高考数学五年真题(2019-2023)分项汇编07 平面解析几何（选填题）（老师用）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

冷题07年而斛布几何（送蟆题）

高存•送瓶分衍

平面解析几何在高考中考查比例较大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在选题中，解析几何一般为

一道简单题目加上一道中等难度题目。常考题型为

考点1：直线和圆的综合问题

考点2：椭圆,双曲线基本性质

考点3：椭圆双曲线的离心率

考点4：抛物线性质及应用

考点5：圆锥曲线的综合问题

高考真魅精肉

考点01直线与圆的综合问题

1.（2022高考北京卷）若直线2x+y—l=0是圆（x—a）2+y2=i的一条对称轴，则。=（）

11

A.-B.C.1D.—1

22

【答案】A

解析:由题可知圆心为（a,0）,因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0—1=0,解得a=g.

故选,A.

2.（2020北京高考）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】设圆心C（x,y）,贝1J（尤一3）?+（y—4）2=1,化简得（尤-3）。+（y-4>=1,

所以圆心C的轨迹是以〃（3,4）为圆心，1为半径的圆,

所以|OC|+11=5/32+42=5,所以|OC|N5-1=4,

当且仅当C在线段ON上时取得等号，故选：A.

3.（2023年新课标全国1卷・）过点（0,—2）与圆+/一4尤-1=0相切的两条直线的夹角为a,贝|sina=

（）

…nV15「屈c布

A.1B.--C.--D.—

444

【答案】B

解析：方法一：因为f+9一©-1=0,即（彳—2）?+/=5,可得圆心。（2,0）,半径厂=6，

过点尸（0,—2）作圆c的切线，切点为

因为|PC|="2+（—2『=20，则1pAi=yj\PCf-r2=#），

HT出•7APr小屈Ga

可得smZAPC=一7==-----,cosZAPC=—产=——，

2V242V24

则sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x-x—=—，

444

cosNAP3=cos2NAPC=cos2/APC—sin2/APC=［手［一［萼］=-^<0'

即NAPB为钝角，

/i~5

所以sina=sin（兀一/APB）=sinZAPB=—x；

法二：圆/+/一4无一1=0的圆心。（2,0）,半径r=石，

过点P（0,—2）作圆c的切线，切点为A,3,连接A3，

可得pC|=M+（-2）2=20，则|PA|=|PB|=yJ\PCf-r2=g，

因为|P4|2—2|B4Hp@cos/A?B=|C4「+|CB『—2|C4HCB|COSNACB

且=7i—/APR,则3+3—6cos^APB=5+5—lOcos（兀—NAPB）,

即3—cosZAPB=5+5cosZAPB，解得cos/APB=--<0,

4

即/APB为钝角，贝！Jcosi=cos（兀一/APB）=—cosNAPB=；,

且a为锐角，所以sina=J1-cos2a=边5；

4

方法三：圆V+V-4x-l=0的圆心C（2,0）,半径r=J?,

若切线斜率不存在，则切线方程为>=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为丁=丘一2,即近—y—2=。，

则塔=M=J?,整理得左2+8左+1=0,且A=64—4=60>0

设两切线斜率分别为",则kx+k2=—8,秘2=1.

可得%_周=J（左1+左2）2-4左/2=2A/15，

所以tana=W-^-=715,即里吧=&?,可得cosa=#?,

1+k色costzvl5

rn.i.22•2sina

则sina+cosa=sina-\---------=1，

15

且（ze[o,5]，则sina>0,解得sincz=

故选：B.

4.（2020年高考课标I卷）已知。M：/-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点,

过点尸作。M的切线PA依，切点为A3,当|PM|・|A5|最小时，直线A3的方程为（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-1-0c.2x-y+l=0D.2x+y+l=0

【答案】D

【解析】圆的方程可化为(X—1)2+(y—1)2=4,点M到直线I的距离为d=2鳌fl=1>2,

所以直线/与圆相离.

依圆的知识可知，四点四点共圆，且所以

\PM\-\AB\=4SPAM=4x|x|PA|x|AM|=4|PA|,而陷=1所—4，

当直线"PL时，|MP%n=«，1冏讪=1，此时最小.

f11f

.•.MP：y—l=—(工一1)即丁=—x+—,由<22解得，\

2V722y=0

2x+y+2=01

所以以MP为直径的圆的方程为(x—l)(x+l)+y(y—1)=0,即炉+/―丁―i=o,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=。，即为直线A5的方程.

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学

生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.

5.(2020年高考课标n卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为

()

口有

AA/52_3A/5N4A/5

5555

【答案】B

解析：由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为(a,。)，则圆的半径为。，

圆的标准方程为+(y-a)-=a2.

由题意可得(2-d+(1-才=6,

可得a?—6a+5=0，解得a=1或a=5,

所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),

|2xl-l-3|_2V5

圆心(1.1)到直线2K.i•3=0的距离均为4=

后"5,

2x5-5-3126

圆心(5.5)到直线2x-.V-3=0的距离均为d2=

5

卜2|2#)

圆心到直线2x—y—3=0的距离均为d=

所以，圆心到直线2x—y—3=0的距离为乎.

故选：B.

【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

6.（2021高考北京）已知直线>=丘+机（机为常数）与圆炉+丁=4交于点加，N、当左变化时，若此WI

的最小值为2,则加=()

A.±1B.+^/2C.+y/3D.+2

【答案】C

解析：由题可得圆心为（0,0）,半径为2,则圆心到直线的距离d=,

则弦长为，

则当左=0时，弦长MN\取得最小值为2而版=2,解得m=±6.

故选：C.

二填空题

1.（2020北京高考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企

业要限期整改、设企业的污水摔放量卬与时间》的关系为W=f«），用一/⑶一的大小评价在必力］

b-a

这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下

图所示.

给出下列四个结论：

①在M,口这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强;

②在弓时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强;

③在与时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标;

④甲企业在［0,小L,L,A］这三段时间中，在［0,4］的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】-于⑥一表示区间端点连线斜率的负数,

b-a

在心口这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能

力比乙企业强；①正确；

甲企业在［0,小［4，小也/］这三段时间中，甲企业在在内］这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，

即在，，©的污水治理能力最强.④错误；

在L时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比

乙企业强；②正确；

在与时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为:

①②③

2.(2022新高考全国I卷)写出与圆好+寸=1和。_3)2+(丁-4)2=16都相切的一条直线的方程

【答案】y=——3X+5—或y=7—x—2-5^或x=-l

'442424

解析：圆好+丁2=1的圆心为0(0,0),半径为1,圆(1—3)2+()；—4)2=16的圆心。1为(3,4),半径

为4，

两圆圆心距为+4?=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

433

当切线为/时，因为自所以与=—a，设方程为丁=一^%+'«>0)

d=-J।=1535

O到/的距离[~9,解得/=：,所以/的方程为丁=——%+—，

卡+164,44

当切线为m时，设直线方程为Ax+y+p=0,其中。>0,k<Q,

7

k二

7T+F'24725

由题意<解得V25'k五-五

阳+4+PL《P

y11+k2,24

当切线为“时，易知切线方程为x=-1，

35725

故答案为：y=—xH—或丁=—x----或1二—1.

442424

3.(2022年高考全国乙卷数学)过四点(0,0),(4,0),(—1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

7苦或

【答案】(％—2y+(y—3)2=13或(x-2)2+(j-1)2=5或4

解析：依题意设圆的方程为£+丫2+m+为，+尸=0,

F=0F=0

若过(0,0),(4,0),(-1,1),则16+4。+歹=0解得。=-4,

1+1-D+E+F=0E=-6

所以圆的方程为V+/_4x_6y=0,即(％-2)2+(y—3)2=13；

F=QF=Q

若过(0,0),(4,0),(4,2),则16+4D+R=0解得。=-4,

16+4+4D+2E+F=0E=—2

所以圆的方程为V+/_4x_2y=0,即(％—2)2+(y—1)?=5；

F=0

F=0

o

若过(0,0),(4,2),(-1,1),则W1+1-D+E+F=0,解得，D=——

16+4+4D+2E+F=0

「14

E=-----

3

所以圆的方程为x2+y2_gx_^y=0,即(x—gj吟;

L16

F二----

l+l-D+E+F=Q5

0」

若过(T/)，(4,0),(4,2),则<16+4D+R=0,解得

5

16+4+4D+2E+F=0

E=-2

2

1616

所以圆的方程为/9+91%—2y—1=0,即x-|(…墨

2

故答案为：(x-2)2+(y-3)2=13^(x-2)2+(j；-l)2=5Bg

x-lj吟或

l+(y-i)T

4.（2020江苏高考）在平面直角坐标系X0Y中，已知,0）,A,_8是圆C：炉+（y-耳）2=36上的两个动

点，满足A4=P5，则面积的最大值是

【答案】10^/5

【解析】QPA=PB.\PC±AB

S=I

设圆心C到直线距离为d,则|A3|=2j36-/,|PC\=

44

22

所以SVPAB<1■2,36-屋.+1)=7(36-tZ)(6?+1)

22

令y=(36-储)(d+1)(0<6/<6)/=2(d+l)(-2c/-d+36)=0d=4(负值舍去)

当0Wd<4时，/>0;当4Wd<6时，yVO,因此当d=4时，V取最大值，即S.皿取最大值为io坞,

故答案为：106

22

5.（2020年浙江省高考数学试卷）设直线/：>=去+6（左>0）,圆。［：必+丁2=1,C2:（x-4）+y=l,若

直线/与G，02都相切，则上=

…).f⑵.一半

\b\,\^k+b\,

解析：由题意，£,。2到直线的距离等于半径，即7.+卓=1,了2了=1，

所以|川=|4左+可，所以左=0（舍）或者〃=—2左，

解得院g人一手

6.(2022年高考全国甲卷数学(理))若双曲线丁―七=1(根〉o)的渐近线与圆f+y2—4>+3=0相切，则

m

m=.

【答案】昱

3

【解析】双曲线9―W=l(根>0)的渐近线为y=±二，即%土小y=0,

mm

不妨取尤+殁=。，圆/+/_分+3=0,即V+(y-2)z=1,所以圆心为(0,2),半径r=1,

依题意圆心(0,2)到渐近线x+冲=0的距离d==1,

Vl+m

解得m=或相=(舍去).

33

故答案为：走.

3

7.(2022新高考全国II卷•第15题)设点4(—2,3),3(0,a),若直线AB关于丁=。对称的直线与圆

(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则。的取值范围是.

【答案】|,|

解析：4(—2,3)关于y=a对称的点的坐标为A(—2,2a—3),8(0,a)在直线y=。上，

所以43所在直线即为直线/,所以直线/为丁=0=x+a,即(a—3)x+2y—2a=0：

圆C:(x+3)2+(y+2)2=1,圆心C(—3,—2),半径/=],

I—3—3)—4—2d

依题意圆心到直线I的距离d=J~/«1,

33『+22

9913「13一

即(5—5〃)《(〃—3)+22,解得即〃£；

[13~

故答案为：

8.(2021高考天津•第12题)若斜率为G的直线与丁轴交于点A,与圆V+(y-1『=1相切于点5,

则k.

【答案】6

解析：设直线AB的方程为y=+则点4(03)，

由于直线AB与圆，+（y-l）2=l相切，且圆心为C（O,1）,半径为1，

则也［=1,解得匕=—1或）=3,所以|AC|=2,因为忸C|=l,故恒创=140|2—忸q2=6.

故答案为：6•

9.（2020天津高考•第12题）已知直线x-啰y+8=0和圆/+/=户（厂>0）相交于A,8两点.若|AB|=6,

则r的值为.

【答案】5

Q

【解析】因为圆心（。,0）到直线x-百y+8=0的距离d=7忘=4,

由|45|=2'尸一屋'可得6=2，户-42'，解得r=5.故答案为：5.

10.（2023年新课标全国II卷•第15题）已知直线I：x-my+l=0与WC:（尤—1）2+y2=4交于A,B两点，

Q

写出满足"ABC面积为的m的一个值______.

【答案】2（2,-2,工,—」中任意一个皆可以）

22

解析：设点C到直线A3的距离为d,由弦长公式得|A@=2j4—/,

所以='><〃><2"^庐=色，解得：d二迈或d二巫,

2555

由d=22所以二一2=述或二―=述,解得：加=±2或加=±；.

V/l+m7=:+mVl+m5J1+疗52

故答案为：2（2,—2,1,—1中任意一个皆可以）.

22

考点02椭圆双曲线的基本性质

1.（2023年新课标全国n卷•第5题）已知椭圆。：］+）；2=1的左、右焦点分别为《，g，直线y=x+7〃

与C交于A.B两点，若△GAB面积是面积的2倍，则加=（）.

2&C2

A.-B.—C.--D.——

3333

【答案】C

y=x+m

解析：将直线丁=%+加与椭圆联立《x2，消去V可得4x2+6mx+3m2—3=0,

—+y9=1

I3,

因为直线与椭圆相交于A3点，则A=36——4x4（3机2—3）>0,解得—2<m<2,

设F]到AB的距离到AB距离d],易知川-0,0）,8（72,0）,

则4」一学川

1

V2272

I-y/2+mI

S母_\一叵+〃?I

F}AB=2,解得加=—乎或—30（舍去），

S

.F2AB\42+m\\y/2+m\

一

22

2.（2023年全国甲卷理科•第12题）设。为坐标原点，耳，耳为椭圆C：土+乙=1的两个焦点，点P在

96

3

C上，COSZF}PF2=—,则181=)

13Vfo一14

A.—B.c.—

552

【答案】B

解析：方法一：设NRPF,=2a0<6<三,所以5户相=52tan=/tan>,

14•2/4%

cos26^-sin201-tan263八1

由cos/RPF?-cos23=解得:tan6=一

cos26^+sin201+tan2052

由椭圆方程可知，4=9,〃=6,//=3,

所以，Sp"2=；x⑶WH"=gx2EF4=6x；,解得：$=3,

即$=9x[l—:]因此|0P|=&+才=旧1=等，

故选：B.

方法二：因为卢国+归闾=2a=6①，|W「+|PB「—2归周归闾/片和=闺阊2,

即|P片「+1吗「_g因|/>q=12②，联立①②，

1599

解得：|尸耳疗用=万,附I+\PF2\=21,

而尸；,月+）所以；

0=P&,|OP|=|pc>|=!|pf'+PF2\,

即I叫=+P'=；—耳『+2PF「PF?+扃=；小21+2义|义5=等.

故选：B.

方法三:因为|「耳|+|?闾=>=6①，|尸耳「+忸闾2—2|尸制尸阊N甲第=|耳国2,

即|P与「+已用2_gp与限用=12②，联立①②，解得：俨片「+户闾2=21,

由中线定理可知，（2|OP『+|耳心「=2伊耳「+归国2）=42,易知闺闾=273,解得：［0耳=乎.

故选：B.

22

3.（2021年新高考I卷•第5题）已知%的是椭圆C：工+匕=1的两个焦点，点M在C上，则

94

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

解析：由题，“2=9,62=4,则阿耳|+|噌|=2a=6,

所以|岬卜阿阊］阿胤+附用］=9（当且仅当阿4|=|咋|=3时，等号成立）.

V2J

故选：C.

22

4（2022年高考全国甲卷数学（理）•第10题）椭圆C:=+马=1（°>6>0）的左顶点为4点P,Q均在C

ab

上，且关于y轴对称.若直线4尸,&。的斜率之积为9，则C的离心率为（）

4

A.—B.—C.-D.-

2223

【答案】A

【解析】A（-。,。），设P（XQJ,则。（f,yj,

X1

则k.=，故如也Q=

X,+Q—Xy+Q玉+a—+ci—Xy+a24

，所以也a2—x2

22b1(a2xb21

又冬+咚=1,则1,即彳=

22

ab2a4

_%2+a4

所以椭圆。的离心率e

a

故选：A.

5.（2019•全国I•理•第10题）已知椭圆。的焦点为月（—1,0）,息（1,0）,过心的直线与C交于A,B

两点.若|A闾=2优小

|蝴二防,则C的方程为)

2222222

X「-1xy~.xy1

A.—+y2=1B.-------1--------——1C.—+—=1D.—+—=1

2-324354

【答案】答案：B

解析:如图，设忸周=/，则I期|=2/,|班|=3/,由|M|+|例|=|班|+忸闾=2a,可得

|四|=|/*|,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.

9r+4产—9/1

在△ABK中，由余弦定理可得cosN54G=l-2sin2ZOA^=

2x3/'x2/3

\OF\

所以sinNOAE,=W-,即^~7"=-=—,即a=6，又c=l,:.bf,所以椭圆方程为

3\AF2\a3

22

2

6.（2023年全国乙卷理科•第11题）设A.B为双曲线匕=1上两点，下列四个点中，可为线段ZB中

9

点的是)

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

解析：设4（七,乂）,5（程%），则A5的中点"%+%2%+'2

22

可得左

Xj-x2一+X[X]+x2

2

2

f%-1

X----------1

19引-丁。，

因为A3在双曲线上，贝心

2

后专=1

所以七B•左=与二与=9.

x；-x2

对于选项A：可得左=1,《B=9,则AB:y=9x—8,

y=9x-8

联立方程I2/，消去y得72/—2X72X+73=0,

I9

止匕时△=(—2x72)2—4x72x73=—288<0,

所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；

995

对于选项B：可得左=—2，左加=一5,则AB:y=—5%—5,

[95

V=——X——

22

联立方程V2，消去y得45%2+2X45X+61=0,

«丁-1

I9

止匕时△=(2x45『一4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直线入B与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得左=3,&JB=3,则AB:y=3x

由双曲线方程可得a=1力=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线,

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；

.997

对于选项D：k=k.„=—,则AB:y=—x—,

AB4-44

[97

y=-x——

744

联立方程｛2，消去V得63必+126》-193=0，

此时△=126?+4x63x193〉0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确;

故选：D.

r2

7（2020年高考课标III卷理科•第n题）设双曲线C：二-J/

=1（a>0,b>0）左、右焦点分别为Fi,F2,

a

离心率为百.P是C上一点，且F1P_LF2P.若APF1F2的面积为4,则。=)

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

解析：1=75,.-.c=^5a，根据双曲线的定义可得||「制一|「司=2a,

S△晔=?PKI-|P£|=4,即|尸片|忖鸟|=8,

222

F.PLF.P,.'.|P^|+|PE!|=(2C),

|-1PF,|)2+21|.||=4c2,即5/+4=0,解得a=l,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用,

属于中档题.

8.（2020年浙江省高考数学试卷•第8题）已知点。（0,0）,A（-2,0）,B（2,0）.设点P满足|R4.-|PB.=2,

且P为函数y=3j4-d图像上的点,则|OP|=)

A.叵

R4加

D.----------------

25

【答案】D

解析：因为|Z4|-1依|=2<4,所以点尸在以A,3为焦点，实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支

2

上，由c=2,a=l可得，。2=，-/=4-1=3,即双曲线的右支方程为炉—匕x〉0）,而点尸还在

3

函数9=3^4-丁的图象上,所以,

V13

y=3,4--X=-------

,解得<

由<2y235即如+y=710,故选：D.

X-----l--(-x>0)

3

22

9（2021高考北京•第5题）若双曲线C：二-[=1离心率为2,过点（3,6）,则该双曲线的方程为

a2b2

)

B.'/I22

A.2/_J=]D,土-匕=1

26

【答案】B

22

1=2,则c=2a,b=ylc2-a2=73a-则双曲线的方程为0—=1，

解析：

将点（J5,6）的坐标代入双曲线的方程可得之-±=±=1,解得。=1,故6=5

\）a3aa

因此，双曲线的方程为％2_工=1.故选：B

3

22

10.（2020天津高考•第7题）设双曲线C的方程为=-2=1（。>0/>0）,过抛物线丁=4x的焦点和点（0,加

ab

的直线为/.若C的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，则双曲线C的方程为（）

A.--^=1B.x2-^=lC.二-J=i口.x2-y2=l

4444-

【答案】D

【解析】由题可知，抛物线的焦点为（1,。），所以直线/的方程为》+:=1,即直线的斜率为-心

b

hhh

又双曲线的渐近线的方程为y=±9x,所以一6=-2，-bx-=-l,因为。>0,6>0,解得。=18=1.

aaa

故选：D.

11.（2019•浙江•第2题）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是

A.—B.1C.72

2

【答案】C

【解析】由题意得。=6,则双曲线是等轴双曲线，离心率故选C.

12.（2019•全国III•理•第10题）双曲线C：---2L=1的右焦点为尸，点尸在C的一条渐近线上，。为

42

坐标原点，若归0|=归同，则△PR9的面积为（）

A.逑B.迪C.2A/2D.3A/2

42

【答案】A

2

【解析】由a=2,Z?=a,c=da+/=\/6,'\PO\=\PF\,xP=^~<

又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y=上，则》=42*在=走

-a.P222

'''S^PFO=^-|OF|-|JF|=|-xV6x^-=^^，故选A.

【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采

取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.

二填空题

1.（2021年高考全国甲卷理科•第15题）已知耳，居为椭圆C：工+汇=1的两个焦点，P,Q为C上关

-164

于坐标原点对称的两点，且归。|=闺8|,则四