2023年安徽省合肥市庐阳区寿春中学中考数学一模试卷

2023年安徽省合肥市庐阳区寿春中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.（4分）（2020•龙口市模拟）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）

A.

2.（4分）（2023•五华县一模）将抛物线y=3/-2先向右平移3个单位长度，再向下平移

2个单位长度得到的新抛物线解析式为（）

A.y=3（x+3）2-4B.y=3（x-3）2

C.y=3（x-3）2-4D.y=3（x+3）2

3.（4分）（2023•庐阳区校级一模）若双曲线y=?的图象的一支位于第三象限，则上的

取值范围是（）

A.k<lB.k>\C.0<k<lD.

4.（4分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3,1）,则

sina的值为（）

5.（4分）（2023•庐阳区校级一模）制作一块3机义2加长方形广告牌的成本是120元，在每

平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后

长方形广告牌的成本是（）

A.360元B.1080元C.720元D.2160元

6.（4分）（2021•汉台区一模）如图，△ABC内接于OO,8。是的直径.若/DBC=

33°,则等于（）

7.（4分）（2022•梧州）如图，OO是△ABC的外接圆，且AB=AC,ZBAC=36°,在油上

取点D（不与点A,8重合），连接AD,则NA4D+NABZ）的度数是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

Ak

8.（4分）（2022•包河区一模）如图，点A在双曲线尸“龙>0）上，点8在双曲线产左（尤

>0）上，AB//xft,分别过点A、8向x轴作垂线，垂足分别为。、C,若矩形ABC。

9.（4分）（2018•定兴县二模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口。的值

应是（）

2V3

A.25/3cmB.y[3cmC.-----cmD.\cm

3

10.（4分）（2021•蚌埠一模）如图，半圆O的直径AB长为4,C是弧AB的中点，连接CO、

CA、CB,点尸从A出发沿A-OfC运动至C停止，过点尸作尸ELAC于E,PFLBC

于尸•设点P运动的路程为无，则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为（）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.（5分）（2023•庐阳区校级一模）已知线段。=9,6=4,则线段a和b的比例中项为

12.（5分）（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面OO的直径BC=6,高。4=4,则该圆锥

的侧面展开图的面积为

13.（5分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB,8c是以AC为直径的。。的两条弦，延长

AC至点D,使CD=BC,则当N£>=15°时，AD与AB之间的数量关系为：AD

AB.

0D

A

B

14.（5分）（2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，已知矩形O4BC中，点A（0,

3）,C（4,0）,点E、。分别是线段OC、AC上的动点，且四边形OEFB也是矩形.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

2

15.（8分）（2022•天宁区模拟）计算：2tan45°—.lno—2sin60°.

16.（8分）（2023•庐阳区校级一模）如图，A8为0O的直径，弦于点E,若AB

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.（8分）（2023•庐阳区校级一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救

援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧地面上探测点42相距2

米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深

度.（参考数据：度-1.414,旧21.732,结果精确到0.1）

18.（8分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在O。中，直径为MN,正方形ABCD的四个

顶点分别在半径OM、OP以及上，并且/尸OM=45°.

（1）若AB=2,求尸。的长度;

（2）若半径是5,求正方形A3C。的边长.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（10分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AABC

的顶点A在格点上，2是小正方形边的中点，ZABC=50°,ZBAC=3Q°,经过点A,

B的圆的圆心在边AC上.

（1）线段的长等于

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点£>,使其满足的度数小

于/ACB的度数，并说明理由;

（3）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P,使其满足/必C=NP8C

NPCB,并简要说明点尸的位置是如何找到的（不要求证明）

20.（10分）（2023•庐阳区校级一模）如图，四边形ABCD内接于对角线AC是。O

的直径，CE与相切于点C,连接交AC于点P.

（1）求证：ZDCE=ZDBC；

（2）若CE=V5,AD=4,求tanZABD的值.

21.（12分）（2023•庐阳区校级一模）如图，A2是半圆。的直径，点C在半圆上，点。在

AB上，S.AC=AD,OC=8,弧BC的度数是60°.

（1）求线段OD的长；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和TT）.

22.（12分）（2023•庐阳区校级一模）如图，抛物线y=a?+6x-3过点A（-1,0）,B（3,

0）,且与y轴交于点C,点E是抛物线对称轴与直线的交点

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：BE=2CE；

（3）若点尸是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为X,以点2、E、P为顶

点的△2E尸的面积为S,求S关于x的函数关系式，并求S的最大值.

八、（本题满分14分）

23.(14分)(2023•庐阳区校级一模)【问题提出】如图1,AB为。。的一条弦，点C在弦

所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道NACB的度数不变.爱动脑筋的小

芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个

确定的圆上运动呢？

【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究.如图2,若AB=4,

线段AB上方一点C满足NAC2=45°,为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造

了一个再以点。为圆心，04为半径画圆，则点C在OO上.后来小芳通过

逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论.即：若线段的长度已知，NACB的

大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模

型称之为“定弦定角”模型.

【模型应用】

(1)若AB=6,平面内一点C满足/ACB=60°,若点C所在圆的圆心为。，贝IJ/A08

=，劣弧AB的长为.

(2)如图3,已知正方形ABC。以A3为腰向正方形内部作等腰△A2E,其中

过点E作EF1AB于点F,若点P是Z\AEF的内心.

①求N3PE的度数；

②连接CP,若正方形ABCO的边长为4,求CP的最小值.

图1图2图3

2023年安徽省合肥市庐阳区寿春中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.（4分）（2020•龙口市模拟）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

2、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

D,不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C.

2.（4分）（2023•五华县一模）将抛物线y=3f-2先向右平移3个单位长度，再向下平移

2个单位长度得到的新抛物线解析式为（）

A.尸3（尤+3）2-4B.y=3（x-3）2

C.y=3（x-3）2-4D.y=3（x+3）2

【分析】由抛物线y=3/-2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位可得y=3

（x-3）2-2-2.

【解答】解：将抛物线>=3/-2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度

得到的新抛物线解析式为y=3（尤-3）2-2-2=3（x-3）2-4,

故选：C.

3.（4分）（2023•庐阳区校级一模）若双曲线>=?的图象的一支位于第三象限，则左的

取值范围是（）

A.k<lB.k>lC.0<%<1D.%W1

【分析】反比例函数的图象是双曲线，当上＞0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,

在每一象限内y随X的增大而减小.

【解答】解：•.•双曲线y=?的图象的一支位于第三象限,

：.]-k>0,

“<1；

故选：A.

4.（4分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中,点A坐标为（3,1）,则

sina的值为（）

V10V103V10

A.-B.-----C.—D.-------

310310

【分析】过点A作A3,尤轴，根据点A的坐标得到。4,再根据正弦的定义可得答案.

【解答】解：过点A作轴,

•••点A坐标为（3,1）,

：.AB=1,OB=3,OA=Vl2+32=V10,

..AB1y/10

••sina=ol=7^=3o--

故选：B.

5.（4分）（2023•庐阳区校级一模）制作一块3mX2机长方形广告牌的成本是120元，在每

平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后

长方形广告牌的成本是（）

A.360元B.1080元C.720元D.2160元

【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案.

【解答】解：.••将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,

面积扩大为原来的9倍，

...扩大后长方形广告牌的成本为：120X9=1080（元）.

故选：B.

6.（4分）（2021•汉台区一模）如图，△ABC内接于O。，8。是O。的直径.若/DBC=

33°,则NA等于（）

A.33°B.57°C.67°D.66°

【分析】连接CD,如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到/BCD=90°,

则利用互余可计算出/。=57°,然后根据圆周角定理即可得到/A的度数.

【解答】解：连接CD,如图，

•••8。是。。的直径，

AZBCD=90°,

而/。BC=33°,

?.ZZ）=90°-33°=57°,

?.ZA=ZP=57°.

故选：B.

7.（4分）（2022•梧州）如图，。。是△ABC的外接圆，S.AB=AC,ZBAC=36°,在福上

取点。（不与点A,B重合），连接BO,AD,则/BAQ+/ABD的度数是（）

A

C.72°D.73°

【分析】利用等腰三角形的性质可得NABC=NC=72°,从而利用圆内接四边形的性质

可求出/。=108。，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答.

【解答】解：ZBAC=36°,

AZABC=ZC=72°,

"/四边形ADBC是圆内接四边形，

AZD+ZC=180°,

AZD=180°-ZC=108°,

AZBAZ）+ZABr>=180°-Z£>=72°,

故选：C.

8.（4分）（2022•包河区一模）如图，点A在双曲线（x>0）上，点B在双曲线y=g（无

>0）上，AB〃x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为。、C,若矩形ABC。

的面积是15,则左的值为（）

ODC

A.21B.18C.15D.9

【分析】延长BA交y轴于E,根据反比例函数上的几何意义即可求出左的值.

【解答】解：延长54交y轴于E,如图所示：

则有S矩形BCOE=\k\,S矩形ADOE=\6\=6,

・・•矩形ABC。的面积为15,

:・S矩形5cOE-S矩形AOOE=15，

即因-6=15,

•・,左＞0,

：.k=21.

故选A.

9.（4分）（2018•定兴县二模）如图，正六边形螺帽的边长是这个扳手的开口〃的值

【分析】根据正六边形的内角度数可得出/1=30°,再通过解直角三角形即可得出匕

2

的值，进而可求出。的值，此题得解.

【解答】解：,・,正六边形的任一内角为120。，

AZ1=30°（如图），

.1

...—Q=2COSN1="3,

2

：,a=2W.

故选：A.

10.（4分）（2021•蚌埠一模）如图，半圆。的直径A3长为4,C是弧A3的中点，连接CO、

CA、CB,点尸从A出发沿A-O-C运动至C停止，过点尸作PE_LAC于E,PFLBC

于凡设点P运动的路程为x,则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为（）

【分析】根据RtZ\ABC中，ZACB=90°，AC=BC=2a,可得AB=4,根据COJ_AB

于点0.可得AO=2O=2,CO平分NACB,点尸从点A出发，沿A-O-C的路径运动,

运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE_LAC,PFLBC,可得四边形CEP尸是矩形

和正方形，设点尸运动的路程为无，四边形C或步的面积为y,进而可得能反映y与x之

间函数关系式，从而可以得函数的图象.

【解答】解：:•在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=2A/2,

：.AB=4,ZA=45°,

：CO_L43于点O,

：.AO=BO=2,

,JPELAC,PFLBC,

，四边形CERF是矩形,

：.CE=PF,PE=CF,

•••点尸运动的路程为x,

・・・当点P从点A出发，沿A一。路径运动时，

即0<xV2时，

AP=x,

则AE=P石=搭％,

，CE=AC-AE=2V2-^x,

,/四边形CEPF的面积为y,

:.y=PE，CE=%）=—qx?+2尤=一］（久一2）2+2,

.•.当0<x<2时，抛物线开口向下；

当点尸沿0-C路径运动时，

即2W尤<4时，

：C0是NAC3的平分线，

：.PE=PF,

四边形CEPF是正方形，

\"AO=2,PO=x-2,

；.CP=4-x,

1c1

.*.y=2（久一铲=（4—%）2,

.•.当2W尤<4时，抛物线开口向上，

综上所述：能反映了与x之间函数关系的图象是：A.

故选：A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.（5分）（2023•庐阳区校级一模）已知线段a=9,6=4,则线段a和b的比例中项为6.

【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式

即可得出结果.

【解答】解：设线段a和b的比例中项为c,

"."a=9,6=4,

.ac

••一——,

cb

.•・C2=QA=4X9=36,

解得：c=±6,

又：线段不能是负数,

-6舍去，

••c=6,

故答案为：6.

12.（5分）（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面的直径BC=6,高。4=4,则该圆锥

的侧面展开图的面积为15Tt.

【分析】根据已知和勾股定理求出AB的长，根据扇形面积公式求出侧面展开图的面积.

1

【解答】解：：。8=扣。=3,。4=4,

由勾股定理，AB=VOB2+OA2=432+42=5,

侧面展开图的面积S=TT”=3TTX5=15TT.

故答案为：15TT.

13.（5分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB.8c是以AC为直径的。。的两条弦，延长

AC至点D,使CD=2C,则当ND=15°时,AD与A3之间的数量关系为:AD=（2+百）

AB.

B

【分析】根据等腰三角形的性质求出NCBD=ND=15°,根据三角形外角性质得出/

ACB=/D+/CBD=30°,根据圆周角定理得出/ABC=90°,解直角三角形求出AC

=2AB,BC=y/3AB,再求出答案即可.

【解答】解：•.•/£>=15°,CD=BC,

：.ZCBD=ZD=15°,

/.ZACB=ZD+ZCBD=30°,

：AC是。。的直径，

AZABC=90°,

：.AC=2AB,BC=V3AB,

•；BC=CD,

：.CD=WAB,

：.AD^AC+CD=2AB+y/3AB=(2+符AB,

故答案为：（2+g）.

14.（5分）（2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中，点A（0,

3）,C（4,0）,点E、。分别是线段OC、AC上的动点，且四边形。EFB也是矩形.

【分析】（1）通过证明点3点C,点、E,点D四点共圆，可得NBED=/ACB,由锐角

三角函数可求解；

（2）通过证明可得。尸=裂。，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质

可求解.

【解答】解：（1）连接8E,

:矩形OABC中，点A(0,3),C(4,0),

：.AO=BC=3,AB=OC=4,

：.AC=7Ao2+。：2=V9+16=5,

VZBDE=90°=NBCO,

・•.点、B,点、C,点、E,点。四点共圆，

・・・/BED=/ACB,

tanZBEZ)=tanZACB=器=器，

.DB4

••,

DE3

、4

故答案为：

3

DB4

(2)—=一，

DE3

.DB4AB

••BF-3一BC'

VZABC=ZDBF=90°,

・・・ZABD=ZCBF,

：.△ABDsMBF,

eABAD4

•・BC-CF-3’

：.CF=^AD,

当BC=CD=3时，则AO=2,

3

：.CF=^,

当时，则点。在5C的中垂线上，即点。是AC的中点,

>\AD=

15

：.CF=~8f

当时，如图，过点B作8H_LAC于",

：.DH=CH,

../口「口CHBC

.cos/BCH=~^=怎,

.CH3

••~—f

35

9

:・CH=W

：.CD=^-,

•\AD=F，

21

.力加，

31521

综上所述：。尸的长为;或引或或，

2820

、31521

故答案为：；或"7"或

2820

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.（8分）（2022•天宁区模拟）计算：2tan45°-^^-2sin260°.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案.

【解答】解：原式=2X1-左1一2X（A―/3）2

22

3

=2-2-2x-rq

=2-2-1

_3

-2-

16.（8分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB为。0的直径，弦CD_LAB于点E,若AB

=26,EB=8,求弦CD的长.

c

AB

【分析】连接OG根据垂径定理得到CE=E0,根据A5=26求出OC、05的长，根据

EB=8求出OE的长，利用勾股定理求出CE,即可得到CD的长.

【解答】解：连接OC,如图所示:

〈AB为。。的直径，CD_LA8,

11

..CE=DE=CD,Of=。8==13,

：.OE=OB-EB=13-8=5,

在RtAOCE中，由勾股定理得：CE=yJOC2-OE2=12,

；.CD=2CE=24.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.（8分）（2023•庐阳区校级一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救

援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧地面上探测点A、3相距2

米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深

度.（参考数据：V2«1.414,V3«1.732,结果精确到0.1）

【分析】根据锐角三角函数可以求得点C到地面的距离，从而可以解答本题.

【解答】解：如图所示，过点C作COLAB,交AB的延长线于点D,

由题意可知，ZCAD=30°,ZCBD=60°,

设CD=尤米，

则）AD=+

tan60tan30

•・・A8=2米，AD=AB+BD,

：・AD=2+BD,

-\x=x

••2十tcm60°tan30Q,

解得,尤F.7

即生命所在点C的深度是1.7米.

18.（8分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在OO中，直径为MN,正方形ABC。的四个

顶点分别在半径OM、O尸以及O。上，并且/尸0M=45°.

（1）若AB=2,求PD的长度；

（2）若半径是5,求正方形ABC。的边长.

【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得DC=BC=AB=\,则ZDCO=ZABC=90°,

又/尸0M=45°,CO=DC=1,求出0D,再连接。4,构造直角三角形，求出AB和

BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径，可得尸D.

（2）证出△OCO是等腰直角三角形，得出DC=CO,求出30=242,连接AO,得出

40=5,再根据勾股定理求出AB的长即可.

【解答】解：（1）,••四边形A8C。为正方形，

：.DC=BC=AB=2,ZDCO=ZABC=90°,

VZPOM=45°,

：.CO=DC=2,

：.0D=V2C0=2V2,

连接AO,则△ABO为直角三角形，

：.A0=7AB2+BO2=V22+42=2V5,

即OO的半径为2遮，

：.PD=OP-OD=2V5-2V2；

(2):四边形ABC。是正方形，

AZABC=ZBCD=90°,AB=BC=CD,

工/DCO=90°,

VZPOM=45°,

：.ZCDO=45°,

:・CD=CO,

：.BO=BC+CO=BC+CD,

・・・BO=2AB,

■:M0=N0=5,

：.AO=5,

在Rt^ABO中，AB2+BO2=AO2,

即A82+(2AB)2=52,

解得：AB=V5f

则正方形ABC。的边长为遮.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（10分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AABC

的顶点A在格点上，8是小正方形边的中点，ZABC=50°,NB4c=30°,经过点A,

B的圆的圆心在边AC上.

（1）线段AB的长等于—；

—2—

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D使其满足/AOB的度数小

于/ACB的度数，并说明理由；

（3）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点尸，使其满足

=ZPCB,并简要说明点尸的位置是如何找到的（不要求证明）取圆与网格线的交点

E,F,连接与AC交于一点，则这一点是圆心O,网格线相交于连接。O

并延长交。。于点。，连接。C并延长，与点B,。的连线相交于点P,连接AP,

则点尸满足/B4C=/P8C=/PC8.

【分析】(1)根据勾股定理即可得到结论；

(2)在直线AC上方的弧上找一点Z),使得点C在△A3。内，连接AD,BD,延长AC,

与BD交于E,根据外角的性质可得大小；

(3)取圆与网格的交点E,F,连接EE与AC交于一点，则这一点是圆心O,与网

格线相交于D，连接。。并延长交O。于点。，连接QC并延长，与B,。的连线相交于

点P,连接AP,于是得到结论.

【解答】解：(1)由勾股定理可得：=卜+(》2=孚;

故答案为：-1~;

(2)如图，点。即为所求；

连接AD,BD,延长AC,与BD交于E,

'：ZACB=ZCBE+ZCEB,

：.ZACB>ZCEB,

,：ZCEB=ZDAE+ZD,

：.ZACB>ZCEB>ZD；

(3)如图，取圆与网格线的交点E,F,连接E尸与AC交于一点，则这一点是圆心O,

A3与网格线相交于。，连接并延长交O。于点。，连接QC并延长，与点B,。的

连线相交于点P,连接AP,

则点P满足/E4C=ZPBC=ZPCB.

理由：第一步：连接EE得圆心，因为/EAF=90°,所以EP是直径.

第二步：£＞点根据网格相似比，可以知道。为的中点，所以QD是垂径.

第三步：连接QC并延长，交0B于P,是半径等于所以/O8A=NBAC=30°,

AZPBC=20°,ZAOB=ZAOQ=ZBOQ=120°,

：.ZCOQ=60a=ZBOC,y.OB=OQ,OC=OC,

:.△OCQLOCB(SAS),

：.ZQ=ZPBC=2Q°,

：.ZOPQ=18Q°-120°-20°=40°,

：.ZPCB=40°-20°=20°,

又：OA=。。，OP=OP,ZAOP=ZPOQ=nQ0,

：./\OPQ^/\OPA(SAS),

/.ZPAC=ZQ=20°,

/.ZE4C=ZPBC=ZPCB.

故答案为：取圆与网格线的交点E,F,连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O,

AB与网格线相交于。，连接并延长交。。于点Q,连接QC并延长，与点B,。的

连线相交于点P,连接AP,

则点尸满足NE4C=NP2C=NPCB.

四边形ABCD内接于。0,对角线AC是OO

的直径，CE与OO相切于点C,连接BD交AC于点P.

(1)求证：/DCE=/DBC；

求tanZABD的值.

【分析】⑴根据直径所对的圆周角是直角得到乙M>C=90°,根据切线的性质得到/

ACE=9Q°,根据余角的性质得到NDCE=NCW,根据同弧所对的圆周角相等可得/

DBC=ZCAD,从而证明；

24cAE

(2)证明△ACEs得到一=一，设DE=x,得到AC2=4(4+x)=42+4.r=

4AC

AD2+CD2,从而可得CZ)2=4无，利用勾股定理列出方程，求出X值，得到DE,求出CD,

-AD

最后根据tcmNABD=tanZ.ACD=配可得结果.

【解答】(1)证明：YAC是。。的直径，

ZADC=90°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

・・・CE与。。相切，

AZACE=90°,

AZDCE+ZACD=90°,

：.ZDCE=ZCAD,

ZDBC=ZCAD,

，ZDCE=ZDBC；

(2)解：'：ZCAE+ZE=9Q°,ZCAE+ZACD^90°，

；./£■=ZACD,

又/ACE=NADC=90°，

：.AACE^AADC,

ACAECEACAE

----=-----=-----，即—=--，

ADACCD4AC

AC4+x

设DE=x,则一=——

4AC

AAC2=4(4+x)=42+4X=AD2+CD2,

2

.'.CD=4xf

t：CD1+DE1=CE1,

・・.4%+/=5,

解得：x=l或x=-5（舍），

：.DE=1,

：.CD=y/CE2-DE2=2,

ATJ4

tanZ.ABD=tanZ-ACD=瓦=^=2.

六、（本题满分12分）

21.（12分）（2023•庐阳区校级一模）如图，A2是半圆。的直径，点C在半圆上，点D在

AB±,S.AC=AD,0c=8,弧3c的度数是60°.

（1）求线段OD的长；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和TT）.

【分析】（1）过C作CELAD于£,根据已知得到NCa>=60°,根据直角三角形的性

质得到CE,求得AC根据线段的和差即可得到结论；

（2）根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：（1）过C作CELA。于£,

:弧BC的度数是60°,

/.ZBOC=60°，XOA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=3G°,

OC=8,

：.OE=4：.CE=A/82-42=4V3,

：.AC=8V3,

'：AD=XC=8V3,OA=OC=8,

：.OD=AD-OA=8y/3-8；

(2)S阴影=S扇形BOC—SAOCD=-|X(8V3-8)X4V3=^-48+16V3.

七、(本题满分12分)

22.(12分)(2023•庐阳区校级一模)如图，抛物线y=a?+bx-3过点A(-1,0),B(3,

0),且与y轴交于点C,点E是抛物线对称轴与直线BC的交点

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：BE=2CE；

(3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点尸的横坐标为x,以点8、E、P为顶

点的△2EP的面积为S,求S关于x的函数关系式，并求S的最大值.

【分析】(1)将点A、3坐标代入y=o?+6x-3列方程求出小6即可得；

BEBD

(2)由。0=1、8。=2且。E〃OC,利用平行线分线段成比例定理可得一=—=2；

CEOD

(3)利用待定系数法求得直线BC解析式，从而求得点E的坐标，作尸尸,了轴于点F,

EGLy轴于点G,设点P(x,?-2x-3)(0<x<3),根据△2砂的面积为S=S梯形BOFP

-S梯形BOGE-S梯形EGFP列出函数解析式，配方成顶点式可得答案.

【解答】解：(1)将点A(-b0)、B(3,0)代入丫=取2+a-3,

彳曰-b-3=0

何：l9a+3b-3=O'

解得:长=1），

3=—2

则抛物线的解析式为y=7-2x-3；

(2)•.・y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

:•抛物线的对称轴为直线x=l,

U：DE//OC,

BEBD

—=----=2,BPBE=2CE：

CEOD

(3)•:点、B(3,0)、C(0,-3),

・・.设直线BC解析式为y=mx+n,

则{:"「°,

解得:{:二)3，

'•y—x-3；

当x=l时，y=-2,

：.E(1,-2),

如图，作轴于点REGLy轴于点G,

设点尸(x,?-2x-3)(0<x<3),

则石尸的面积为S—S梯形80尸尸-S梯形50GE-S梯形EGFP

=1x(x+3)(-/+2x+3)-1x(1+3)X2-1x(1+x)(-X2+2X+3-2)

=-f+3x

If,

Z4

■39

当x=即S取得最大值,最大值为丁

八、（本题满分14分）

23.（14分）（2023•庐阳区校级一模）【问题提出】如图1,为的一条弦，点C在弦

所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道/ACB的度数不变.爱动脑筋的小

芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个

确定的圆上运动呢？

【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究.如图2,若48=4,

线段AB上方一点C满足/ACB=45°,为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造

了一个Rt2\AO8,再以点。为圆心，为半径画圆，则点C在。。上.后来小芳通过

逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论.即：若线段AB的长度已知，ZACB的

大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模

型称之为“定弦定角”模型.

【模型应用】

（1）若AB=6,平面内一点C满足NAC3=60°,若点C所在圆的圆心为