浙江省2024年普通高考适应性测试数学试题（九省联考模式）

参照机密级管理★启用前

浙江省2024年普通高考适应性测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将

答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.中，48=5,BC=6,CA=7,则AA8C的面积为（）

A.6aB.6GC.376D.3g

2.已知％，"为两条不同的直线，％?为两个不同的平面，对于下列四个命题：

①机uucz,加〃","〃夕=＞a〃,；@nl/m,nua=＞加〃cn；

③a11/3,mua,nu0=mIIn；@m//a,nuan加//〃.

其中正确命题的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.下列说法正确的是（）

A.若随机变量则。（〃）=3

B.若随机变量J~N（2Q2）,且尸（自＜4）=0.8,则尸（2＜自＜4）=0.4

C.一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数为19

171

D.若P（AcB）=g,尸（/）=§，P⑻=丁则事件/与事件2相互独立

4.设々是非零向量，4是非零实数，则下列结论中正确的是（）

A.£的方向标的方向相反B.卜砌第

C.［与日方向相同D.研习山£

5.已知sina+cosa=',0＜a＜7i,则J^sin（a-工）的值为

54

171

A.—B.-C.土一D.+-

5555

6.在某班进行的演讲比赛中，共有6位选手参加，其中2位女生,4位男生，如果2位女生不

数学试题第1页（共4页）

能连续出场，且女生不能排在第一个和最后，则出场顺序的排法种数为（）

A.120B.144C.480D.90

4；v2

7.已知过原点且斜率为；的直线/交双曲线下-2=1（。>0/>0）于M,N两点，点厂是双曲线

3ab-

的一个焦点，若赤.赤=0，则双曲线的离心率为（）

A.V5B.V3

C.2D.V2

8.已知数列｛《,｝满足%=1,且weN*,贝1］（）

+1

A.a5oB，©

c.D.a50e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数〃x）=/sin（s+。）［/>0,。>0,时的部分图象如图所示，则下列说法正确的

5兀2划111712左兀

-----1------,------1-------,keZ

183183

29兀

x=--

18

是/（X）图象的一个对称中心

10.四边形45c。内接于圆。，AB=CD=5,4D=3,/BCD=60°,下列结论正确的有

四边形45。。为梯形

四边形48CD的面积为旦8

4

圆O的直径为7

人ABD的三边长度可以构成一个等差数列.

11.已知正方体/5CD-4片GA的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标

系4-孙z,则下列说法正确的是（）

A.点2到直线4c的距离为@B.点4到平面4台。的距离为由

23

数学试题第2页（共4页）

C.若点P(x),z)在直线4c上，贝Ux=y=l-zD.若点P(x,y,z)在平面45D内，贝Ijx-y+z=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13.已知函数/'(x)=/x',g(x)=-x+a,若函数/(x)=/(耳-8(%)有三个零点

—x~-x+4,x40

国产2，退，则X,-x2-x3的取值范围是.

14.如图，边长为1的正三角形/8C的边ZC落在直线/上，/C中点与定点O重合，顶点B与

定点尸重合.将正三角形N8C沿直线/顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶

点3落在/上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当“8C滚动到△4吕G时，顶点

8运动轨迹的长度为；在滚动过程中，砺•丽的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.(13分)已知函数〃x)=xlnx+ox+6在处的切线为2x-2y-l=0.

(1)求实数6的值；

(2)求/(x)的单调区间和最小值.

16.(15分)如图，三棱柱N3C-4B1C］的侧棱与底面垂直，/C=3C,点。是48的中点.求

证:

(1MG〃平面CD耳；

(2)平面CDB]±平面ABBE.

17.(15分)考查黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系.调查了1633株黄烟，得到

数学试题第3页(共4页)

如表中数据，请根据数据作统计分析:

培养液处理未处理合计

青花病30224254

无青花病2413551379

合计5415791633

Pg>k)0.050.010.0050.001

k3.8416.6357.87910.83

附：K、〃(〃—历)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.(17分)已知函数/(x)=ax—lnx—3.

(1)当°=1时，求函数/(x)在点(1,-2)处的切线方程；

(2)若函数"X)在xe［「,e］上的图象与直线＞=［0故1)总有两个不同交点，求实数。的

取值范围.

19.(17分)同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为：设a,beZ,%eN*且〃＞1.若

机|(。-6)则称a与6关于模〃？同余，记作a=6(modm)(“『'为整除符号).

(1)解同余方程必一x=0(mod3)；

⑵设(1)中方程的所有正根构成数列｛%｝,其中为＜出.

①若(〃eN*),数列｛»｝的前〃项和为邑,求Szg；

②若%=tang”+「tana2i(neN*),求数列匕｝的前"项和北.

数学试题第4页(共4页)

参考答案：

1.A

【分析】利用余弦定理求出cosB的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinB的值，再利用三角形的面积

公式可求得043。的面积.

【详解】由余弦定理可得cos2=—AC，=25+36-42=j_,则为锐角，

2ABBC2x5x65

故sin2=A/1-COS2B==~~，

因此，口ABC的面积为=』AB-BCsinC=』x5x6x侦=66.

△ABC225

故选：A.

2.A

【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.

【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求机，〃相交，若没有，则d£可能相交，故①错误；

对于②：因为线面平行的判定定理要求a,若没有，则可能mua,故②错误；

对于③：根据线、面位置关系可知：mlln,或根，"异面，故③错误；

对于④：根据线、面位置关系可知：man,或九〃异面，故④错误；

故选：A.

3.C

【分析】对A,根据二项分布的方差公式求解即可；对B,根据正态分布的对称性求解即可；对C,根据百

分位数的定义判断即可；对D,根据对立事件的概率公式，结合事件A与事件8相互独立事件满足

P（AB）=P（A）P（B）判断即可.

【详解】对A,D^）=np（l-p）=12x-x^=^,故A错误；

对B,若随机变量4口N（2,b）,且尸偌＜4）=0.8,贝|尸（2＜J＜4）=尸《＜4）-尸（＜2）=0.8-0.5=0.3,故

B错误；

对C,数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8,9个数据的平均数，即能型=19,故C正

确；

711

对D,P（A）=-,P（B）=j,故尸（Ac3）=§/尸（A）P（B）,故事件A与事件B不相互独立，故D错误；

故选：C.

4.C

答案第1页，共12页

【分析】根据数乘向量运算的定义判断各选项.

【详解】对于A,当4〉0时，Z与府方向相同，因此A不正确；

对于B,"1<1时，卜4〃[<忖，因此B不正确；

对于C,因为/??>(),所以[与分%同向，c正确；

对于D,|花|是实数，|刈2是向量，不可能相等.

故选：C.

5.B

]2124

【详解】sintz+cosa=—,0<a<^,则sina>0,cosa<。，(sina+cosa)"=—=>2sinacosa=--,故

V2sin]a-?J=sina-cosa=J(sina-cosa.=Jl-2sinacosa==g

选B

6.B

【分析】先排4位男生，再在他们形成的间隔(除两端)插入两个女生即可得解.

【详解】计算出场顺序的排法种数需要两步：第一步，排4位男生有用种，第二步，在4位男生形成的中

间间隔中插入2位女生有可种，

由分步乘法计算原理得AX=24-6=144,

所以出场顺序的排法种数为144.

故选：B

7.A

【分析】通过对称性以及数量积与垂直的关系可得口以下'是直角三角形，|OM|=c,由题意可设出

代入双曲线方程可得关于“，c的齐次式，进而可得结果.

【详解】设坐标原点为。，双曲线的另一个焦点为尸，连接M尸，NF',

由对称性知|。耳=|。修，|。闾=|。M，所以四边形MFN9是平行四边形，

又而•标=0，所以四边形MEVF是矩形，

故CMF厂是直角三角形，\OM\=^\FF'\=c.

不妨设点M在第一象限，直线/的倾斜角为。，

答案第2页，共12页

443

则tan。,sin6=—,COS3=—,

355

则点M(ccose,csin6),即〃.

Q-21.2

又点M在双曲线上，所以三-U==l,即9eJ50/+25=0,

25a225b2

即1一5乂9/-5)=0,又e>l,所以e?=5,e=也，

故选：A.

【点睛】本题是求解双曲线离心率的问题，解决本题的关键是由已知条件建立关于。，。的等式，解题时,

应善于从题目给出的条件中挖掘几何元素间的关系，然后将这种关系用含。，。的等式表示，即可求得离心

率.

8.B

【分析】根据题意求出出=:，判断出数列｛4｝递减，且再对“用=刍两边取倒数，然后平方

2%+工

z\2z\2z\2z\2

整理得_L_1=2+d，再利用单调性进行放缩，可得出当心3时，2<---<2+4,结

aaa

Vn+lJUVn+lJVn)4

合不等式的性质即可得解.

【详解】Van+l=",%-1,

4+1

1Q1

••>42°，则-〃21，

Va„2>0,

/.0<—<1,即数列｛%｝递减，则0<。,在1,

an

an

,•,“"+1=2,1，

4+1

ii<iY<i1+2+a：,贝(J-f—=2+a；,

，两边取倒数得一=一+4,,BP—=—

%%1%+"I%JUgJ

•••数列｛",｝递减，

当〃=2时，2<2+a；=2+1，BP2<f--"1Yc1

—=2-1—；

4⑷、到4

当”23时，2<2+a；<2+a；=2+—,即2〈卜TU<2+L2<f4-UT<2+i,…，

zjVa3)41%)(aj4

答案第3页，共12页

.•.根据不等式的性质可得2x48<二--—<|2+-|x48,BP1OO<—<112<121,

aa

\5oJ\2)\JIa5()J

11

••---<<----.

115010

故选：B.

9.ABC

兀兀

【分析】由题可知A=3,T]=g,解得啰=3,又5,3）在“x）=3sin（3x+0）的图象上，结合网＜]得.

18

得〃；

x)=3sin0x-,即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D.

兀TT27rQTT

【详解】由题可知4=3,（=5-，所以7=?=臼，解得。=3,

1833co

(5兀，31在〃9的图象上，所以3=3sin],+“,

所以〃x)=3sin(3x+°),又

18

所以卷+e=g+2E,ZeZ,所以夕=_g+2Mt,ZeZ,又附＜b，所以夕=一

所以〃x）=3sin[3x-B，故A正确；

令告+2*Z,解得*9X祟竽皿,

5兀2kli117i2kn

所以〃尤）的单调减区间为---1----,----1----，左eZ,故B正确;

183183

令3了一色=a+也,左eZ,^x=—+—,k^Z,当左=4时，x=—,故C正确;

3218318

令3x-1=E,ZeZ,解得x=^+g,AeZ,令巳+弓=手欢€2,贝=故D错误.

故选：ABC.

10.ABD

【分析】直接利用余弦定理，三角形的面积公式，圆的内接四边形性质，和等差数列的证明对选项逐一判

断即可.

(详解】AB=CD=5,AD=3,ZBCD=60°/BAD=120°

答案第4页，共12页

连接AC,2D,由AB=C。可得ZBZ)A=/CA。，又因为NASD=NACD,所以口朋。出CD4(A4S)

ZBAD=/COA=120°

NBCD+ZCDA=180°BC//DA

显然AB不平行CD即四边形A3CZ)为梯形，故A正确；

在AABD中，BD-=AB-+AD2-2AB•ADcos120°=5?+3?-2x5x3x[-Jj=49

在△BCD中由余弦定理可得BO?=CB2+CD2-2CBCDcosNBCD

.万=次+5?-2x5xC8cos60。解得CB=8或C3=-3(舍去)

1o

:.SnRAn=AB-ADsinl20°=^SxSx—=.-.SnB™=-CBCZ)sin60=-x5x8x—=

aBAD22242224

SABCD=SaBCD+S口BAD=巨8+=空8故B正确

在口BAD中由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD

BD2=52+32-2X5X3COS120°=49：.8O=7二圆的直径不可能是7,故C错误;

在△A8O中，AD=3,AB=5,BD=1,^&AD+BD=2AB

.•□A3。的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确.

故选：ABD

11.AB

\D]A-n——►.、

【分析】由题意对于A,可由等面积法验算；对于B,由d』：「即可验算;对于C,由AP=(x,y,z-l)

\n\

与京=(1,1,-1)共线即可验证；对于D,由方•“=x+y+(z-l)=0即可验证.

答案第5页，共12页

由题意A(O,O,I),C(I』,O),，(O』,I),B(I,O,O),O(O,I,O),

所以京配=(0,-1,0),禾

若点P(x,y,z)在直线4c上，则“=(尤,y,z-1),

由乖=(x,y,z-l)与“共线可得x=y=l-Z,故C正确；

又瓦•布=0,所以

M|^C|=V2,|^A|=I,|AC|=V3,

不妨设点Dt到直线4c的距离为h,

由等面积法有1*lx应解得〃=逅，故A错误；

福=(1,0,-1),40=(0,1,-1),不妨设平面\BD的法向量为n=(x,y,z),

fx-z=0/、

则八，令Z=1,解得x=y=i,即取平面ABO的法向量为方=1,1』，

[y-z=0

若点P(x,y,z)在平面A3。内，则或=(尤,y,Z-1),

所以为•A1P=x+y+(z-l)=。，即x+y+z=l,故C错误；

又取;=(0,-1,0),

所以点2到平面\BD的距离为d=也4曰=3=0，故B正确.

\n\V33

故选：AB.

12.-1

【分析】利用指数累的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.

答案第6页，共12页

【详解】原式=1.22陶3+（瞪『+11'3

o79

=l-2210g43+—+—

1616

=1-3+1

=—1.

故答案为：T.

13.（-72,0]

C2.1,111,1,

,,.../-I2＜。=—X.+4=—InH=In1---1—--=In孤+x5HW4

【分析】由题后首先得〃e（2,4],尤2%尤2J_退，进一

x2

步有x2x3=1,由此即可顺利得解.

【详解】由题意设M尤）=”》）+X,则函数/（尤）=/（x）-gG）的零点即为方程Mx）=a的根，

在同一平面直角坐标系中分别画出函数4力的图象以及直线V=。如图所示：

若函数尸(x)=〃x)-g(x)有三个零点国,无2，三，(不妨设为与</<〃)，

则方程Mx)=a的根有三个根占,3,三，且%4。<%<1<f，

所以ae(2,4],

c2,,1,111,1,“

2<〃=—Xj+4=—In/+^=In1---1—--=In七+^-4

且x2x2x2x3,

x2

因为y=lnx+x+』在(1,+e)单调递增，所以£=工，即超工=1，

X%

所以玉♦入2，兀3=%，

令2=〃=一12+4,x<0,解得了=一行，令4=〃=一12+4,x<0,角军得x=o,

所以七•%2，%3=%£卜后,。].

答案第7页，共12页

故答案为：（-V2,0].

【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到%毛=1，由此即可顺利得解.

14.力[。,叵

32

【分析】根据题意可知，点3的轨迹为两个圆心角都为42〃的圆弧和一个点，即可求出点3的轨迹长度，分

3

别求出点B在滚动的过程中纵坐标的范围，求出点尸口，21）即可求解.

【详解】根据题意可知，点3的轨迹为两个圆心角都为士2〃的圆弧和一个点，且圆弧的半径为1,

3

24

所以顶点3运动轨迹的长度为2xlx§万=

OP=0,^,设8（x,y）,则无=（尤,y）

所以而・丽=也y,

2

滚动的过程中B的纵坐标y满足04yW1,

------J3「6

所以尸=0,三，

4「6

故答案为：|^；0,事,

a=0zx

15.（1）,1；（2）AM的单调减区间为0-，/（元）的单调增区间为\，+8）,/（尤）1nto二」.

b=—<e）J2e

[2

【分析】（1）求出函数的导数，计算厂⑴，/⑴可求出〃，b的值；

（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；进而可求

得函数的最小值.

【详解】(1)v/(x)=x\nx+ax+b,/(x)=lnx+«+l

又•.•函数fM在(1,7(1))处的切线为2x-2y-l=0,/(1)=1,

广⑴…1=1a=0

,/1，解得：,

f(l)=a+b=-b=-

2

(2)由(1)可得：/(x)=l+lnx,

答案第8页，共12页

当时，/(x)<0,/(x)单调递减；

当时，f\x)>0,/(尤)单调递增，

的单调减区间为1,，，/(尤)的单调增区间为卜，+8

【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程确定参数的值，应用导数研究函

数的单调性和最值，属于简单题目.

16.(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)作辅助线连接GB,设CB,与G8的交点为E,连接DE,利用三角形中位线证明。E〃AG，

根据线面平行的判定定理证明结论；

(2)证明LCD,再证明CDLAB,根据面面垂直的判定定理即可证明结论.

【详解】(1)证明：连接£3,设C4与的交点为E,连接。E,则E为BG中点，

因为点。是的中点，所以DE〃A。，

因为。Eu平面C£>4，A£<z平面CD耳，所以ACR平面CD瓦.；

(2)证明：在三棱柱ABC-44C］中，

因为3耳_L平面ABC,CDu平面ABC,

所以

答案第9页，共12页

又AC=8C,点。是A8的中点，

所以CD_LAB.

因为B3|cAB=B,BB1,ABu平面BB,A,A,

所以C。，平面AB4A，

又COu平面CDB,,所以平面CDB11平面ABB^.

17.有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的.

n^ad-bc^

【详解X试题分析】先依据题设中的22列联表中的数据,运用公式太=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

计算出y=工焉1答=68.。33,再与参考数据表中的数据进行比对与分析进行

推断:

则有K2=_______刎一时___1_6_33x(30x1355-224x24)2

解：根据公式,=68.033•

(a+Z?)(c+d)(〃+c)(/?+d)254x1379x54x1579

•・•68.033>10.828,

・・・说明有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的.

18.(1)y=-2；(2)-<a<e2

e

【分析】(1)把。=1代入函数解析式，求出函数在X=1出的导数，可得函数人而在点(1,-2)处的切线方程；

(2)求出原函数的导函数，分和。>0讨论，当〃>。时由导函数在不同区间的符号得到原函数的单调

性，从而求出函数在区间［e，e］上的最小值点，由题意列出不等式组，可得a的取值范围.

【详解】(1)当。=1时，/(x)=x-lnx-3,/(x)=l-l,A/\1)=0,

X

・•・函数/⑴在点a-2)处的切线方程为：尸-2；

(2)由=-3,得八%)二〃」,

x

当〃=0时，八x)=-g在冗4厂村上单调递减，不满足题意；

当。<0时，/'(%)=〃-：在%£卜一:e］上恒小于0,函数在上单调递减，不满足题意；

当〃〉0,由=1=0可得兀=),

xxa

当或时，/''(xRO或/'(x)40,函数/(x)=