7.已知等差数列I%|的公力为九前〃顶和为，5“，N2,数列I房涉星b=J则卜.列舟弋不

^nn•

可•能•成立的足

A.b4~~bj/B.2b4=b]4,bftC.2a4—/z?+I).=a?.〃医

8.已知两个不同的阴CI9C2均过定点4(%〃)，且阴IC；9C2均叮x轴J轴和切，则例G9阴

C2的半径之积为

A.\ab\B.2|a6|C,+b2D,巴卢

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

.9.近年来，合肥汽车产业处在高速发展阶段，新能源赛道尤为突出，被工业和信息化部批选为

全国唯一新能源汽车产业链供应链生态体系建设试点市.某专业机构评定新能源汽车品质

优秀的一个指标为“某地区连续14天每天发生故障的车辆不超过7台”.根据该地区过去

14.天甲、乙、丙、丁四种品牌新能源车辆故障数据，可知一定符合该品质优秀指标的是

A.甲品牌:平均数为4,极差为4B.乙品牌:平均数为1，标准差大于0

C.丙品牌:平均数为2,方差为2D.丁品牌:中位数为2,众数为3

10.已知指数函数/(%),g(%)，从功的底数分别为6,%则下列说法正确的是

A.当向=1时，函数w(#)=/(%)+g(%)无极值点

B.在指数衰减模型y=0*(%)中,.设原有量为版力>0),经过4次衰减，该垃衰减到小则每

次衰减率为1-a

C.若a,b,c是三角形的三边长，则三与GR,使得/(夕)逃(“)，以4)不能构成一个三角形的

三边长

D.若a,b,c是三角形的三边长，且。所对的内角是该三角形的最大内角，则V%w

(-8,1)J(%)+g(夕)-h(x)>0

1L记正四棱柱为。，截面7将正四棱柱。分成两部分，点E,F,G,/7分别

在棱曲网,CGM上，且ETUT,GHUT,记|蕊|=a,|BF|=6,|CG|=c,|DH|=d、

则下列说法正确的是

A.四边形EFCH为矩形

B.a-d=b-c

C,若截面r是有一个角为60。的菱形4FC|H,则截面7与C的底面夹角的正弦值为号

D.若。的侧棱长为3,设a,6,csN,则在确定的空间直角坐标系中，不同的点M(a,b,c)

共42个

数学试题第2页(共4页)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.从5男2女共7名志愿者中选出队长1人,副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队,

要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.(用数字作答)

13.已知四面体ABCD的体积是匕棱4B的长是c,A4BC和的面积分别是S,和S2.设

平面和平面的夹角为明若匕贝

ABC/1B0sina=cljStS2=

14.在平面直角坐标系中，已知动点4和C,定点3(3,0)和M(2,2),若|BC|=6,且△48C的

周长恒为16,则|月期+|,|的最小值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

某商场零食区改造.如图，原零食区是区域ODBC,改造时可利用部分为扇形区域已

知40cB=NCOA=果OC=10后米,=10米，区域08C为三角形，区域048是以04

为半径的扇形，且440。二£.

O

(I)若需在区域04BC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；

(n)在区域04。中,设置矩形区域作为促销展示区，求促销展

示区的面积S的最大值.

16.(15分)

春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节.某校高二年级某组团统计了

流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：

(I)完成2x2列联表，并依据a=0.001的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同

学中发烧的人数有影响.

(U)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为40%,且20%的因发烧请暇的

男生需要输液治疗,30%的因发烧请假的女生需要输液治疗.学校随机选择一名因发

烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率.

附.2___________几(ad-6c)2___________

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d).

a0.050.010.001

4a3.8416.63510.828

数学试题第3页(共4页)

Z(15分)

图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知

该接收器的口径48=4后,深度M0=2,信号处理中心尸位于抛物线的焦点处，以顶点。

为坐标原点,以直线OF为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系xOy.

(I)求该抛物线的方程；

(n)设Q是该抛物线的准线与%轴的交点，直线I过点Q,且与抛物线交于R,S两点，若

线段RS上有一点P,满足耨•二圈，求点尸的轨迹方程.

§.(0分)

如图所示，在长方体ABCD-A禺G，中,4。=1,也|=0=2/为棱0,的中点.

(I)若P是线段BM上的动点，试探究:乖•不是否为定值？若是,求出该定值;否则,

请说明理由.

(见)过4M作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.

).⑴分)

已知函数/(%)=a(l-21nx)+4^6(aeR).

(I)讨论/(”)的单调性；

(H)若町产2(%1*%2)为函数g(")=肠2+[-lnx的两个零点，求证:(少卢2)，＞12e,.

x

数学试题第4页(共4页)

合肥六中2024届高三最后一卷

数学•答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号12345678

答案ADCBCBDC

1.答案A

解析由留意得I"㈤<3|•所以C〃（MUN）=lxlx^3|.

2.答案I）

解析设z=“+似明丘R）,则由巳知得"加=2+i,由实部、虚部分别相等解得-I.

3.答案C

解析当，=L时/与b方向相同.得/|=4；当/=/2时•b=0.得4=-L

4.答案B

解析/⑴=1。（2》-〃）在区间（0.1）上单调递增,在区间（1.2）上单调递减.且/（4）的图象关于止线.”1对

称，又0<亨<¥<与<1,所以彳.</（空］/停），又《与应刖2-舒=4周,故6>c>a.

5.答案C

解析由巳知得b=2,B=^,设△M3C的外接圆圆心为。则动点B的轨迹为优弧4C（不包括点A、点C）,设

Z_M03=0（0<6W”），则加是关于。的函数,且是增函数•当6:m即BO/V三点共线时,最大.此时

BM=OM+OB=2±衿.当H时AM.即.所以阿I的取供他觇为信.等斗

6.答案B

解析由已知得“I2-1=n2+1,-y+-y=+2]="7/=2•由-y+-y>

e\m-1n+1mF-1n+1m-1e\e\c\^i

丁

彳，又当:与,马二亨时当。=.当.与丘时,

4cle2>।+%>2/eg>2,q4/纣<2e]=21J?1:2eg=

8ZiT」

7.答案I)

解析若〃：-“2%=(“I+3d)2-(“I+</)(«1+7")=2f/(f/-«1)=0,则d=0或d=0,与已知矛盾，另外

可得I（卜也足等差数列,经脸证知选项A.B,C能成立.

8.答案C

解析当点/1在第一象限时,阴6n2的方程为(”-「)2+()，-"=/(r>0)的形式,代入点/1(小))的坐标,

可得关于r的方程，-2("+〃),+/+川=0.阴G，C?的半径。，勺是该方程的两个不同实根，所以=«24

户同理，当点/1在第二、三、四象限时也可得”=«2+尻

当点4在y轴上时,〃二0•此时圆G.C2的阴心分别位于第一、二象限(或笫三、四象限)，两例在4点处相切，且

2222

0=/2=BI.满足0/2=必=«+和同理.当点4在X轴上时》=0,同样满足rtr2=a=a+1).

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6

分，部分选对的得部分分,有选错的得0分.

题号91011

答案ACBCDBCD

9.答案AC

解析选项A正确,若最大数不小于8•则最小数不小于4,平均数大于4,与已知矛府符合条件的例子：1个2,

1个6,其余数均为4.

选项B错谡，反例：1个6.1个8,其余数J为0.

选项C正确,若有一个数据。不小于于8(0-24=36,与力2矛M•.符合条件的例子：0,0,0,1,1,2,2,2,

2.3,3,4,44

选项D错误，反例：1,1.1.1,2,2,2,2,3,3,3.3,3.9.

10.答案BCD

解析选项A错误,当向=1时,函数夕(“)=/(幻+g(x)=«*+«・为倡"数，当时,求导可得函数3(")

在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单.谢递%#=0为其极小值点,同理当0<。<1时,#=0为其极小

值点.

选项B正确,由相关概念可知.

选项C正确,a=4,6=16.c=16,x=满足条件.

选项I)正确，由已知得人,〃+/>>*/+/-c*=c[(/-)+(-1]，设"(其)=(?-)+(9")-

1,则p(i)是减函数，又p(l)二2+2-1="+j>0,所以V--00J),p(x)>0,又c‘>0,故V4G

CCC

(-8,!)/(«)+g(x)-h(x)>0.

1】•答案BCD

解析选项A错误,四边形EFG”为平行四边形.

则B正确，设£GC":/\4CC8〃=Q,5!I]|B|二J(|成|+|瓦|)=。(|济|+|品|),所以a+c=6+d,即

a-d-b-c.

选项C正确•计算可得.

选项D正确，由选项B知.a+c=b+d,设a+c=b+d=f/e[1,2,3,4,51,当1=1时,0的取值有2种可能,6

的取值有2种可能，所以点时(aAc)有2x2=4个；当f=2时,a的取值有3种可能,6的取值有3种可能，所

以点的(。Ac)有3x3=9个;当£=3时，点M(a,6,C)有4x4=16个;当，=4时，点M(a”,c)有3x3=9个;

当/=5时，点M(a,b,c)有2x2=4个，故不同的点M(a,6,c)共42个.

—2—

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

3

2

12.答案360

解析C；A；-C；A”360.

13.答案y

解析设三棱锥的高为心则十・&•&=匕所以J氏，设△4BD的边48上的高为儿，则3•・凡・

c=S，所以儿;也■，所以sina=；二篇!，又sina=c匕所以S】S?=.

2Ctl।23132乙

14.答案6

解析由题意知，点。在以B为圆心.6为半径的圆上运动，点4在以B,C为焦点，长轴长为10的椭圆上运动

（长轴两端点除外）.为方便计算，可将8,C视为定点,则点M在以8为圆心,6为半径的圆上运动，以3c的

中点。为坐标原点，直线8。为工轴建立如图的直角坐标系，设点3（3,0）和。（-3,0）,则点4的轨迹方程为

喘+2=1（欠X±5）,由图可知|4川+\AM\^18Ml=6,当AM,B三点共线时（4在8,M之间或4M重

231O

合），等号成立.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解析（I）因为。。=104,8。二10,乙。，8二手,

所以乙BOC=*,OB=JO+（10有）2=20,（2分）

贝ij6M=20,4804==一多二多,

263

⑰的长为（5分）

所以广告带的总长度为。4+。。+8，+/=（30+106+等）（米）.

（6分）

（U）如图，连接。尺设乙/。4=40＜。＜2）.

—3—

因为。尸二20,所以/7=C，=20sin8,O/=20cos。，............................................（8分）

因为乙40。=《,所以OG=q-=206sin仇

O1T

所以a=20cos”204sin&.............................................................（9分）

所以5=（20cos6-20万sin0）-20sin0

=400sin8cos。-400万§百。

=200[sin2。-6（I-cos20）]

=2叫2sin（2C+学）-有卜.........................................................（Il分）

因为2。+年w（年,孕），所以SW200（2-3）=400-200有，

当2。+母=冷，即”吉时取得最大值.

所以促销展示区的面积S的最大值为（400-2004）平方米.（13分）

16.解析（I）零假设为〃。：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立...................（I分）

完成列联表如下所示.

因发烧请假非发烧请假合计

流感暴发前102030

流感暴发后301040

合计403070

1

..........................................................................................（4分）

根据列联表中的数据，经计算得

270x（100-600）2875_合

X=30x40x30x40=72-'153>10,828.（7分）

所以也不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响.......................（8分）

（H）设A事件表示请假的同学为女生事件表示需要输液治疗，..............................（9分）

・

则*B）=°（/⑻=P（Q=0J8=2（14分）

P（B）p（B\A）•P（A）+P（B\A）•P（A）0.18+0.0813,

所以这名同学是女生的概率为誉..........................................................（15分）

1Z解析（I）设抛物线的方程为丁=2/（〃>0）.

因为|4川=46，|M0|=2,所以点/1（2,2有）在抛物线上,..................................（3分）

所以12=4〃，故〃:3,

所以抛物线的方程为6工.............................................................（6分）

（（）由（I）知4-y.0）.设直线=阳,力）,S（々,%），P（明力，

由「二A（X+T）'可得好/十小川一6）工+点必=0,.........................................（7^）

/=6x,

由A>0,得-1<4<1,且30,

—4—

6a9（分）

+x27-3,阳上=彳・9

由微耦，可得U

（U分）

2与犯+5-（祈+#2）T+^T-Ta

整理得#=------—=^—7―£=4-......................................................................................（13分）

加+上+32

V

又y=*[+今）=3n（-3,0）U（0.3）,

所以点P的轨迹方程为4=/（-3<y<3且yKO）........................................................................（15分）

18.解析（I）因为M是。。的中点，所以DM=5M=I,

所以=立,BM=&=2&,.......................................................................................................（2分）

因为/1/2+8力=4加，所以...................................................（4分）

又点P在线段8M上,所以向员:不住词上的投影向情为而由................................（5分）

故痛•不二|常/=2,为定值..........................................................（6分）

（fl）设球心为。，外接球半径为H.最小截面训的半径为r.

由已知可得/?="+/■，则力大的俄而面积为一=竽.............................（8分）

以D为坐标原点,以,0C,0"所在直线分别为端），,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则。（1,1,1）做1,0,2）刚0,0,1）・..................................................................................................（9分）

取4=。以=（-；-I,0）,〃=-^^-=亨（-1,0,-1）,则V・〃=冬.................（II分）

\2）MM244

所以点0到宜线4M的距・离为//-（°・“）2:手,......................................（13分）

即点。到过4M的截而的距尚最大值为苧.

所以过4M的及小截而阴的半径r=噌工平...............................（於分）

因此最小的截而面积为府=粤,

O

—5—

综上，截面面积的取值范围是［与，竽｝...................................................（17分）

19.解析（I）f（x）=24?~—=2（12—"fl\xe（0+oo）......................................

t（2分）

4X-

当awo时，⑺>o,则/w在（o,+8）上单调递增..........................................（4分）

当。>0时，令，（比）=0,得/=*，解得当/'（”）>0时，当/'（4）<0时.0<”<.所

I4

以/（a）在（0,卷）上单调递减,在（保，+8）上单调递增.................................（7分）

综上:当。W0时4力）在（0.+8）上单调递增；当“>0时JG）在（0,第）上单调递减，在（苏，+8）上

单调递增...............................................................................（8分）

（II）设0<加<#2，则g（.其।）=A*+I-In修=0.阀（以）=辰；+L•Ina=0.

%叼

所以心呼■-』二号

（9分）

阳町电x2

InxtInx

In阳卜勺_I1心x：-VAI

历以2-2一4-4一/、一•4-.、（11分）

即XiX）x2（右熊）xtXj（马4）

InX|In以

.d'

记t4=12c4,要证（所的）'>12c4,只需证7>-1,只需证

（阳诙）/

ifhiR：In卷后

只需1正一+一<一+子.

X।I4?t

记/«）=4+4，."（0,+8）.则/⑶=’"」**讨（13分）

i己伊（式）=「（1-2lnx）+446w（0,+8）,

由（1）可知，取〃=，'>0,则与.......................................（14分）

所以夕⑷在（0高）上单.调递减,在（仔，+8）上单调递增，所以3⑴*=3（c+）=/4（i-y）+4e4=12e4«

4

（-y）+4e=0,（16分）

所以伊⑴三奴导）=0,即/⑷N0,所以M#）在（0,+8）上单.调递增，又0〈阳<的，所以M0）<似42），所

以（的看厂>12屋成立...................................................................（17分）

—6—

合肥六中2024届高三最后一卷

数学-命题报告

一、试题基本信息

I.考查内容：高考考查的全部内容；

2.试卷形式：单项选择题（8）+多项选择题（3）+填空题（3）+解答题（5）.命题风格贴近新高

考全国卷的命题风格,并结合学生实际情况，调控试题整体难度为中等；

3.考查目标：查漏补缺，帮助学生适应考查环境，树立信心。

二、试题简评

1.本试卷注重基础知识、基本方法的全面考查.如第1题考查集合的运算；第2题考查复数的四则运

算：第3题考查平面向量的关系与运算；第12题考查分类和分步计数原理的应用；第16题考查独立性检

验的应用以及条件概率的计算。

2.本试卷在考查基础知识的同时，注重知识方法的综合性要求，考查学生的能力与核心素养.如：

第4题考查利用函数的性质比较大小，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力：第7题考查等差数列

及其前n项和的性质，学生需要针对选项的式子，研究数列的首项与公差需要满足的关系，考查学生逻辑

推理的核心素养；第17题考查抛物线的几何性质、抛物线与直线的位置关系，考查学生的逻辑推理、数

学运算以及直观想象的核心素养。

3.本试卷以现实生活中的问题为背景设置试题，突出了数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价

值.如：第9题以近几年新能源汽车高速发展为背景，考查统计中的基本概念，平均数、极差、方差、中

位数、众数等概念；第15题以平面设计为题材;考查三角函数、以及相关几何知识的综合应用，考查函

数思想，考查学生的应用意识。

4.本试卷突出思维品质考查的要求，强调思维过程和思维方式，体现了高考改革的新方向，如第14

题涉及“动椭圆”问题，通过坐标系的转化可以将问题变成常规的椭圆问题；第17题考查向量的数量积

为定值、截面面积的范围等问题，需要通过分析将其转化为垂直关系的证明以及空间距离的计算问题。

三、多维细目表

题号考查核心素养核心素养表现核心素养水平难度值分值题型备注（原创题）

1数学运算求得运算结果一级0.95选择原创题

掌握运算法则求得运

2数学运算一级0.85选择原创题

算结果

掌握推理基本形式和

3逻辑推理一级0.75选"原创题

规则

4逻辑推理发现问题和提出命题二级0.75选择原创题

数学运算、逻辑推探究运算思路、探索

5二级0.655选择原创题

理、直观想象和表述论证过程

逻辑推理、数学建发现和提出问题、建

6二级0.65选择原创题

模立和求解模型

数学运算、逻辑推探索和表述论证过

7二级0.65选择原创题

理、数学建模程、检验和完善模型

提出数学命题和模

数学抽象、逻辑推

8型、掌握推理基本形二级0.555选择原创题

理

式和规则

理解和处理数据、获

9数据分析二级0.656选择原创题