天一大联考2024届数学高一年级下册期末教学质量检测模拟试题含解析

天一大联考2024届数学高一下期末教学质量检测模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;

非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.俣持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.已知等差数列1｝的前加项之和为3。，前2小项和为100,则它的前3根项的和为

n

()

A.130B.170C.210D.260

7CTT

2.函数/(x)=cos(cox-w)(co>0)的图像关于直线x=］对称，则①的最小值为()

112

A.-B.-C.-D.1

3.圆锥的母线长为4,侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为()

A.101TB.12兀C,16兀D.18K

4.盒中装有除颜色以外，形状大小完全相同的3个红球、2个白球、1个黑球，从中任

取2个球，则互斥而不对立的两个事件是()

A.至少有一个白球；至少有一个红球B.至少有一个白球；红、黑球各一个

C.恰有一个白球：一个白球一个黑球D.至少有一个白球；都是白球

5.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为根］，机2,

标准差分别为“J2则()

*

12O|..........

K.、r

°121456次

Am<mn<nBm<m,n>n

・1212・1212

Cm>mn<nDm>m,n>n

・1212,1212

6,已知集合A={xlx2-x-2<0},B={x|10giX>-1},则AUB=()

2

A.(-1,2)B.(-1,2]C.(0,1)D.(0,2)

7.在AABC中，角所对的边分别为a0,，若acosB+bcosA=2ccosC,则

C=()

nK2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

8.《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二

日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月(15日)，一共能织布

几尺()

A.75B.85C.105D.120

9.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是()

1111

A—B—C-D—

4286

10.三角形的一个角为60。，夹这个角的两边之比为8:5,则这个三角形的最大角的正

弦值为()

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知。=(九』)，b=(2,九一3),若a_j_b,则实数九=.

14y

12.若两个正实数x，y满足一+一=1,且不等式X+=〈机2-3〃2有解，则实数机的

xy4

取值范围是,

13.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在

\PA\、

平面上给定两点4-a，0),8(a,0),动点「满足需=九(其中。和九是正常数，且

\PB\

九wl),则尸的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为

71

cos(—+x)+sin(兀一x)—tan(2兀+x)

14.化简：——三-------------------------=

cot(——X)+cos(-x)+COS(兀+X)

15.在AABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:3,贝"cos5=

4兀

16.已知扇形A05的面积为丁，圆心角A08为120,则该扇形半径为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

1

17.已知圆经过(2,5),(-2,1)两点，并且圆心在直线y=上.

(1)求圆的标准方程；

(2)求圆上的点到直线3x-4y+23—0的最小距离.

18.对于函数加刈,历(切,加短，如果存在实数使得，那么称

为的生成函数.

(1)下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；

第一组：；

第二组：；

(2)设，生成函数.若不等式

在上有解，求实数的取值范围.

19.已知等差数列｛。｝满足。=6+a,且aT是a-l,a的等比中项.

n63324

(1)求数列｛a｝的通项公式；

n

(2)设b=」-QeN*),数列｛b｝的前项和为T,求使T<:成立的最大正整

nClClnnnI

nn+1

数”的值.

20.已知等差数列L｝的前"项和为S,且a+S=20,S=50.

nn135

⑵请确定3998是否是数列｛a｝中的项？

n

21.已知等差数列3｝的首项为巴，公差为前〃项和为S,且满足加5=〃，

n1nn

nS=wn).

m

(1)证明S>4.

m+n

(2)若

sin2。-cos2a+cos2acos2。-sin2asin2。=sinG+a)。0,

p+3p+3pp+3pp+3p+1p+2

de(0,l),当且仅当〃=9时，S取得最小值，求首项。的取值范围.

n

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、C

【解题分析】

试题分析：由于等差数列1｝中5,S—S,S—S也成等差数列，即

nm2mm3m2m

30,70,S—100成等差数列，所以S—100=110,;.S=210,故选c.

3m3m3m

考点：等差数列前〃项和的性质.

2、C

【解题分析】

/(x)=cos(cox—勺((0>0)的对称轴为3%—1=左兀，化简得到3=2k+京3>0)

得到答案.

【题目详解】

71

/(X)=cos(cox--)(co>0)

兀兀兀2

对称轴为：①工一至二左兀n工s_?=ku=>①=2左+^(0)>0)

2

当上=0时，①有最小值为可

故答案选c

【题目点拨】

本题考查了三角函数的对称轴，将对称轴表示出来是解题的关键，意在考查学生对于三

角函数性质的灵活运用.

3、B

【解题分析】

由圆锥展开图为半径为4的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面

圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积.

【题目详解】

一个圆锥的母线长为4,它的侧面展开图为半圆，

半圆的弧长为Z=；x2兀X4=4TI,即圆锥的底面周长为4兀，

设圆锥的底面半径是厂，则得到271r=4兀，解得r=2,这个圆锥的底面半径是2,

二圆锥的表面积为S=兀・4・2+兀=12兀.故选：B.

【题目点拨】

本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量,

考查运算求解能力，属于中等题.

4、B

【解题分析】

根据对立事件和互斥事件的定义，对每个选项进行逐一分析即可.

【题目详解】

从6个小球中任取2个小球，共有15个基本事件，

因为存在事件：取出的两个球为1个白球和1个红球，

故至少有一个白球；至少有一个红球，这两个事件不互斥，故A错误；

因为存在事件：取出的两个球为1个白球和1个黑球，

故恰有一个白球：一个白球一个黑球，这两个事件不互斥，故C错误；

因为存在事件：取出的两个球都是白球，

故至少有一个白球；都是白球，这两个事件不互斥，故。错误；

因为至少有一个白球，包括：1个白球和1个红球，1个白球和1个黑球，

2个白球这3个基本事件；红、黑球各一个只包括1个红球1个白球这1个基本事件，

故两个事件互斥，因还有其它基本事件未包括，故不对立.故3正确.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查互斥事件和对立事件的辨析，属基础题.

5、C

【解题分析】

利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计直接求解.

【题目详解】

由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：

甲组数据靠上，乙组数据靠下，

甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，

由甲乙两组数据的平均数分别为勺，%,标准差分别为“J4

得m>mn<n

b12?12,

故选：c.

【题目点拨】

本题考查命题真假的判断，考查平均数、的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

6、B

【解题分析】

先分别求出集合4和5,由此能求出4U5.

【题目详解】

1,集合4={xlx2-x-2<0}={xl-l<x<2},

B=(xl1OgiX>-l}={xl0<x<2},

2

.,.AUB={x|-l<x<2}=(-1,2],

故选,

【题目点拨】

本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7、B

【解题分析】

利用正弦定理边化角，结合和差公式以及诱导公式，即可得到本题答案.

【题目详解】

因为acos5+bcosA=2ccosC,sinCwO,所以

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

sin(A+5)=2sinCeosC,sinC=2sinCeosC,cosC=1,

兀

••0<C<7i,:.c=—.

,3

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，考查计算能力，属于基础题.

8、D

【解题分析】

设第一天织％尺，第二天起每天比前一天多织4尺，由已知得

7x6

7a+------d=28[a=115x14

i2i,S=15。+------d=120,故选D.

d—11512

a+d+a+4d+〃+7d=15।

ii1i

【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前几项和公式，属于中

档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量

a,d,n,a,S,,一般可以，，知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外,

1nn

解等差数列问题要注意应用等差数列的性质。+。=a+a=2a

pqmnr

(p+q=m+〃=2r)与前”项和的关系.

9、B

【解题分析】

利用古典概型概率公式求解即可.

【题目详解】

设三件正品分别记为1,2,3,一件次品记为a

则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为

{1,2),{1,3),{1,«},{2,3},{2,a},(3,a},共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3

种

n31

所以产品全是正品的概率尸

62

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.

10、B

【解题分析】

由余弦定理，可得第三边的长度，再由大角对大边可得最大角，然后由正弦定理可得最

大角的正弦值.

【题目详解】

解：•••三角形的一个角为60°,夹这个角的两边之比为8:5,

设夹这个角的两边分别为8左和%(左＞0),

则由余弦定理，可得第三边的长度为J(8Z)2+(5左)2-2»8%5%cos60。=7左,

，三角形的最大边为8左，对应的角最大，记为a,

8届sin60°_4"

则由正弦定理可得sina=

-TkT~

故选:B.

【题目点拨】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、1

【解题分析】

利用平面向量垂直的数量积关系可得。d=0,再利用数量积的坐标运算可得：

21+X-3=0,解方程即可.

【题目详解】

因为所以£力=0,

整理得：2九+九一3=0,解得：人=1

【题目点拨】

本题主要考查了平面向量垂直的坐标关系及方程思想，属于基础题.

12、（-OO,T）D（4,4W）

【解题分析】

VV

试题分析：因为不等式X+=<〃Z2—3加有解，所以（x+彳）<m2-3m,因为

44

14,

x〉0,y>0,且_+_=1,所以

xy

-

x+4v=（%+2v.）（_1+_4）=—4x+2y-+2>2_"".y2_+2=4,当且仅4当x一=y六，即

44xyy4xVy4xy4x

x=2,y=8时，等号是成立的，所以（x+3）=4,所以加2—3机〉4,即

4min

（加+1）（加一4）〉0,解得7〃<一1或7">4.

考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.

【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用

基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的

关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式

的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档

试题.

2ak

13、

【解题分析】

设PXy),由动点P满足目=九(其中。和九是正常数，且九wi),可得

\PB\

J(x+a)2+y2=九"(％-4)2+丁2,化简整理可得.

【题目详解】

设P(x,y),由动点P满足照=九(其中。和九是正常数，且九wl),

\PB\

所以J(x+a)2+y2=W(X-〃)2+丁2,

化简得X2+2〃(1：_]%+。2+丁2=0,

1-A2

2。2（1+九2）2

即，+转+>2=__一42

（1—九2）2

【题目点拨】

本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.

14、-1

【解题分析】

根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.

【题目详解】

由题意，可得

兀

cos(/x)+sin(兀7)—tan(2兀+x)_finx+sinx—tanx_-tanx_,

cot(|一x)+cos(-x)+cos(兀+x)tanx+cosx—cosxtanx

故答案为：一1.

【题目点拨】

本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱

导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

1

I，'3

【解题分析】

先由正弦定理得到。：。：。=2:3:3,再由余弦定理求得cosB的值.

【题目详解】

由sinA:sinB:sinC=2:3:3,结合正弦定理可得a:b:c=2:3:3,

故设a=2k,b=c=3k,(k>0),由余弦定理可得

C。2+02-拉4左2+9左2-9左21

cosB=-----------=---------------=_,

2ac12k23

故cosB=；.

【题目点拨】

本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.

16、2

【解题分析】

将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.

【题目详解】

2

圆心角A08为120--71

4兀112兀471

扇形AOB的面积为—^―nS——otr2=--x——厂2=——=>r=2

故答案为2

【题目点拨】

本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)(x-2)2+(j-1)2=16

(2)1

【解题分析】

(1)先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；(2)求出圆心到直线3x-4y+23

=0的距离即得解.

【题目详解】

(1)A(2,5),B(-2,1)中点为(0,3),

5-1,

经过A(2,5),B(-2,1)的直线的斜率为丁二=1,

2+2

所以线段AB中垂线方程为y=一》+3,联立直线方程y=解得圆心坐标为（2,1）,

所以圆的半径r=^（2-2）2+（5-1）2=4.

所以圆的标准方程为（x-2）2+（j-1）2=16.

（2）圆的圆心为（2,1）,半径r=4.

13x2-4x1+2314

圆心到直线3x-4j+23=0的距离d=——心+42——=5.

则圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为d-r=l.

【题目点拨】

本题主要考查圆的标准方程的求法和圆上的点到直线的距离的最值的求法，意在考查学

生对这些知识的理解掌握水平.

18、（1）见解析；（2）（_夫小

【解题分析】

(1)①设,即

取,所以是的生成函数.

②设,即

则,该方程组无解.所以不是的生成函数

（2）因为，

所以，

不等式在上有解，

等价于在上有解,

令，则，由

知取得最大值，所以

考点：①创新题型即新定义问题②不等式有解球参数范围问题

19、（1）a=2"+1（2）8

n

【解题分析】

（1）设等差数列%｝的公差为d,根据题意列出有关。和Q的方程组，可解出。和2

n11

的值，从而可求出数列3｝的通项公式;

n

（2）先得出匕=:瓦］一，利用裂项法求出数列｛0｝的前〃项和

naa212〃+12〃+3J〃

nn+1

T,然后解不等式T＜［,可得出〃的取值范围，于此可得出〃的最大值.

nn/

【题目详解】

（1）设等差数列｛a｝的公差为d,a-a=3d=6,即d=2,

n63

a-l=a+3,a-l=a+1,a=a+6,

312141

aT是a-1,a的等比中项，

324

(a—1)2=(Q—1)，a,即(Q+3>=(Q+1)(a+6),解得a—3.

3241111

二数列｛a｝的通项公式为？=2n+l.

,_1_1_If111

(2)由(1)得6।n/oIQ\-o'TT-5".Q

〃aa(2n+1)(2〃+3)212〃+12n+3y

nn+1

111

/.T=b+b+•.•+/?—+•••+

n12n72n+l2n+3

IQ-2^33(2^3)-

n11

由电转（亍得”9,•.・使得］＜7成立的最大正整数〃的值为&

【题目点拨】

本题考查等差数列的通项公式，考查裂项求和法，解等差数列的通项公式，一般是利用

方程思想求出等差数列的首项和公差，利用这两个基本两求出等差数列的通项公式，考

查运算求解能力，属于中等题.

20、（1）a=4/7-2（2）3998是数列｛a｝中的第1000项

nn

【解题分析】

（1）直接利用等差数列的公式计算得到通项公式.

（2）将3998代入通项公式，是否有整数解.

【题目详解】

a+(3a+3d)=20a=2

由题意有，1，解得‘1

5a+10d=50d=4

i

则数列3｝的通项公式为。=2+4(九-1)=4〃一2,

n

⑵假设3998是数列｛a｝中的项，有4"—2=3998，得”=1000,故3998是数歹|｛a｝

nn

中的第1000项

【题目点拨】

本题考查了等差数列的公式，属于简单题.

3兀4兀)

21、(1)证明见解析；(2)工「工)

【解题分析】

(1)根据等差数列的前n项和公式，变形可证明为等差数列.结合条件

mS=〃，〃S=加，(加/“),可得—__，进而表示出t/=「由为等

nmnmmnmnInJ

S0)

差数列，表示出目，化简变形后结合不等式性质即可证明S_〉4

(2)将三角函数式分组，提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正

弦的和角与差角公式合并.根据条件等式，结合等差数列性质，即可求得

sin。-a)=sin3d=1.由de(0,D,即可确定d=9.当且仅当〃=9时，S取得

P+3P6〃

最小值，可得不等式组，即可得首项。的取值范围.

【题目详解】

(1)证明:等差数列｛。｝的前n项和为S,

nn

cn(n-l),

则S=na