湖南省永州市2024年(届)高三年级高考第三次模拟考试数学含答案

永州市2024年高考第三次模拟考试

数学

注意事项：

1.本试卷共150分，考试时量120分钟.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.

3.考试结束后，只交答题卡.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合/=卜,=ln(x-3)},8=卜e川--4x-12<o},贝!|/口2=

A.{4,5}B.[3,6)C.{3,4,5,6)D.(3,6)

2.样本数据16,24,14,10,20,15,12,14的上四分位数为

A.14B.15C.16D.18

n+2

3.已知非零数列{册}满足2"限_2a„=0,则如二

。2021

A.8B.16C.32D.64

[xtane-'j的展开式中第四项的系数为540,则cos26的值为

4.

5.为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一

样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分

得的份数不相同，则不同的分法总数为

A.26B.25C.24D.23

--►--►--►--►--►--►

6.在AA8C中，NNC8=120。，|NC|=3,13cl=4,0008=0,贝！]|A8+N0的最小值为

A.673-2B.2M-4C.373-1D.V19-2

7.已知函数/(尤)=6工-葭"+sinx-x+2,其中e是自然对数的底数.若

/(log,/)+/(3)>4,则实数/的取值范围是

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A.(o'B.Q,+oojC.(0,8)D.(8,+oo)

8.已知耳，乃分别是双曲线=-2=1(°>01>0)的左、右焦点，点。为坐标原点，过

ab

力的直线分别交双曲线左、右两支于4,2两点，点。在x轴上，CB=3F\A,2乙平

分/RBC,其中一条渐近线与线段AB交于点P,则sin/PO%=

AV41RV42rV43n2VH

7777

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是

A.已知随机变量X〜NQ,/),若P(0<X<2)=0.4,则P(X>4)=0.1

B.设。>0,b>0,贝ij"log”〉log“3”成立的充要条件是“a>6>1”

133

C.已知P(B|/)=—,P(AB)=±,则P(4)=3

2816

D.若尸(/5)=),尸(7)=g,则事件/与2相互独立

10.已知抛物线C:x2=2y的焦点为尸，过点尸且倾斜角为锐角的直线/与抛物线C相交

于4,2两点(点/在第一象限)，过点/作抛物线。的准线的垂线，垂足为直

线/与抛物线C的准线相交于点N,则

A.卜尸|+忸司的最小值为2

B.当直线/的斜率为百时，M同=8

C.设直线的斜率分别为自，42,则勾=工

后22

D.过点2作直线的垂线，垂足为Q,2Q交直线儿田于点尸，则忸尸|=|尸@

11.在平面四边形488中，4B=4D=VI,ABCD为等边三角形，将A4BD

沿8。折起，得到三棱锥4-BCD,设二面角4-3。-C的大小为a.则下列说法正

确的是

A.当a=150。时，M,N分别为线段AD,4c上的动点，则|MN|的最小值为

V21

B.当a=120。时，三棱锥4-28外接球的直径为可

C.当a=90。时，以4c为直径的球面与底面BCD的交线长为1-"

D.当a=60。时，4D绕。点旋转至所形成的曲面面积为［万

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

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2

12.已知复数4=冽2-(冽2-5机+6)i,z2=10-(m-3m)i,若(5为z的共物复数),

则实数机的取值范围为.

13.已知在A45c中，角4,B,。所对的边分别为a,6,0,且

acosB+bcosZ=-2ccosC,

sin(2Z+?)=g

则cos(A一B)二

14.已知函数/(x)的定义域为R,/(x)+/(l-x)=l,/(x)=2/(y),且对于

0<Xj<x2<1,恒有/(xj</(x2),则'

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块

不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有M元素，乙地土质不含有M

元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与M元

素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计

分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株.

(1)根据所给数据，完成下面的2x2列联表(单位：株)，并判断依据小概率值。=0.10

的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与M元素含量有关联？

(2)若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株

数为X,求X的分布列及方差.

n(ad-bc)

参考公式：*n=a+b+c+d

(a+b)(c+</)(a+c)(b+d)，

参考数据:2x2列联表

树苗成活情况

a0.100.050.0100.005类别合计

成活不成活

%2.7063.8416.6357.879含〃元素

不含〃元素

合计

16.(本题满分15分)如图，在多面体尸中，底面/BCD为直角梯形，ABHCD,

AB1BC,EC1.平面ABCD,CD=2BC=4AB=4.

(1)证明：BDLAE；

(2)若EC=2BF,BF//EC,且多面体N8CDE尸的体

积为口，求直线NC与平面NEF所成角的正弦

3

值.

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(第16题图)

17.(本题满分15分)已知函数f(%)=|3%-11-36-31nx.

(1)当6=1时，求/(x)在［,+oo)的单调区间及极值.

(2)若/(x)20恒成立，求6的取值范围.

18.(本题满分17分)已知数列｛册｝为等比数列，｛"｝为等差数列，且%="=2,%=8%，

=bg.

(1)求｛%｝,｛4｝的通项公式;

(2)数列，(-1)4国•6/"的前"项和为£,集合

/=(产-共有5个元素，求实数/的取值范围；

〔"q+2J

(3)若数列｛q｝中，q=1,c〃=","〃(〃22),求证：.+qq+%q仁+…

的〃T

+Cj-c2-c3...cn<2.

19.(本题满分17分)己知。为坐标原点，动点M在椭圆。:二+/=1上，动点N满足

2

ON=^OM,记点N的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程；

(2)在轨迹£上是否存在点T,使得过点T作椭圆C的两条切线互相垂直？若存在，

求点T的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)过点”的直线y=履+加(加大0)交轨迹E于4,2两点，射线(W交轨迹E于点

P,射线交椭圆C于点0,求四边形4P2Q面积的最大值.

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数学参考答案及评分标准

一、单项选择题

题号12345678

答案ADDCCACB

二、多项选择题

题号91011

答案ADBCDACD

三、填空题

71

12.{3}13.-14.—

816

7.解析：

f\x)=ex+e~x+cosx-l>2ylex-e~x+cosx-1=1+cosx>0.

.•J(x)在R上单调递增.

令g(x)=/(x)-2，g(x)为奇函数，

.•.g(x)在R上单调递增，/(x)=g(x)+2.

则/(logJ)+/(3)>4化为g(log,0+2+g(3)+2>4.

22

g(logxt)>-g(3)<=>g(log[t)>g(-3)=log1t>-3.

222

解得0</<8.Ze(0,8).

8.解析：

如图•.•W=3即，NFXAF2-NFtBC,\FtF2\=2c,|CF21=4c

设|44|=/,则|8耳|=3t,|AB|=It

3%平分/印C,.•.嘿=曲=2,

必JIt1卜2I

\BC\=2\BF}|=6t,

\AF2\=^\BC\=2t,

由双曲线定义可知|/刃-|Z印=t=2a,

\BFt\-\BF2\=2a,:.\BF2\=\AF\=\A^=4a,

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NABF2=60°,在MB居中，由余弦定理知

|^r+|FBr-I卡/2_(64+(44_(2cy

UUoZ-M.D±-—2—

2\FXB\-\F2B\2-6Q-4Q

化简得c=V7。，由a?+62=c2得2=亚2,

c7

•••tan/POQ=2,/.sinZPOR=-=^^.

2a2c7

11.解析：

当〃为中点且MN,4。时，MM长度最短,

由等面积法求得最小值为*.故A对.

14

半径为史.故B错.

3

如图，过用作4E_L3D,连接EC,

过球心O作。。11EC

则。］为EC的中点，且0。1=；,

又球半径为1,球与ASCD的

一父点为则。〃=

2

又过。1作。0尸=手，

球与底面NBCD的交线如图，

交线长为2万•虫=""，

333

故C对.

转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，

该圆锥母线长为四，底面圆半径为1,

15

故面积为万•一二——1,故D对.

33

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14.解析：

/(x)=l-/(l-x)=l-2/(9)=2/(1),+/(1)=|

/(0)+/(1)=1«/(0)+/(1)=1,

••/(1)-/(|)=1，/(i)=1+/(|)=2/(|)

/(-)=-,.•.当时，/(%)=-,而

72722202472

11714913431

/./(——)=-/(——)=-/(——)=-/(——):—.

202422024420248202416

四、解答题

15.(本题满分13分)

解：

(1)依题意可得2x2列联表如下:

树苗成活情况

类别合计

成活不成活

含M元素45550

不含M元素401050

合计8515100

,2分

零假设为H.:该品种树苗成活与M元素含量无关联.3分

根据列联表中的数据，

100x(45x10-40x5)2

=----«1.961<2.706=x.5分

50x50x85x15010

根据小概率值a=0.10的独立性检验，没有充分证据推断8。不成立，因此可以认为“0

成立，即认为该品种树苗成活与M元素含量无关联.

............................6分

(2)由题意知，不成活的树苗共有15株，甲地不成活的树苗有5株，

X的可能取值为0,1,2,3............................7分

故尸

(X=0)=丁一五

x2

P(X=1)=&cc^45

a591

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尸(X=2)=笔上20

3597

X~fO

P(X=3)=^^2

01591

故X的分布列为

X0123

2445202

P

9?9?9?91

11分（一个概率1分）

7445709

期望颐X)=0x4+lx空+2x3+3x—=1

91919191

(另解：易知X服从超几何分布，贝！|颐入)=3乂亮=1)

............................12分

^Z)(X)=—x(0-l)2+—x(l-l)2+—x(2-l)2+—x(3-l)2=-.

919191917

............................13分

16.(本题满分15分)

解：

(1)在放A5CQ中，tanZ5DC=—=............................1分

CD2

4R1

在R/A43C中，tanNNC3=—=—,

BC2

:.NBDC=ZACB,............................2分

NBDC+//CD=//C2+//CD=90。，..............3分

:.ACLBD,............................4分

又EC_L平面48cO,BOu平面48CD,

：.EC±BD,

又/CriEC=C,/Cu平面/EC,ECu平面/EC,............................5分

BD1AEC,............................6分

又/Eu平面/EC,....................7分(其他方法酌情给分)

(2)设多面体/2CDEF的体积为忆，EC=1BF=2x.

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则v=VA_BCEF+VE_ACD=YAB-Sm^BCEF+=+=T

求得x=1.............................9分

如图，以C为坐标原点，CD,CB,CE所在直线分别为

x,y,z轴建立空间直角坐标系，.......10分

则4(1,2,0),£(0,0,2),厂(0,2,1),C(0,0,0)

EF=(0,2,-1),AF=(-1,0,1),AC=(-1,-2,0)

...............11分

设平面4EF的法向量〃=(x,y,z),

则有产"=°,即尸+z=。,令z=2,则x=2,尸1,

[EF-n=0[2y-z=0

即1=(2,1,2)............................12分

设直线AC与平面AEF所成角为。，

一-pC-H

44石

那么sin6=|cos<AC,n>|=’/=15分

M-HV5-3-15

17.(本题满分15分)

解：

(1)当6=1,时，/(x)=3x-1-3-3Inx=3x-3Inx-4q分

33(D

小)=3——2分

XX

令八x)>0,解得x>l,

令/(x)<0,解得..............4分

.-./(x)的单调递减区间为(；，1),单调递增区间为(1,+00)

.•・/(X)在x=l处取得极小值/⑴=-1,无极大值...............7分

(2)依题意/(x)=|3x-l|-36-31nx,对任意x£(0,+oo),/(x)20恒成立,

BP3b<|3x-l|-31nx,8分

令g(x)=|3x-l|-31nx,

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当xe(O,1时，g(x)=l-3x—31nx,g(x)单调递减...............9分

当xed,+co)时，g(x)=3x-l-31nx,g'(x)=3--=—~-)............................10分

3xx

令g'(x)>0,解得x>l,令g'(x)<0,解得..............11分

综上所述，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增..............13分

2

因此g(x)min=g6=2,；.36V2,即

故6的取值范围为(一8,才...............15分

18.（本题满分17分）

解：

（1）设数列｛%｝公比的为力数列也,｝公差的为1

n

贝!]由&=8%,夕3=8=2,an=a{q^=2",............................2分

4=4=16,即4=2+7d=16."=2,=2+(M-1)2=2«.........................4分

设均=(-1)59si吟_力1

(2)・b；

则d4n+d4n_{+d4n_2+d4n_3=b1n+b：n_]-b^n_2-b^n_3=128孔-48........................6分

cz,j,,xziijjx77(128Z?—48+80)

•=S4n=("i+42++44)+•…+(”4〃一3+d4n一2+”4〃一1+=----------------------

二〃(64〃+16)............................7分

.S”加=(64〃+16)・2("2)二(32〃+8)(〃+2)............................

••〃q+2-2〃+22〃

令/(")=(32"+『力+2),

则〃"+1)_fM=(32〃+40)(〃+3)_(32〃+8)⑵?+4)

J、J2"+i2"+i

_-32〃2-8〃+884(-4〃2-〃+11)

2〃+1-之"

可得/(I)</(2)>/(3)>/(4)>--->f(n),

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故当〃=2时，/（〃）最大...............11分

147

且/⑴=6。，〃5）=丁〃6）=25,

/.25<Z<—,即，的取值范围为（25,此］...............12分

44

nn

(3)由5=1,c(〃22),则

n(«+1)(«-1)

当〃22时，

123nn

c。…c”=lxx-----x…x----------------=-------------------------------

一I-32-4(〃一+3x4x5x---x^x(«+l)

-21--14分

(«+1)!+\_n\(77+1)!

当〃=1时，£=1也满足上式

/.eg…c=2----------——(HGN*)15分

\_nl(«+1)!

..•。1+。19+/9,。3+…+G.。2,Q…%

11111-扁"

=21—I—=2

2!2!3!n\(〃+1)!

故原不等式成立.17分

19.（本题满分17分）

解：

(1)设Af(Xo，M)),N(x,y),则丽=(x,y),57=《%,%).

由丽=6丽得（x,y）=G（Xo，%）,

即於冷外卡............................2分

又M（xo，%）在椭圆C上，所以蓑+元=1.

22

代入化简得二+匕=1

63

22

所以点N的轨迹E的方程为二+匕=1.............................4分

63

（2）当两条切线的斜率存在时，设过7（%,%）点的切线为了-%=左（尤-苫（））

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y-yQ=k[x-xQ）

联立＜%22，消去丁得（1+2左2卜2+4左（比一60）工+2（为一米0）2一2=0

则由判别式A=8[1+2左2—（%_4）2卜0..............6分

得（1；—2）左2—24,0左+）；_]=0,

设两条切线的斜率分别为左，k2,依题意得占.内=军二=-1,

X。-2

艮|33