江苏省南京市玄武区2024届中考数学五模试卷含解析

江苏省南京市玄武区2024学年中考数学五模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为acm宽为bcm）的盒

子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分周长和是（）

A.4acmB.4(a-b)cmC.2(a+b)cmD.4bcm

2.计算(x-l)(x—2)的结果为()

A./+2B.x2—3x+2C.x2-3x—3D.x2—2x+2

3.下列各点中，在二次函数y=-f的图象上的是（）

A.(1,1)B.(2,-2)C.(2,4)D.(-2,-4)

4.关于质的叙述正确的是（）

A.我=若+，？B.在数轴上不存在表示血的点

C.我=±2夜D.与血最接近的整数是3

5.如图，ABLBD,CD±BD,垂足分别为8、D,AC和50相交于点E,垂足为F.则下列结论错误的是

（）

A.竺—些B.AEABc.EFD.丝—丝

EC~EDED~CDAB~DBBD~BF

_1

6.如图，在矩形A5C。中，AB=5,AD=3>,动点尸满足SAPAB=—矩形A3CO,则点尸到A、5两点距离之和融+P5

3

的最小值为（）

D

C.572D.741

7.如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是()

8.把不等式组X［x-2+.i.＜0。的解集表示在数轴上'正确的是()

9.某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180,184,188,190,192,194.现用一名身高为186cm的

队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高()

A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大

10.解分式方程二；+三=4二，分以下四步，其中，错误的一步是()

A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)

B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解这个整式方程，得x=l

D.原方程的解为x=l

11.湿地旅游爱好者小明了解到鄂东南市水资源总量为42.4亿立方米，其中42.4亿用科学记数法可表示为()

A.42.4X109B.4.24X108C.4.24xl09D.0.424xl08

12.以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画。O,下面的点中，在。O上的是()

A.(1,1)B.(0,&)C.(1,3)D.(1,72)

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.计算：3尸+(|-3|)。=

14.如图，AB是圆O的直径，弦CD，AB,ZBCD=30°,CD=44，则S阴影=

15.在平面直角坐标系中，已知，A（2立,0）,C（0,-1）,若P为线段上一动点，则的最小值为

x-a>0

16.已知关于x的不等式组「、，只有四个整数解，则实数a的取值范是_____.

5-2%>1

17.计算：蛇石的值是.

18.方程二的解是.

X—1

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知AB是。O上的点，C是。O上的点，点D在AB的延长线上，NBCD=NBAC.求证：CD

是。。的切线；若ND=30。，BD=2,求图中阴影部分的面积.

20.（6分）4x100米拉力赛是学校运动会最精彩的项目之一.图中的实线和虚线分别是初三•一班和初三•二班代表队

在比赛时运动员所跑的路程y（米）与所用时间x（秒）的函数图象（假设每名运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不

计）.问题：

⑴初三•二班跑得最快的是第接力棒的运动员；

⑵发令后经过多长时间两班运动员第一次并列？

21.(6分)央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书,

学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自

己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图(未完成)，请根据图中信息，解答下列问题:

此次共调查了名学生；将条形统计图1

补充完整；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为.度；若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的

学生人数.

iri1

22.(8分)如图，直线y=kx+b(k^O)与双曲线y=—(m/0)交于点A(-2),B(n,-1).求直线与双曲线

x2

的解析式.点P在x轴上，如果SAABP=3,求点P的坐标.

23.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=1«+11与反比例函数y=—(m/))的图象交于点A(3,1),且

过点B（0,-2）.

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）如果点P是x轴上一点，且AABP的面积是3,求点P的坐标.

24.（10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度•他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为45，

再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为60，求建筑物的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米,

73»1.732,021.414)

A

//建

:筑

//物

.f

春。也。

CDB

x-y=4

25.（10分）李宁准备完成题目；解二元一次方程组,发现系数“口”刷不清楚.他把“口”猜成3,请你

..x+y=—8

x-y=4

解二元一次方程组。,：张老师说：“你猜错了”，我看到该题标准答案的结果x、y是一对相反数，通过计算

3x+y=—8

说明原题中是几？

26.（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导

航显示车辆应沿北偏西55。方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35。方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C

恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55OM.4,tan35°=0.7,sin55°~0.8）

i2

27.(12分)已知C为线段AB上一点，关于x的两个方程］(x+1)=机与§(x+加)=机的解分别为线段AC,BC的

长，当77?=2时，求线段A3的长；若C为线段A5的三等分点，求m的值.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解题分析】

根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果.

【题目详解】

解：设小长方形卡片的长为x,宽为y,

根据题意得：x+2y=a,

则图②中两块阴影部分周长和是：

2a+2(b-2y)+2(b-x)

=2a+4b-4y-2x

=2a+4b-2(x+2y)

=2a+4b-2a

=4b.

故选择：D.

【题目点拨】

此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2、B

【解题分析】

根据多项式的乘法法则计算即可.

【题目详解】

（X—l）（x—2）

=X2—2x—x+2

=x2—3x+2.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一

项，再把所得的积相加.

3、D

【解题分析】

将各选项的点逐一代入即可判断.

【题目详解】

解：当x=l时，y=-l,故点（1,1）不在二次函数＞=-好的图象；

当x=2时，y=-4,故点（2,—2）和点（2,4）不在二次函数＞=的图象；

当x=-2时，y=-4,故点（—2,-4）在二次函数＞=的图象；

故答案为：D.

【题目点拨】

本题考查了判断一个点是否在二次函数图象上，解题的关键是将点代入函数解析式.

4、D

【解题分析】

根据二次根式的加法法则、实数与数轴上的点是一一对应的关系、二次根式的化简及无理数的估算对各项依次分析，

即可解答.

【题目详解】

选项A,G+J?无法计算；选项B,在数轴上存在表示质的点；选项C,瓜=2五;

选项D,与瓜最接近的整数是囱=1.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了二次根式的加法法则、实数与数轴上的点是一一对应的关系、二次根式的化简及无理数的估算等知识点，

熟记这些知识点是解题的关键.

5、A

【解题分析】

利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可.

【题目详解】

解：'：ABVBD,CDLBD,EF1BD,

J.AB//CD//EF

：.AABE^ADCE,

：.AE^=AB,故选项5正确，

ED~CD

*：EF//ABf

・••竺_DFAD_BD9

AB=DRAE=赤

：.AD=AE9故选项C,D正确，

DB~BF

故选：A.

【题目点拨】

考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

6、D

【解题分析】

1112

解：设AABP中A5边上的高是瓦•••$△PAB--S矩形AbC。，...一AB*h=-AB*AD,；.h=-AD=2,二动点尸在与A3

-3233

平行且与A3的距离是2的直线，上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,连接8E,则5E就是所求的最短

距离.

在RtAABE中，；4B=5,AE=2+2=4,:.BE7AB?+AE?=752+42=V41>即M+P3的最小值为历.故选D.

7、B

【解题分析】

根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形.

【题目详解】

从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图:

故选B.

【题目点拨】

考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键.

8、B

【解题分析】

首先解出各个不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可.

【题目详解】

解：由x-220,得后2,

由x+l<0,得xV-1,

所以不等式组无解，

故选

【题目点拨】

解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了.

9、A

【解题分析】

分析：根据平均数的计算公式进行计算即可，根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答

案.

180+184+188+190+192+194

详解：换人前6名队员身高的平均数为最=----------------------------=188,

6

方差为S2=4(180—188)2+084—188)2+(188—188)2+(190—188)2+(192—188)2+(194—188)268

6LT

180+184+188+190+186+194

换人后6名队员身高的平均数为最=----------------------------=187,

6

方差为S2=-F(180-187)2+(184-187)2+(188-187)2+(190-187)2+(186-187)2+(194-187)259

6LT

6859

V188>187,—>—,

33

二平均数变小，方差变小，

故选：A.

_1_

点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n个数据，XI,X2,…Xn的平均数为了,则方差S2=^［（XI-X）2+

n

（X2-X）2+...+（Xn-x）叽它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

10、D

【解题分析】

先去分母解方程，再检验即可得出.

【题目详解】

方程无解,虽然化简求得%=1,但是将X=1代入原方程中，可发现N-和的分母都为零，即无意义，所以XW1,

x-1x-1

即方程无解

【题目点拨】

本题考查了分式方程的求解与检验，在分式方程中，一般求得的X值都需要进行检验

11、C

【解题分析】

科学记数法的表示形式为0X10〃的形式，其中14时＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移

动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，"是负数.

【题目详解】

42.4亿=4240000000,

用科学记数法表示为：4.24x1.

故选C.

【题目点拨】

考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.

12、B

【解题分析】

根据点到圆心的距离和半径的数量关系即可判定点与圆的位置关系.

【题目详解】

A选项,（1,1）到坐标原点的距离为也＜2,因此点在圆内，

B选项（0,后）到坐标原点的距离为2=2,因此点在圆上，

C选项（1,3）到坐标原点的距离为何＞2,因此点在圆外

D选项(1,72)到坐标原点的距离为四＜2,因此点在圆内，

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查点与圆的位置关系，解决本题的关键是要熟练掌握点与圆的位置关系.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

一4

13、

3

【解题分析】

原式=

♦33°

14、8n

7

【解题分析】

根据垂径定理求得砥=皿=24，然后由圆周角定理知NDOE=60。，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长

度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB-SADOE+SABEC.

【题目详解】

如图，假设线段C。、AB交于点E,

A

,：AB是0的直径，弦CDLAB,j°、j

B

:・CE=ED=25

又；/BCD=30°,

m(DE=24CD=60°,々DE=30°,

DE2木

OE=^W2,OD=2OE=4,

••S阴影=S扇形ODBSADOE+SABEC60nxOD2Ii加二二8兀

=~~360~夕ExDE+声E'CE=y-2y3+2、3=—

故答案为:多

3

【题目点拨】

考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.

15、逑

3

【解题分析】

可以取一点0(0,1),连接作CMLA。于点N,PMLAD于点M,根据勾股定理可得40=3,证明△APM^AADO

PMAP11

得——=——，PM=-AP.当CP_LAD时，CP+—AP=CP+PM的值最小，最小值为CN的长.

ODAD33

【题目详解】

如图，

取一点0(0,1),连接AO,作CN_LAZ)于点N,尸M_L4Z>于点M,

在RtAA0D中，

04=20,OD=1,

'-AD=doLU=3,

'：ZPAM^ZDAO,NAMP=NAOZ>=90°,

.'.△A尸Ms△a。。,

PM_AP

OD~AD'

PMAP

即

13

1

：.PM=-\P,

3

1

；.PC+-AP=PC+PM,

3

当CP_LAO时，CP+工AP=CP+PM的值最小，最小值为CN的长.

3

*：XCNDsXAOD,

.CNCD

••一f

AOAD

CN2

即—=彳

2四r3

,\CN=^L.

3

所以CP+-AP的最小值为逑.

33

故答案为：逑.

3

【题目点拨】

此题考查勾股定理，三角形相似的判定及性质，最短路径问题，如何找到』AP的等量线段与线段CP相加是解题的关

3

键，由此利用勾股定理、相似三角形做辅助线得到垂线段PM,使问题得解.

16、-3<a<-2

【解题分析】

分析：求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大

取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，根据解集取出四个整数解，即可得出a的范围.

详解：Ix—-2ax>〉0l①②，

由不等式①解得：x>a；

由不等式②移项合并得：-2x>-4,

解得：x<2,

二原不等式组的解集为a<x<2,

由不等式组只有四个整数解，即为1,0,-1,-2,

可得出实数a的范围为—3<aW-2.

故答案为—3<aW—2.

点睛：考查一元一次不等式组的整数解，求不等式的解集，根据不等式组有4个整数解觉得实数。的取值范围.

17、-1

【解题分析】

解：A/-64=-1.故答案为：一1.

18、x=3

【解题分析】

去分母得：X-1=2,

解得:x=3,

经检验x=3是分式方程的解，

故答案为3.

【题目点拨】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解.去分母后解出的

结果须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为g万-百

【解题分析】

【分析】(1)连接OC,易证NBCD=NOCA,由于AB是直径，所以NACB=90。,所以NOCA+OCB=NBCD+NOCB=90。,

CD是。O的切线；

(2)设。O的半径为r,AB=2r,由于ND=30。，ZOCD=90°,所以可求出r=2,ZAOC=120°,BC=2,由勾股定理

可知：AC=2四，分别计算小OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.

【题目详解】(1)如图，连接OC,

VOA=OC,

AZBAC=ZOCA,

VZBCD=ZBAC,

AZBCD=ZOCA,

VAB是直径，

.\ZACB=90°,

:.ZOCA+OCB=ZBCD+ZOCB=90°

:.ZOCD=90°

voc是半径，

・・・CD是。O的切线

(2)设。O的半径为r,

AB=2r,

VZD=30°,ZOCD=90°,

AOD=2r,ZCOB=60°

:.r+2=2r,

Ar=2,ZAOC=120°

ABC=2,

二由勾股定理可知：AC=2出，

易求SAAOC=—x2yjsxl=S'

120〃x44乃

*MOAC=360=T

【题目点拨】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性

质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

20、(1)1；(2)发令后第37秒两班运动员在275米处第一次并列.

【解题分析】

(1)直接根据图象上点横坐标可知道最快的是第1接力棒的运动员用了12秒跑完100米;

(2)分别利用待定系数法把图象相交的部分，一班，二班的直线解析式求出来后，联立成方程组求交点坐标即可.

【题目详解】

⑴从函数图象上可看出初三•二班跑得最快的是第1接力棒的运动员用了12秒跑完100米;

⑵设在图象相交的部分，设一班的直线为把点(28,200),(40,300)代入得:

28左+6=200

40左+6=300

一25100

解得：k=—,b=

3

25100

即Hn—

二班的为了2=《X+”,把点(25,200),(41,300),代入得:

25左+6=200

41左+6=300

25175

解得：k'=—,b'=--,

44

25175

即J2=—XH------

44

25100

y=一x-------

33

联立方程组｛

25175

y=一XH--------

44

所以发令后第37秒两班运动员在275米处第一次并列.

【题目点拨】

本题考查了利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力.要先根据题意列出函数关系式，再代数求值.解题

的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息.要掌

握利用函数解析式联立成方程组求交点坐标的方法.

21、(1)200；(2)见解析；(3)126°；(4)240人.

【解题分析】

⑴根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数

⑵根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；

(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；

(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数

【题目详解】

⑴；喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%,

...此次调查的总人数为：76+38%=200人，

故答案为200；

⑵•.•喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%,

•*.喜欢生活类书籍的人数为：200x15%=30人，

/.喜欢小说类书籍的人数为：200-24-76-30=70人,

如图所示：

图1

⑶•••喜欢社科类书籍的人数为：24人，

24

喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：——xlOO%=12%,

100

...喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%-15%-38%-12%=35%,

小说类所在圆心角为：360°x35%=126°；

(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%,

,该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000x12%=240人.

【题目点拨】

此题考查扇形统计图和条形统计图，看懂图中数据是解题关键

35

22、(1)y=-2x+l；(2)点P的坐标为(-一，0)或(一，0).

22

【解题分析】

(1)把A的坐标代入可求出山，即可求出反比例函数解析式，把3点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出口，

把A,5的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；

(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,设点P的坐标为(x,0),根据三角形的面积公式结合SAABP=3,

即可得出x-g=2,解之即可得出结论.

【题目详解】

HZI

(1)•・•双曲线y=—(m^O)经过点A(-2),

x2

.*.m=-1.

双曲线的表达式为y=-

X

•.•点B(n,-1)在双曲线丫二---上，

x

工点B的坐标为(1,-1).

,直线y=kx+b经过点A(-y,2),B(1,-1),

k+b=2fk=-2

2,解得＜

b=l

k+b=-l

...直线的表达式为y=-2x+l；

(2)当y=-2x+l=0时，x=y,

.,.点C0).

2

设点P的坐标为(x,0),

VSAABP=3,A(-2),B(1,-1),

2

11n1

—x3|x-----|=3,即ti|x|=2,

222

35

解得：xi=-—,X2=-.

22

35

•••点P的坐标为(-二，0)或(不，0).

22

【题目点拨】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次(反比例)函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、

反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；(2)

根据三角形的面积公式以及SAABP=3,得出x-g=2.

3

23、(1)y=-；y=x-2；(2)(0,0)或(4,0)

x

【解题分析】

试题分析：(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；

(2)首先求得AB与x轴的交点，设交点是C,然后根据SAABP=SAACP+SABCP即可列方程求得P的横坐标.

试题解析：(1)・・•反比例函数y二—(m和)的图象过点A(1,1),

x

m

：.1=—

1

/.ni=l.

3

...反比例函数的表达式为y=-.

x

,一次函数y=kx+b的图象过点A(1,1)和B(0,-2).

3k+b=l

：.(,

b=-2

一次函数的表达式为y=x-2；

(2)令y=0,.'.x-2=0,x=2,

...一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标为(2,0).

•SAABP=1>

11

-PCxl+-PCx2=l.

22

/.PC=2,

.•.点P的坐标为(0,0)、(4,0).

【题目点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积的计算，正确根据SAABP=SAACP+SABCP列方程

是关键.

24、14.2米；

【解题分析】

RtAADB中用AB表示出BD、RtAACB中用AB表示出BC,根据CD=BC-BD可得关于AB的方程，解方程可得.

【题目详解】

设45=*米

VZC=45°

，在中，==x米，

NADB=60，

又CD=6米，

•,在RLADB中

,AB

TanNADB=-----,

BD

x

Tan60°=-------

x-6

解得x=3百(6+1)土14.2米

答，建筑物的高度为14.