黑龙江省哈尔滨市宾县2024届中考数学最后一模试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市宾县2024年中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，矩形ABCD内接于。O,点P是上一点，连接PB、PC,若AD=2AB,则cos/BPC的值为（）

A6n2君n3百

A.•15•------L・-----U•---------

55210

2.一次函数丁=-；x+l的图像不经过的象限是：（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且2〃1）,Zl=60°,则N2的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

4.二次函数y=-；（x+2）2-1的图象的对称轴是（）

A.直线x=lB.直线x=-1C.直线x=2D.直线x=-2

5.若a+b=3,口：.3：=一,则ab等于（）

A.2B.1C.-2D.-1

6.某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现取

其中前3名参加学校比赛.小红要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名学生成

绩的（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

7.如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为0的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）

B

30

JKkCa________IO

A.300sinc米B.300cos（z米C.300tana米D.米

tana

8.已知直线丁=依-2与直线y=3x+2的交点在第一象限，则上的取值范围是（）

A.k=3B.k<-3C.k>3D.-3<k<3

9.如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图

没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（）

IE®

10.据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数

字338600000用科学记数法可简洁表示为（）

79

A.3.386x108B.0.3386x109c.33.86xl0D.3.386xl0

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.若机是方程2好-3*-1=0的一个根，贝！|6雨2-9雨+2016的值为.

12.如图，在口中，AC是一条对角线，EF〃BC,且E尸与A5相交于点E,与AC相交于点凡3AE=2EB,

14.如图，直角△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,则内部五个小直角三角形的周长为

_.........3....

15.如图，平面直角坐标系中，经过点B（-4,0）的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点A（-],-1）,则不等式

mx+2<kx+b<0的解集为.

17.平面直角坐标系中一点P（m-3,l-2m）在第三象限，则m的取值范围是.

三、解答题（共7小题，满分69分）

2—x1

18.（10分）解分式方程：--+--=1.

x—33—x

19.（5分）已知抛物线F：y=x4bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为（-1,0）.

（1）求抛物线F的解析式；

（1）如图1,直线1：y=gx+m（m>0）与抛物线F相交于点A（如，yD和点B（xi,yD（点A在第二象限），求yi

-yi的值（用含m的式子表示）；

4_

（3）在（1）中，若m=],设点A，是点A关于原点。的对称点，如图1.

①判断AAA，B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A\P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B与原点O重合，点C在x轴上，点C坐标为（6,

0）,等边三角形ABC的三边上有三个动点D、E、F（不考虑与A、B、C重合），点D从A向B运动，点E从B向

C运动，点F从C向A运动，三点同时运动，到终点结束，且速度均为lcm/s,设运动的时间为ts,解答下列问题：

（1）求证：如图①，不论t如何变化，ADEF始终为等边三角形.

（2）如图②过点E作EQ〃AB,交AC于点Q,设AAEQ的面积为S,求S与t的函数关系式及t为何值时△AEQ

的面积最大？求出这个最大值.

（3）在（2）的条件下，当AAEQ的面积最大时，平面内是否存在一点P,使A、D、Q、P构成的四边形是菱形，若

存在请直接写出P坐标，若不存在请说明理由？

21.(10分)如图，抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),

点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时，AD=L求抛物线的函数表达式.当t为何值时，矩形ABCD的周长有最

大值？最大值是多少？保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,

H,且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

22.(10分)已知关于尤的一元二次方程--加厂2=0…①若x=-l是方程①的一个根，求，"的值和方程①的另一

根；对于任意实数机，判断方程①的根的情况，并说明理由.

23.(12分)已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部(如图)，将半圆。绕点

A顺时针旋转a度(0。a勺80。)

(1)半圆的直径落在对角线AC上时，如图所示，半圆与AB的交点为M,求AM的长；

(2)半圆与直线CD相切时，切点为N,与线段AD的交点为P,如图所示，求劣弧AP的长；

(3)在旋转过程中，半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d,直接写出d的取值范围.

24.（14分）小哈家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着4楼梯）、3（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，

小哈按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟

悉情况.若小哈任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一

个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解题分析】

连接BD,根据圆周角定理可得cosNBDC=cos/BPC,又BD为直径，则NBCD=90。，设DC为x,则BC为2x,根

再根据COSNBDC=2^=「=—,

据勾股定理可得BD=A/5X,即可得出结论.

BD5

【题目详解】

连接BD,

四边形ABCD为矩形,

；.BD过圆心O,

VZBDC=ZBPC（圆周角定理）

/.cosZBDC=cosZBPC

VBD为直径，

/.ZBCD=90°,

•BC~2,

.•.设DC为x,

则BC为2x,

BD=7DC2+BC~=J/+（2x）2=75x,

DCx也

..cosZBDC=-----=i—=——,

BD15x5

VcosZBDC=cosZBPC,

亚

/.cosZBPC=—.

5

故答案选A.

【题目点拨】

本题考查了圆周角定理与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的应用.

2、C

【解题分析】

试题分析：根据一次函数y=kx+b（k/0,k、b为常数）的图像与性质可知：当k>0,b>0时，图像过一二三象限；

当k>0,bVO时，图像过一三四象限；当k<0,b>0时，图像过一二四象限；当k<0,b<0,图像过二三四象限.

这个一次函数的14=-与b=i>o,因此不经过第三象限.

2

答案为C

考点：一次函数的图像

3、C

【解题分析】

试题分析:过点D作DE〃a,；四边形ABCD是矩形，,NBAD=NADC=90。，N3=90。-Nl=90。-60。=30。，；a〃b,

，DE〃a〃b,/.Z4=Z3=30°,Z2=Z5,AZ2=90°-30°=60°.故选C.

考点：1矩形；2平行线的性质.

4、D

【解题分析】

根据二次函数顶点式的性质解答即可.

【题目详解】

"."y=-；(x+2)2-1是顶点式，

二对称轴是：x=-2,

故选D.

【题目点拨】

本题考查二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的性质，对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k)熟练掌握顶点式的性质是解题关键.

5、B

【解题分析】

,:a+b=3,

•二(a+b)2=9

:.a2+2ab+b2=9

,:a2+b2=7

.\7+2ab=9,7+2ab=9

ab=l.

故选B.

考点：完全平方公式；整体代入.

6、B

【解题分析】

由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，只需知道中位数

即可.

【题目详解】

由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，故应知道中位数

是多少.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键.

7、A

【解题分析】

利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度.

【题目详解】

在RtAAOB中，ZAOB=90°,AB=300米,

BO=AB»sina=300sina米.

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB,BO的关系是解题

关键.

8、C

【解题分析】

根据题意画出图形，利用数形结合，即可得出答案.

【题目详解】

当左＞3时，两条直线的交点在第一象限.

故选：c.

【题目点拨】

本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键.

9、B

【解题分析】

俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可.

【题目详解】

由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视

图没变，得

拿掉第一排的小正方形，

拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是「|,

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形.

10、A

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中心同＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【题目详解】

解：数字338600000用科学记数法可简洁表示为3.386x108

故选:A

【题目点拨】

本题考查科学记数法一表示较大的数.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、2.

【解题分析】

把代入方程，求出2/-3桃=2,再变形后代入，即可求出答案.

【题目详解】

解：是方程2x2-3x-2=0的一个根，

・••代入得：2m2-3m-2=0,

2m2-3m=2,

；・6--9^+2026=3（2--3加）+2026=3x2+2026=2,

故答案为：2.

【题目点拨】

本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，解此题的关键是能求出2--3帆=2.

12、g

【解题分析】

SAEF425

由3AE=2EB,和EF〃BC,证明△AEFS^ABC,得一^=石，结合SAAKF=L可知S』ADC=S△ABC=7,再由

AFAE2,_S^ADFAF2Hgg2口qe

正=福巧，得乐BF=正巧，再根据SAADF=5SAADC即可求解.

【题目详解】

解：；3AE=2EB,

设AE=2a,BE=3a,

VEF/7BC,

/.△AEF^AABC,

•S"AEF=（当2=（二2=±

.,S4ABe-VABJ-k2a+3a7~25）

•SAAEF_1,

.25

••SAABC=7，

•.•四边形ABCD为平行四边形，

AS』ADC=S』ABC=7,

VEF/7BC,

.AFAE2a2

•*正=BE=3a=3'

.S-ADFAF2

••S'CDF=FC=r

••SAADF=JSAADC=2?

故答案是：I

【题目点拨】

本题考查了图形的相似和平行线分线段成比例定理，中等难度，找到相似比是解题关键.

13、x>-2J.x^l

【解题分析】

分析：

根据使分式和二次根式有意义的要求列出关于X的不等式组，解不等式组即可求得X的取值范围.

详解：

■:y-.........H2有意义，

1-x

1一%。0

s八，解得：工2一2且%。1.

x+2>0

故答案为：2且

点睛：本题解题的关键是需注意：要使函数y=—匚+而1有意义，x的取值需同时满足两个条件：1-xwO和

1-x

x+2>0,二者缺一不可.

14、1

【解题分析】

分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三

角形的周长.

详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，

故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=1.

故答案为L

点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变.

3

15、-4<x<-----

2

【解题分析】

根据函数的图像，可知不等式mx+2<kx+b<0的解集就是y=mx+2在函数y=kx+b的下面，且它们的值小于0的解集

3

是-4Vx<--.

2

3

故答案为-4<xV--.

2

16、x>l.

【解题分析】

按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.

【题目详解】

解：去分母得：x-l>8-2x,

移项合并得：3x>12,

解得：x>l,

故答案为：X>1

【题目点拨】

本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.

17、0.5<m<3

【解题分析】

根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组，然后求解即可.

【题目详解】

•.•点P(m-3,l-2m)在第三象限，

m—3<0

加<0，

解得：0.5<m<3,

故答案为：0.5<m<3.

【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程组与象限及点的坐标的有关性质，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程组与象限及点

的坐标的有关性质.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、x=2.

【解题分析】

试题分析：方程最简公分母为(1-3),方程两边同乘(x-3)将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验.

试题解析：方程两边同乘(％-3),得：2—x-l=x—3,整理解得：％=2,经检验：x=2是原方程的解.

考点：解分式方程.

19、(1)y=x】+qx；(1)yi-yi=|V^;(3)①4AAG为等边三角形，理由见解析；②平面内存在点P,使得以点A、

B、A\P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(1V3,今、(-=瞥)和(-乎，-1)

【解题分析】

(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；

(1)将直线1的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出xi、xi的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出yi、

yi的值，做差后即可得出yi-yi的值；

（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A，的坐标.

①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA，、A，B的值，由三者相等即可得出AAAHB为等边三角形；

②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P,设点P的坐标为（x,y）,分三种情况考虑：

（i）当A，B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形

的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA，为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出

点P的坐标.综上即可得出结论.

【题目详解】

（1）；抛物线y=x1+bx+c的图象经过点（0,0）和（-，0）,

Ic=O

•飞4+c=0,解得：［二於

・・・抛物线F的解析式为y=x1+fx.

（1）将yu1x+m代入y=xi+gx,得：x^m,

解得：xi=-也，xi=\,'17r,

.\yi=-*^+m,yi=N^i+m,

Ayi-yi=（jV^r+m）-（-=|V3TT（m>0）.

（3）Vm=p

.•.点A的坐标为（-当，点B的坐标为（乎，1）.

•••点A，是点A关于原点>的对称点，

点A，的坐标为（乎，

①AAA，B为等边三角形，理由如下：

VA（-当）B（乎,1）,A3当-：）,

888

・・AAr=pAB=",ArB=",

・・・AA，=AB=AB

.,.△AAB为等边三角形.

②为等边三角形，

二存在符合题意的点P,且以点A、B、A\P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x,y）.

|期2百c

|x-T=TX2

(i)当A，B为对角线时，有2

!x=24

解得ly=”

...点P的坐标为（1书,，；

2由

（%=---

（ii）当AB为对角线时，有223

»厂/2

.•.点P的坐标为（-乎，7）;

2由

X=-T

（iii）当AA，为对角线时，有4。22,

解得：匕I—二独二，

...点P的坐标为（-乎，-1）.

综上所述：平面内存在点P,使得以点A、B、A\P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（1右，今、（-当与）

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定

与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（1）将一次函数解析式代入二次

函数解析式中求出xi、xi的值；（3）①利用勾股定理（两点间的距离公式）求出AB、AA\A，B的值；②分A，B为对

角线、AB为对角线及AA，为对角线三种情况求出点P的坐标.

20、（1）证明见解析；（2）当t=3时，△AEQ的面积最大为Wlcn?；（3）（3,0）或（6,373）或（0,373）

【解题分析】

(1)由三角形ABC为等边三角形，以及AD=BE=CF,进而得出三角形ADF与三角形CFE与三角形BED全等，利

用全等三角形对应边相等得到BF=DF=DE,即可得证；(2)先表示出三角形AEC面积，根据EQ与AB平行，得到

三角形CEQ与三角形ABC相似,利用相似三角形面积比等于相似比的平方表示出三角形CEQ面积，进而表示出AEQ

面积，利用二次函数的性质求出面积最大值，并求出此时Q的坐标即可；(3)当4AEQ的面积最大时，D、E、F都

是中点，分两种情形讨论即可解决问题；

【题目详解】

(1)如图①中，

VC(6,0),

/.BC=6

在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=6,ZA=ZB=ZC=60°,

由题意知，当0<t<6时，AD=BE=CF=t,

/.BD=CE=AF=6-t,

/.△ADF^ACFE^ABED(SAS),

；.EF=DF=DE,

.,.△DEF是等边三角形，

不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形；

(2)如图②中，作AH_LBC于H,则AH=AB・sin60o=3出,

VEQ/7AB,

/.△CEQ^AABC,

.•."=(笠)2=(6—)2

,即SACEQ-SAABC=x9庠技6-I,

sCB3636364

2

・c_cc_3yf3(6-t)A/3(6-/)_V3(.62s

••SAAEQ-5AAEC5ACEQ----------------------------------------------Vt3)+-----，

2444

Va=-—<0,

4

二抛物线开口向下，有最大值，

.•.当t=3时，△AEQ的面积最大为28cm2,

4

(3)如图③中，由(2)知，E点为BC的中点，线段EQ为△ABC的中位线，

当AD为对角线时，P2（0,3君），

综上所述，满足条件的点P坐标为（3,0）或（6,373）或（0,3若）.

【题目点拨】

本题考查四边形综合题、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、二次函数的性质等知识,解题的关键是学会

构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

1541

21、（1）y=——/+_（2）当t=i时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为一；（3）抛物线向右平移的

422

距离是1个单位.

【解题分析】

（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2,1）代入计算可得;

1,5

(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,据此知AB=10-2t,再由x=t时AD=———+―/,根据矩形的周长公式列出函

42

数解析式，配方成顶点式即可得；

(3)由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P,根据AB〃CD

知线段OD平移后得到的线段是GH,由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是AOBD中位线，据此可得.

【题目详解】

(1)设抛物线解析式为y=^(x—10),

当，=2时，A£)=4,

二点。的坐标为(2,4),

将点D坐标代入解析式得—16。=4,

解得：a=——,

1295

抛物线的函数表达式为y=--x+-x;

(2)由抛物线的对称性得5£=Q4=f,

1。5

当％时，AD=­t"!—t,

42

二矩形ABC。的周长=2(A3+AD)

=2(1°—2/)+(一；/+■!’],

1,

=—t+1+20

2f

二当/=1时，矩形ABC。的周长有最大值，最大值为二；

2

(3)如图，

当f=2时,点A、B、C、D的坐标分别为(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),

二矩形ABC。对角线的交点P的坐标为(5,2),

直线GH平分矩形的面积，

二点尸是GH和3。的中点，

:.DP=PB,

由平移知，PQ//OB

PQ是AQDB的中位线，

PQ=^OB=4,

所以抛物线向右平移的距离是1个单位.

【题目点拨】

本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质

等知识点.

22、(1)方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.

【解题分析】

试题分析：(1)直接把x=-l代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；

(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式A与1的关系进行判断.

⑴把x=-l代入得l+m-2=l,解得m=l

.——2=1.

：•.=2,:二二-1

•••另一根是2；

(2)'.,力.—IcK=—4x(—2)—刑2+8>0，

...方程①有两个不相等的实数根.

考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程

点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当4>1,方程有两个不相等的实数根;

当△=!,方程有两个相等的实数根；当方程没有实数根

162

23、(2)AM=y；(2)=(3)4-或d=4+5

【解题分析】

(2)连接B，M,则NB，MA=90。，在RtAABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，由NB=NB，MA=90。、

NBCA=NMAB，可得出△ABC^AAMBS根据相似三角形的性质可求出A