湖北省2024届高三5月联考（二模）数学试题（含答案解析）

湖北省宜荆荆随恩2024届高三5月联考（二模）数学试题

学校：.,姓名：,班级:考号:

一、单选题

i.已知复数z==(l+i),则z202」）

A.1B.-1C.-iD.i

2.设/,m,〃是不同的直线,m,〃在平面a内，则加且/JL〃”是“/JLa”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.有一组样本数据:15,16,11,11,14,20,II,13,13,24,13,18,则这组样本数

据的上网分位数是（

A.11B.13C.16D.17

4.函数/(x)=3cosx-4sinx,当/'(x)取得最大值时，sinx=()

B.q3

AD.

-?c15

5.已知函数〃x）=log5s-2）在口,内）上单调递增，则a的取值范围是（）

A.(h+℃))B.[in2,+oo)C.(2,+oo)D.[2,”)

6.已知非零向量4,〃的夹角为，同=2,AGR,则卜+动|的最小值为（）

A.2B.石C.1D-I

7.今天的课外作业是从6道应用即中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有

一题相同的概率是（）

A.得4D-2

B.

15c2

8.已知=g（x）=lnx,与y轴平行的直线，与/（x）和g（x）的图象分别交于

A,B两点,则臼的最小值是（）

A.IB.册C.eD.e

二、多选题

9.已知x>y>。，则下列不等式正确的有（）

A.ev-ey>x-yB.Inx-lny八一y

ixv

C.Inx21——D.—e>—e

xyx

10.无穷等比数列加“｝的首项为4公比为q,下列条件能使｛4｝既有最大值，又有最小值的

有（）

A.q>0,0<q<lB.^>0,-l<（y<0

C.«1<0,q=-\D.«,<0,q<-\

II.正方体ABC。-%耳G"中，AB=2,P在正方形BCG片内（包括边界），下列结论正

确的有（）

A.若AP=3,则尸点轨迹的长度为无加

6

B.三棱锥P-ABC外接球体积的最小值是逑冗

3

C.若Q为正方形的中心，则△APQ周长的最小值为卡+至

212

D.cos/PAD+cosZPAB+cosZ.PAA｛=1

三、填空题

）

12.已知（24-1严=00+4/+。2/++。10%",则4+4+2%+3/+…+10。10=.

13.己知MVZUNL且J>2,Z>3,则方程x+y+n-10的解的组数为.

14.已知函数/（x）=sin3+e）（o>0,|同芳）的最小正周期为T,八'）=/即若/（6

在［0,1］内恰有10个零点则。的取值范围是.

四、解答题

15.在五面体ABC-A与G中，四边形MGC为等腰梯形，AGiAC,AG=gAC=i,

AA.A.BC,CC,1AB.

试卷第2页，共4页

4

⑴求证AA、BB、、CG三线交于一点.

3

(2)若AB_Z8C,/V\=>/6,BBX=—,求平面4与。1与平面A8c所成角的大小.

16.已知数列｛《,｝前〃项和为S”，q=l,a2=4,=；%+]+3q，设“=为+]+与

(1)是否存在常数亿使数列｛2｝为等比数列，若存在，求欠值，若不存在，说明理由.

1113

(2)求S”的表达式，并证明《+3++不<弓.

17.数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6

分，部分选对按比例得分，有选错得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的

选项共有四个的概率为0,正确选项共有两个的概率为P

(1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A、B、C、。四个选项中

任选一个选项；策略二：在A、8、C、。四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两

个策略时小明得分的期望；

(2)若有一个多选题，小明发现A正确，B、C、。选项他不会判断，现在他也有两个策略，

策略-：.选A和8、。、£>中的任一个，策略二：选A和8、C、。中的任意2个，在P=!

的条件下，判断小明该选择哪个策略.

18.设函数/(*)=4111工一0¥2+(4-勿)不，aeR

⑴讨论的单调性.

(2)若函数/(%)存在极值，对任意的0<K<F，存在正实数升，使得

/(王)一/(玉)=/'(%)(毛一天)

Inx->-Inx2

(i)证明不等式二

玉+勺

(ii)判断并证明与用的大小.

2

，9■已知椭圆若+却的离心率为当，耳，人是c的左、右隹点，直线/：一是其

右准线，P是/上的一动点，。点在C上.

(1)求。的方程.

(2)若直线OQ、PQ的斜率之积为平面内是否存在定点/满足PTLQT恒成立.若存在

求出7的坐标，若不存在说明理由.

(3)若P(4,2),过P的动直线与C交于不同的两点M,N,在线段MN上取异于N的点

\PM\\HM\

H,满足^证明”恒在一条直线上并求出这条直线的方程•

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】利用复数的乘方运算计算得解.

【详解】因为Z=^(l+i),所以Z2=g(l+2i+i2)=i,

所以

故选：A

2.B

【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.

【详解】若/_L〃?且/_L〃，当机〃〃时，直线/可以与平面。平行，此时/〃0,不能推出/J_a,

若/_La,〃?，〃是平面。内两条不同的直线，则/_Lm,IIn,

所以“/I”日/_L〃”是"/Ia”的必要不充分的条件.

故选：B

3.D

【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数.

【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11,",11,13,13,13,14,15,16,18,20,

24,

因为12x：=9,所以这组数据的上四分位数为史普=17.

42

故选：D

4.B

【分析】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.

【详解】/(x)=3cosx-4sinx=5；X+Q),

34

其中cos>=一,sin/=一,

而/(x)=3cosx-4sinx=5cos(x+^)<5,

等号成立当且仅当x+C=2E伏wZ),此时sinx=sin(-9)=-sin>=-《.

故选：B.

5.C

【分析】先由题设条件证明a>2,再验证a>2时条件满足即可.

答案第1页，共14页

(详解】若，(x)=log5(优—2)在［1,+00)上单调递增，

则必然在x=l处有定义，所以"-2>0，即々>2；

若。>2,则当％之1时相—2Na—2>0,所以〃“在口，“0)上有定义，

再由知优-2在R上单调递增，所以在口,+oo)上单调递增.

故选：C.

6.C

【分析】求出向量乘积，结合二次函数求最值即可.

【详解】因为》的夹角为,小2,所以〃石二百阵

,+浦川把+2邳卜+4=岫+可+1之1.

故卜+训的最小值为I.

故选：C

7.D

【分析】利用排列组合求解所有基本事件个数及所求事件的基本事件个数，然后利用古典概

型概率公式求解即可.

【详解】由题，所有的基本事件个数为C：xC：=15x15=225,

“恰有一题相同”包含的基本事件数为C：xA；=6x5x4=120,

1208

所以。D=赤=及

故选：D

8.A

【分析】将函数作差，得到函数〃3)=/(a)-g(a),再求函数Mx)=〃x)-g(x)的最小值即

得到|A回的最小值.

【详解】由题意设A(aJ(G),B(a,g(a)),则|A8|二『(〃)—g(a)|,

令力(x)=f(x)-g(x)=x(er-1)-Inx=eJ*,nr-(x+Inx),

下证：er-x^l，

设/(x)=e，r-l,r(x)=e=l,/r(0)=0,

答案第2页，共14页

当。«-oo,o)时,r(x)<o,-⑶为减函数,

当xe(O,y)时，/(x)>0,/(*)为增函数，

所以/(M由=/(°)=0,即e—，当且仅当x=。时等号成立，

所以"(力二尸"一(x+inx)Nl,当且仅当x+lnx=O时等号成立，

记/n(x)=x+lnx,(x>0),则加(x)=2+：>0,所以帆(x)在(0,*»)上为增函数，

又相(1)=1〉0,/H^W-1<0,故存在xc(g[｝使得x+lnx=O,

所以MM=,(a)|=Ma)Nl,即|A用最小值为1.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点有两个：

一是将距离问题翻译成绝对值问题，先研究绝对值内式子的范围，再加绝对值处理；

二是利用同构思想巧求函数的最值.

9.ACD

【分析】对于A,构造函数/(力=炉-X,利用导数判断函数单调性，即可比较：对于B,

举反例判断即可；对于C,构造函数〃(x)=hu-l+1(x>0),利用导数研究函数最值即可判

x

断；对于D,构造函数g(x)=x©a>0),利用导数判断函数单调性，即可比较.

【详解】设"x)=e'—Mx>°)，则r(x)=e*-l>0,“力在(0,+。)单调递增，

xyxy

所以f(x)>f(y),&Pe-x>e-yt&Pe-e>x-yfA正确;

令X=e,y=l,则lnx-lny=l,而x-y=e-l,所以Inx-lnyvx-y,B不正确；

设〃")=12一1+'(4>0),则〃'*)=1一-，

XXx~x~

当Ovxvl时，力'*户?<0,函数力(幻单调递减；

当%>1时，函数版幻单调递增；

则人。)=加一1+1在尸1时取得最小值力⑴=lnl—l+Lo,即mci」，C正确；

X1X

设g(x)=x・e"(x>0),则g'(x)=(x+l)eX>0,所以g(x)=xd在(0,+8)上是增函数,

答案第3页，共14页

所以由x>y>0得X即D正确.

yx

故选：ACD

10.BC

【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可.

【详解】4>0,0<4<1时，等比数列｛4｝单调递减，故｛%｝只有最大值修，没有最小值；

4>0,Tv”O时,等比数列｛勺｝为摆动数列，此时可为大值,%为最小值；

4<0,夕=-1时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，

所以等比数列｛《,｝有最大值，也有最小值：

%v。，。〈-1时，因为|@>1,所以｛%｝无最大值，奇数项为负无最小值，

偶数项为正无最大值.

故选：BC

11.BCD

【分析】结合圆的定义及题目条件得点的轨迹，利用弧长公式判断A,确定球的位置，利用

球体积公式求解判断B,作出Q关于平面的对称点，利用三点共线最短求得最小值判断C,

建立空间直角坐标系，利用向量夹角的坐标公式计算化简即可求解判断D.

【详解】因为4P=3,且422=452+8尸2,AB=2,所以8P=6，

取4G，GC的中点E,F,则BE=BF=遂,所以P点轨迹为圆弧

因为尸工与，所以EF¥典,A不正确；

由球的性质知，三棱锥P-4BC外接球的球心在过融C外接圆圆心的垂线上，

RtAABC的外接圆的圆心为AC的中点，且半径为gAC=V2,

当尸-ABC外接球半径最小时，"WC的外接圆是球的大圆，

所以球半径R最小值为应，外接球体积最小值是3兀（&丫=半冗，B正确；

设Q关于平面BCC出的对称点为。，

则AP+PQ=AP+PQ'NA0=j22+12+32=旧，

又AQ=j22+f+产=",所以AAPQ的周长AQ+AP+PQ26+x/iW,C正确；

答案第4页，共14页

分别以DAOCDA所在的直线为X轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则D(0,0,0),4(2,0,0),8(220),4,(2,0,2),设P(x,2,z),0WxW2,0WzW2,

则AP=(x-2,2,z),AD=(-2,0,0),A8=(0,2,0),AA,=(0,0,2),

/nan"TTiTKAAA。4—2x2-X

所以cos/PAD=cosARAD=।1=----,=/

河.[A5]2x^(X-2)2+4+Z2^(X-2)2+4+Z

APAB

cosNPAB=cosAP,AB=

网.网2xy/(x-2)2+4+z2J(x-2y+4+z

AP•例

cosZPA4,=cosAP,A4,

网J闯2X^(X-2)2+4+Z2^(X-2)2+4+Z2

(27)

cos"NPA。+cos'NPA4+COS”APAA.+)+)

(x-2)2+4+z2(x-2)+4+z2(x-2)+4+z

D正确.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，

再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向星法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向

向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）的余弦值，即可求出结果.

12.21

【分析】对（2公1严=%+乎+%/+…+即一两边求导，再利用赋值法，令x=l，可得

答案第5页，共14页

4+26++10^=20,原式中令％=0,可求得％=1,即可求解.

【详解】对(2不一1四=%+4%+//+•+/”两边求导可得：

9

20(2x-1)=a1+2a2x'++1。々“卢'，

令x=l,可得20(2x1—1)9=4+2%++10«10,

即q+2a2++IO/=20,

又(2%-1尸=%+4%+%/+••+%”，令工=0,可得%=1,

所以4+4+2生+3〃3+…+1°。10=1+20=21.

故答案为：21.

13.15

【分析】问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球

的方法个数，利用隔板法求解即可.

【详解】由题意，原问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放

入1个小球的方法个数，在7个相同的小球之间形成的6个空中，任选2个放入两个隔板,

共有C；=M=15种方法，

2x1

即方程x+y+z=io的解的组数为15.

故答案为：15

14.[9JI,1On)

【分析】由噌MS可得sin(1+0)=sin传+Q),

进而可求。，进而根据/")在

[0,1]内恰有10个零点，可求。的取值范围.

【详解】函数f(x)=sin(s+e)(。＞0,|同＜5)的周期为T=三,

2co

n27t

因为倒＜5，所以1+°+丁+3=兀，解得。=。，

22-2

所以/(x)=sin®x,因为xe[0,l],所以04GxM0,

答案第6页，共14页

要使/（X）在［0,1］内恰有10个零点,贝IJ9冗W3vlOn.

所以。的取值范围是［9兀10冗）.

故答案为：［9兀,10兀）.

15.（I）证明见解析

呜

【分析】（1）四边形是等腰梯形，延长AA，CG必相交于一点，再证明此点分别在

平面44,8/,平面内即可证明结论；

（2）由题可证AB、BC、8四两两垂直，以8为原点，BC,BA,8片所在直线分别为“

轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，求得平面AAG的一个法向量，平面A3c的一个法向

量，利用向量法可求平面ABCi与平面ABC所成角.

【详解】（1）因为四边形相GC是等腰梯形，AGMC,所以延长AA.,CG必相交于一点，

设A4,nCG=P,因为PeAA,,AA<=平面448田，所以尸£平面A4禺8

同理可得：平面B8CC,

又因为平面"1818c平面8800=54,所以Pea*

即AA，BB-CG交于一点尸；

（2）由AA_L8C,AB1BC,MCAB=A,朋,ABu平面MAB,

所以平面44苏乃，又88IU平面AA&B,BC1BB,,

同理可得A8JLBB1,所以43、BC、两两垂直，

以B为原点，BC,84,B用所在直线分别为x轴，），轴，z轴建立空间直角坐标系，

答案第7页，共14页

因为AAGC是等腰梯形，所以△P4C是等腰三角形，PA=PC所以胡=6C,

因为AG=：AC,所以4尸=3人7，因为AA=卡，所以人「=•!指,

过4作于M,可得AM=1AB=迫，PM=-BP=\t

323

所以8尸===3,所以P（0,0,3）,

8M=［母,4，AG=（*,-*,o

设平面AMG的一个法向量为勺=(x,y,z),

qAG=41一冬，=0

7-,取x=l得y=iz=—V2，

V21

—＞，+2Z=0

所以面ABC的一个法向量为仆=(u,一夜),

又平面ABC的一个法向量为%=(0,0,1),

所以8s如")=牖"孝，

所以平面A4G与平面ABC所成角为£.

4

16.(1)存在，答案见解析

(2)Sn=3"-2\证明见解析

【分析】(1)由题意可得%=54一61(〃之2,〃eN),法一：假设存在常数&使数歹式幻

答案第8页，共14页

为等比数列，设｝二夕（〃之2）,可得%=（q—k）a：i，可得求解即可；

法二：假设存在常数上使数列｛4｝为等比数列，则有以=4•么，可得

（14+4Q2=（4+左）.（46+1融），解得上验证可得结论；

（2）法一：由（1）可求得a“=2.3"T-2"T,S,=3"-2"（〃N2）,通过放缩可得击,

可证结论；同法一得到S.=3"-2"由二项式定理得3"=（2+l）"=C：2"+C?"++C：2°,

nln

当〃22时；C'n2->2t可证结论.

【详解】⑴当〃之2时，S”=>“+3al所以%=S“+]-S”=（；/+3aJ-（呆+3%）,

整理得%=5%-6%（n>2,"N"），

法一：假设存在常数女使数列｛2｝为等比数列，设3=4（〃22）,

则%+幼=4（4+姐I），即/+i=（夕一女）q+4St，

q-k=5（k=-2[k=-3

令』",解得,或0，

qk=-b（4=3（q=2

故当左=-2时，4=%-2q=4-2=2,所以也｝为首项为2,公比为3的等比数列，

当上二—3时，4=4-34=4-3=1,所以也｝为首项为1,公比为2的等比数列.

（解法二）：假设存在常数k使数列低｝为等比数列，则有其=%也，

由已知得。3=14,4=46,所以4=叼+栩=4+々，b2=ai+ka2=14+4Ar,

么=4+ka3=46+14k,

所以（14+42）2=（4+4）.（46+1软），解得k=-2或一3,

ha„^.-2a„5G„-6a„.-2a„、7

当攵=一2时，广="•二”=7~——^=3（〃之2）,

bn=4+i-3%=5&6区一一3凡

=2（〃之2）,

4-3勺_]凡一3%T

结论同解法一;

:二:累丁,解得—

（2）法一：由（1）知,

答案第9页，共14页

所以S.+i二式“+34=3向一2向，则S,=y-2\n>2），

又S=1也满足上式，所以S.=3"-2”，

因为s—yTi—仔）］,所以1—住

所以S”之3〃\所以\-«击,

111111-⑸

故一4-——+…+——<—+—4-•+-r=-证毕.

S,55„3°3131[_]_

2扑（扑I

3

法二：同法一得到邑=30-2”,

由二项式定理得3"=(2+1)"=C⑵+C；2"T++C：2°,

nln

当〃N2时；C'n2->2t即3”-2”>2”伍22),所以

]__1_

……111,111।1声313

所以壮2时“其+…+工<1+唳+m+...+^=1+-^=丁mJ，

2

当〃=1时，!=

所以1+J++!<1.

3

17.⑴期望分别为1和2-p

(2)小明应选择策略一

【分析】分两种情况设小明分别采用策略一和策略二的得分情况，在计算相应的概率再求相

应的期望；（2）根据条件，分别求出三种情况的分布列，进而求出期望，再根据的值进行讨

论，从而得到结论

【详解】（1）设小明分别采用策略一和策略二的得分分别为乂，X2t

X1=0,2,3,P（X}=0）=+J

P（XI=2）=（l-p）x^=^^；P（X=3）=/若=?

/.E（XI）=0x^+2x^^+3x^=-

l"4442

答案第10页，共14页

533+2p

x2=0,4,6,P（X2=0）=px-+（l-p）x-=

oo6

3

P（X2=4）=（l-p）x^=-P（X2=6）=pxiP_

ooo6

，E（X,）=0x^i^+4x^^+6xK=2-p

v27666

所以小明分别采一取策略一和策略二的得分的期望分别为3:和2-p

（2）设小明选择策略一和策略二的得分分别为X，X

17315

X=0,4,6；P（K=0）=-X-+-XA=2-;

v17434312

喇=4）=滔啥*=可=沿咕

561。

,-.E（y）=0x—+4x—+6x—=-

'"1212122

-0,6,尸化=。）=+*2化=可=汨=；

,\E（K）=0x^3+6xl1=13

・・・%）”化）

工小明应选择策略一

18.（1）/（力在（0,1）单调递增，在（：,+8）单调递减

（2）（i）证明见解析；（ii）日/＞/，证明见解析

【分析】（1）求导得广（力=1（2火-4乂4+1）,分。是否大于0进行讨论即可得解；

（2）（i）要证明.）—In”＞二_即只需证明］生二从而构造函数即可得

证；（ii）同构作差法并结合（i）中结论即可得解.

【详解】⑴r（x）=，2ar+4—勿W（2or—4）（x+l）,x＞0,

若a40,贝“力在（口内）上单调递增，

9

若。＞（）,由ra）=o得

a

当x《0,g时制冷＞0；当xw停+8）时,/（力＜0,

・・・/（x）在（0,；）单调递增，在（：+8）单调递减.

答案第11页，共14页

（2）・・・/（6存在极值，由（1）知。＞0,

/（七）一/（百）=4（1内2-11］）一4（兄一52）+（4-2〃）（“2-%）

=4(lnj^-In+%)(芍—%)+(4—2a)(再—p),

由题设得/㈤=&h®="睫也1)_抬,+XJ+4-2%

Xj-x,/一王

*/0<x,<x2,设&•=«f>D,

xI

(i)要证明它二屿>」一即证明lnf>"二

X2-XxX2+X{/+]')

设g(f)=ln/_2“1),(Z>1),

2(/1)-2(/-1)(/-I)2

则+=>0,

/⑺6-(r+1)2«:十1尸

・・・g«）在（1,欣）上单调递增，g（i）＞g（l）=0,

・・・小丝3即小金些〉上得证，

t+\x2-x,x2+x1

⑴《鬻卜士-6+64-2“,

(、

r(*mX1+x241142-In%)_8_/ln.q_lnX|_2

2x2-X|X}+x2IX,-X1芭+12,

“（.%）＞/（七斗

,4

■:/'（%）=（-20¥+（4-〃）在（0,+8）上是减函数，

.X+x2

【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的心调性以及不等式证明

问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当

的函数，利用导数的单调性进行证明.