河北省沧州市沧衡联盟2023-2024学年高三年级下册4月模拟考试数学试题含答案

绝密★启用前

治衡名校联盟高三年级模拟考试

数学试卷

班级姓名

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知Z\ABC是边长为4的正三角形，则AB•BC=

A.8B.873C.—8D.-873

2.已知集合”={a\3,l},N={a+2,l}，若Mf|N=N,则实数a=

A.l1或2B.1C.±1D.2

3.在某市的一次质量检测考试中,学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可

用函数八公的图象拟合，且F(78<X&120)=0.42,若参加本次考试的学生

共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为

A600B.800C.1200D.1400

4.已知8名同学参加体能综合测试的成绩分别为46,52,55,63,72,75,76,80,从这8名同学中选

出3名同学，则这3名同学中最高的体能综合测试成绩恰好是这8名同学体能综合测试成绩

的第70百分位数的概率为

^13B,26C-28

5.已知函数/（N），记（―匕助2）停）,c=/（一■2），则

A.c>b>aB.c>a>6C.a>c>6D.6>a>c

6.已知复数Zo=6（cos今^+isin，复数z满足|z—z（）|=1,贝ij|z|的最大值为

A.7B.6C.4V3D.6乃

高三数学第1页(共4页)

7.将函数/Gc)=cos2z-sin2z的图象向右平移左个单位长度后得到函数g(幻的图象，若

/(z)和g(z)在区间如，6)上都是单调递增的，则6—a的最大值为

8.已知正六棱锥P-ABCOEF的高为2后，侧面与底面所成角的正切值为4,则该正六棱锥的内

接正六棱柱(即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱和底面上)的外接球的表面积的最小

值为

A.4V3xB.4KC.3/兀D.3K

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知sina+cosa=m,m€(0,1),a£(0,7t),则

A.sin2a=l-m2B.sina—cosa=>/2—m2

C.cos2a=—mV2—m2D,若m=1,贝tan传-a)=—7

10.已知函数r(工)为定义在R上的函数f(幻的导函数，/(一l+z)+f(—1一］)=0,

/'(2工+1)+，(-2工+1)=0,且/''(())=6,则下列说法正确的有

A函数/G)的图象关于直线工=-1对称

B.函数f'Gr)的图象关于点(1,0)对称

C./(16)=73

D.Si/CZi)=0

11.已知点P(—1,0)为抛物线C：/=2ac(P>0)的准线与工轴的交点,M,N分别为C上不同

两点(其中M在第一象限),F为抛物线的焦点,0为坐标原点，则下列说法正确的有

A.若|MN|=10,则MN中点横坐标的最小值为4

B.若M,N,P三点共线，且MF_LNF,则直线MN的斜率为其

C.若M,F,N三点共线，且砒=4前,则直线MN的斜率为打

D.若M,F,N三点共线,且AOMN的外接圆与C的交点为D(异于则△OMN

的重心在工轴上

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

=

12.巳知S“为数列｛an)的前n项和，且a?=2,<2”+避"+l=a”+i,则Sio.

13.已知FltF2为椭圆C：J+m=1(°>6>0)的两个焦点，P为椭圆€上一点，且

ab

△PF】Fz的周长为6,面积的最大值为后,则椭圆C的离心率为.

14.已知a,6,c分别为“BC的内角A,B,C的对边，且育S-acosC)=csinA,则A=

__________;内角A的平分线交BC于点M,若。=4,八/\4=平，则△ABC的面积为

O

.(第一空2分,第二空3分)

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

如图，在直三棱柱ABC中,A41=2,tanNABC=tanNACB=^■，点Al到平面

BCC}B}的距离为1,M,N分别为BC，A】B的中点.

(1)证明:CM_LA】B；

(2)求直线A】BI与平面CMN所成角的正弦值.

16.(本小题满分15分)

在数列Q”}中，V”GN,，都有a„+\—3n=\—a„JGR)成立.

(1)证明:数列历/是等差数列；

(2)若数列仿.)是首项为1的等差数列，求实数义的值及数列仿力的前〃项和S“.

17.(本小题满分15分)

现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点(。1，。2，。3，。4，)与

S1也也也，…,6“)对应坐标差的绝对值之和，即为I的一仇I+I。2一dI+I。3一dI+”•+

Ia„~b„\.

基本事实:①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中a,€

{0,1}G=l,2,3);②在〃维空间中(〃)3,〃WN),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可

表示为〃维坐标(a1,a2,a3,a4,-,aj,并称其为“〃维立方体”，其中a,E

{0,l}G=l,2,3,-,n).

请根据以上定义和基本事实回答下面问题：

(1)若“〃维立方体”的顶点个数为，维立方体”的顶点个数为〃，求义一〃的值；

(2)记随机变量$为"”维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求f的分布列和数学

期望.

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18.（本小题满分17分）

已知双曲线「：［一4=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线为》=-2工，实轴长为4应，

ab

MCro，》o）为F上一点.

（1）求双曲线F的方程；

（2）（i）证明：直线Z：学一等=1与双曲线r相切于点M；

ao

Gi）若直线MN与双曲线r相切,C为双曲线r的右焦点，且CNJLCM,试判断点N是

否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程;若不在定直线上,请说明理由.

19.（本小题满分17分）

xlnx,O<Cx<l»

已知函数九Cr）=

吹一He*一】口>1.

（1）若函数八工）=一工+1，证明：在（1,+8）上恒成立;

（2）若无（工1）=九（12）=无（工3）（0＜工1〈12＜彳3），且工2=根11，帆6（1，2）,证明：工2+13—

l＜（21n2+2）4.

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数学参考答案

题号1234567891011

答案CDBCCAI）DBCDBC'DACD

1.（,解析:依题意.就•萨=4><4><3（“一三）=一8,故选（,.

［命题意图］本题考查平面向量的数量积；考查运算求解能力；考查直观想象、数学运算的核心素养.

2.D解析:因为MClN=N,则N=M，若“+2=3,解得〃=1.此时>=1.根据集合中元素的互异性.不

合题意;若a+2=/.即/一。一2=0,解得a=2或”=-1,若。=-1,此时>=。+2=1,不合题意，当

a=2时成立.故选D.

［命题意图］本题考查集合运算、集合关系以及集合性质；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查逻辑推

理、数学运算的核心素养.

3.B解析:依题意可知中=78.又因为P（78<X<120）=0.42,所以P（X>120）=0.5-0.42=0.08,所

以数学成绩超过120分的人数约为0.08X10000=800,故选B.

［命题意图］本题考查正杰分布；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查逻辑推理、直观想象、数学运算的

核心素养.

4.C解析:因为8X0.7=5.6,所以这8名同学体能综合测试成绩的第70百分位数是75.根据古典概型可

得.所求概率P=eC?=嬴5故选C

［命题意图］本题考查样本的数字特征和古典概型；考查数学建模能力、运算求解能力；考查逻辑推理、数

据分析、数学运算的核心素养.

5.C解析：函数/«）的定义域为一:，=/定又所以函数/"）为偶函数.当了6

e-re

［0,+8）时,*（1）=1+6，单调递增，所以函数/<r）在［0.+8）上单调递减.在（-8.0）上单调递

增.又一log；2=log：-1->Iog5《=-所以0>—log：2〉一l〉一白.所以a>c>〃,故选C.

27523732石

［命题意图］本题考查函数的奇偶性、单调性、比较大小；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查逻辑推

理、直观想象、数学运算的核心素养.

6.A解析：c„=6（cos曰^+isin=3点一3i,乂|=—I=1,即在复平面内•复数：对应的点的轨迹是

以（3痣,一3）为圆心.1为半径的圆.又点（3V3.-3）到坐标原点的距离为，（3痣）2+（—3尸=6,所以

I之I的最大值为6+1=7.故选A.

［命题意图］本题考查复数的定义和复数的几何意义；考查逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力；

考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

7.D解析：依题意,/（『）=cos，r—sinlr=cos2.r.令247r4〈2才〈24汗./!6Z.解得An，4.rW&n./e

Z.即函数/Cr）的单调递增区间为"一微/小&GZ,不妨令A=0.则函数/&）在-上是单调

高三数学答案第1页（共8页）

递增的.g（jt）=f［^x—=cos［2（］—等）］=cos（2i一"）,令24六一元W2忆一为五.为GZ,解得为式一

狂Z.即函数gG）的单调递增区间为,一聿,武+1夏GZ,不妨令2。，则函数

g⑴在卜。盘上是单调递增的'若/⑴和gG）在区间Q而上都是单调递增的,则/，一的最大值

为°一（一关）=£,故选D

［命题意图］本题考查三角恒等变换、三角函数图象的平移和三角函数的单调性；考查逻辑思维能力、运算

求解能力；考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

8.D解析：如图，设正六棱铢P-ABCDEF的底面中心为5,正六棱柱为A.B^.D.E,F）

A2B2C2D2E2F2,其中底面A2B2C2D2E2F2在棱锥底面上，设底面ABCQEiB的中心为O-外接

球球心为（）.由题意得.底面A2B2C2D2E2F2的中心为。2,底面4BC|D|E|F|的所有顶点均在正六

棱铺的侧棱上.则P5=2存,因为正六棱铢P-ABCDEF的底面为正六边形.设边长为小侧面与底面

P（）0J0

所成角为a,则1@11。=7二=箸=4，解得。=1,即正六棱锥的底面边长为1•设42。2=7•则AAz=

73V3

~2a~2a

P（）2

1一M,由题意得tanZPAO,==2行.故A[A2=2^/3AA2=2^/3(1—J-).(X)2=yA,A2=

AO2

22

V3(l-x),故正六棱柱AibGDiEiB-A2B2C2D,E,F2外接球半径的平方R-A2O=A?(乃+

（XX=4/—6z+3=4（支一曰当且仅当支=，时取得最小值此时外接球表面积S=47rP=

\47444

37r,故正六棱柱的外接球表面积的最小值为37r.故选D.

［命题意图］本题考查正六棱锥的性质、二面角、球的切接问题；考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求

解能力；考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

9.BCD解析:因为sina+cosa=m,则(sincr+cosa)?=〃J,即1+2sinacosa="/・所以2sinacosa=

sin2a=m1-1.所以A选项不正确；因为（0,1）♦所以〃/-1V0,又aS（0,兀），所以aS7r卜

(sina—cosa)3=1-2sinacosa=l—(〃?2一1)=2-m1,又aG.7r)•所以sina—cosa=v2—〃/.所

以B选项正确;cos2a=cosa—sin2a=(cosa+sina)(cosa—sina)=­m，2—•所以C选项正确;

1-tanQ_cosa—sina—y/2-m~什1rl.

因为tan(:-a)一,右"2=7■,贝Utan仔-a）=-7,所以D选项正

1+tanacosa+sinamb

高三数学答案第2页（共8页）

确，故选BCD.

［命题意图］本题考查同角三角函数基本关系式、三角恒等变换；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查

逻辑推理、数学运算的核心素养.

10.BCD解析：函数fCr)的定义域为R.因为—1—］)=0,所以函数/Cr)的图象关于点

(—1,0)对称.所以A选项不正确；因为/'(21+f'(—2z+l)=0.所以/'(.r+1)=

一/'(一］+1).所以函数/'Q)的图象关于点(1,0)对称,所以B选项正确；由B选项知j'(.r+2)=

一f'(—x)，因为f(—1+7)+/(—1—JC)=0.则f(—1+才)=—f(—1—x),所以f'(—1+z)=

/'(一1一］),所以函数/'行)的图象关于直线1=-1对称,又f(-2+x)=/'(一］)，所以

1+2)=—/'(一2+才)，即f(才+4)=-f(］)，所以/'Gr+8)=f'Gr),所以8是函数f(r)的一

个周期，所以/'(16)=/'(0)=四,所以©选项正确；/'(2)=—/'(0)=­痣./'(4)=一/'(0)=­痣.

(6)=—/'(2)=畲，所以工if'⑵)=/'(2)+2/"(4)+3/'(6)+4/'(8)H---F14/'(28)+

I™1

15/(30)=(-1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12-13-14+15)X点=0,所以D选项正确.故

选BCD.

［命题意图］本题考查函数的奇偶性、对称性和周期性；考查逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力；考

查逻辑推理、数学运算的核心素养.

11.ACD解析:依题意得.0=2,所以抛物线C的方程为/=4九焦点F(1.0),准线方程为z=-1,对于

A选项.设线段MN的中点为H,分别过点M,N.H作准线的垂线,垂足分别为Q.T.S,根据梯形中位

线性质和抛物线定义可得|HS|=；(IMQ|+|N71)=J(|MF|+［NF)IMN|=5.当【I仅当

乙乙乙

M,N,F三点共线时，等号成立.即MN中点横坐标的最小值为4,所以A选项正确;对于B选项，直线

(v•=4.r«

MN斜率不为零,可设立线MN的方程为.r一l.MCr,,y^.N(,r2.山)・由,徨/-

'.r=my-1

4〃?、+4=0.则△=16"/—16>().解得〃八>1,所以yt+山=4〃?，,yi»2=4,因为F(1,0),所以FM=

(.r(—1.>|).FN=(a2—1,%)•所以FM•FN=(11一1)(.小一D+_y11y2=2)(rny2-2)+

2

yiy2=(,m+l,)yiy2—2m(“+%)+4=4(〃/+l)—8〃/+4=0,解得,〃=±夜(满足->1),所以宜

/o

线/的方程为/一叁y+l=0或Z+应)+1=0.又M在第一象限•则直线MN的斜率为］,所以B选

项不正确;对于C选项•设直线MN的方程为.r=，〃y+1,联立消去广得/一"。一4二。,

9=4才，

3+»2=-2y2=4，〃.

△>03l+y2=4，〃.ylyz=-4,由题意得|MF|=3|NF|.则yl=-33/2，所以,'则

必山=_34=_4,

，〃2=!，又由题意，〃>0.所以〃产号,直线MN的方程为y=八一行.所以C选项正确；对于D选项，

设D(0，尢)，因为()，M.D.N四点共圆，设该圆的方程为/+/++”=0,联立

卜"+y2+<Zr+”=0,

消去x得城+(4d+16).+16ey=0,即yQy3+(4t/+16)y+16e1=0,所以

b2=41，

yx,32，33即为关于y的方程y,+(44+16)y+16c=。的3个根.则/+(4d上16)y+16s=

(y—yi)(丁一》2)(y-%)，因为(y—w)()—?2)()-g)=一(”+山+山)/+

(yw+y2y3+y】y3)y—2y3,由y~的系数对应相等得,31+山+»3=。,所以△DMN的重心的纵

高三数学答案第3页(共8页)

坐标为0.即重心在工轴上，所以D选项正确，故选ACD.

［命题意图］本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系；考查逻辑思维能力、运算求解能力和创

新能力；考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

12,5解析:依题意•因为。2=2%+必+l=a”+i,则人。1+1=^2,可得=:•同理可得a：；=—1=

133

万.所以数列｛%,｝是周期为3的数列,又因为m+a2+。3=万•所以S=3X5+1,=5.

［命题意图］本题考查数列的递推公式、数列的周期性及数列求和；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考

查逻辑推理、数学运算的核心素养.

13.y解析:依题意的周长为2a+2c=6,所以。+<=3,4］）已入面积的最大值为:X2cX

乙乙

〃=庆=。,又42=小+1,解得a=2,c=l.〃=焉，故椭圆C的离心率为"

［命题意图］本题考查椭圆的几何性质和研究方法；考查逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力；考查

数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

14.解析:依题意•由正弦定理可得总sinB_73sinAcos（'=sin（'sinA.即#'（sinAcosC+

oo

cosAsinC）—四sinAcosC=sin（''sinA.故J3cosAsinC=sinAsinC•乂sinCWO,所以禽cosA=

sinA•则tanA=V3•因为AG（0,兀）.所以A=f■.因为SAA*=SAABM+S&MM.所以万〃csin/I3AC=

4AM•c-sinZBAM+yAM•〃•sin/CAM,又AM平分/8AC.所以N6AM=/CAM=

乙乙

<N8AC=V.所以Xq=JXX-y+yXXy，则痣庆=（〃+c），即b+c=

Z6222322323

n忌

管也•，在A4BC中，由余弦定理得“2=62+02-2和cosA,即16=1+1一"，所以16=（6+c）2-

3儿=和〃3—3〃八解得灰■（负值舍去），所以3c的面积为A==

O3LLOLo

［命题意图］本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查逻

辑推理、数学运算的核心素养.

15.解：（1）因为tanNA8C=tan/ACB=T.所以AB=AC,.................................（1分）

设BC的中点为O.连接MO,AO,则AO1BC,

又点A1到平面BCCIi的距离为1.即AO=1.

所以BC=2OB=2OC=4..............................................................（3分）

又因为三棱柱ABC-AiBG是直三棱柱,M为的中点.所以（）M〃CC|.

又CC」平面43c.故（）M_L平面A6C.

而OA.OC均在平面A3C内.故OA.OC.OM两两垂直..................................（4分）

故以（）为原点.OA.OC.OM所在直线分别为.77.z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

高三数学答案第4页（共8页）

则A)(1.0.2).B(0.-2.0),C(0.2.0),M(0.0.2),

故脑方=(-1.-2・-2).而=(0,—2,2).所以储芯•CM=4-4=0,

所以CM_LAiB................................................................................................................................(7分)

(2)因为八(1.0,0),故人/3；=技=(-1.-2,0),

又故出=(/,_3.1)，

设平面CMN的法向量为〃=(.r,y.N).

"•国=0,|一2"2'=0'

则一即T

)・('N=0.|pr-3y+z=o.

取y=l♦则n=(4.1.1).（10分）

设直线人/3与平面CMN所成角为心

.\J；i,_|-4-21_6

:a_\/10

则sin6=Icos〈A|B|.n)I5（12分）

IAiB}||n|-V5X/1875X372'

故克线A131与平面CMN所成角的正弦值是逑.

（13分）

［命题意图］本题考查空间中直线与平面的位置关系、考查直线与平面所成角；考查逻辑思维能力、空间

想象能力、运算求解能力；考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

16.解：（1）依题意・a“+〃”+［=3〃+A•则a”+i+a”+2=3（〃+1）+入,

两式作差得%：+2—a“=3....................................................................................................................（3分）

所以数列g2”＞是以。2为首项•公差为3的等差数列......................................（5分）

（2）由题意知。］+〃2=3+入•则&2=2+入,................................................（6分）

3

若亿“）为等差数列•则"2一4】=5（a3—aI）=万♦

3

所以2+/一1=5•解得入=万.........................................................(10分)

3

此时a>,1♦।—ci>„=aj+3〃一〃2-3(〃-1)=a।-a+3=-♦

2乙

3

a2„—ci),1।=42+3(〃-1)—a1—3(〃-1)=u2-a1=方，

3

即V〃SN..a“+i~an=j'.故缶“)为等差数列，..........................................(12分)

uu।3,।、S1(、"(a।Ta”)3211

所以4“=1+5(〃—1)=]“一万6“=-2------=彳"2+彳”.............................(15分)

［命题意图］本题考查数列的递推公式；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查逻辑推理、数学运算的核

心素养.

17.解：（1）依题意维立方体”的顶点个数入=2".

“1）维立方体”的顶点个数幺=2"」................................................（4分）

所以以一"=2"1...............................................................................................................................（5分）

（2）由题意得W可取1.2,3,…，4.当S=k时♦对于点（a1.a?）与点（〃i•久也，…也）•

其中使a,X〃，的i的个数为4.则满足a,=〃,的，的个数为（”一Q.

高三数学答案第5页（共8页）

此时所对应情况数为C*•2"'.

J?'JP（e=^）=^—=Lr，氏=1，2,3,…,〃，............................................（8分）

C2.2—1

故S的分布列为

12•••k・・・n

C,1,C；,C,C：

P•••・・・

2"-12"-12"-12"-1

.......................................................................................................................................................（11分）

、,1XC；2XCJ,（»-l）XC；；1nXC；；

数学期望E9=d+汨h+-“+2，，一1+匚

〃XC：（〃一1）XC；；72XC）IXC

又EG）=

2”一12”-12“一］寸2"-1

两式相加可得2E（Q=嬴匕（C：+G+…+C；；T+2C；；）=•

z—1Z—1

X/QH—I

所以E（S）=；”_「...................................................................................................................（15分）

［命题意图］本题考查新定义背景下的离散型随机变量的期望；考查逻辑思维能力、数学建模能力、运算

求解能力；考查逻辑推理、数据分析、数学运算的核心素养.

18.解：（1）依题意，2。=44.则a=2品、

又2=2,解得/>=4鱼.......................................................................（2分）

a

所以双曲线r的方程为（一匕=1.............................................................................................（4分）

OOL

22

（2）⑴由点Ma。,八）在F上,知g—①,

o3Z

22

将点M的坐标代入直线/，得=一四=1.显然成立•故点M在/上...........................（5分）

OoZ

当y）H0时,将直线I化为斜栈式,得N=一迎9

代入r并整理,得（/-4高）12+64.72—256—8/=0②.

由①知.4./一J=32.

故②为43一81“才+32+/=0.

其判别式△=（-&，）2—4X4X（32+J）=16（4.苴-32—3）=0,

故直线/与双曲线F相切于点M.................................................................................................（8分）

当y,=0时.可得4=士2近.此时直线/：.r=±2夜与双曲线F相切于点M.

综上,直线/与双曲线r相切于点M.............................................................................................（9分）

（ii）由（1）知C（2，i^.o）,设N（.r1.j-1）.

由题意.CN•（、A4=（H।—2\/10,3»1）•（才<1—2\/10.j/o）=0.

xyxa-2-/\Qx}-2，I5\ro+4O+》］义=0③...........................................................................（11分）

由⑴知,双曲线「在点M处的切线方程为‘竽一嘴=1,

OOL,

高三数学答案第6页（共8页）

又点N在此切线上.故土:一^^=1④.

O04

③+32X④.得—2710^-]-2/10J-O+8=O,（13分）

即为=27^工。一8,

2/10^（1-82万^^。-）2/10

因为5J-—六.所以「（分）

02/100516

5xo-2/lO5/2/10\・

2x/10,

故点N在定直线工=—二一上................................（.1.7.分...）....................

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［命题意图］本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查

逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

19.解：（1）由题，/（1）=一工+1,

当zG（1,+°°）时.令夕（jr）=fCr）—h（J*）=jrer-1—2无+1,

则“Cr）=Cr-H）e,T一2,..................................................................................