数列不等式题型训练-2024年高考数学复习解答题含答案

教列系等式(真型题型忸类制稼，

目录

一、典型题型

题型一:数列不等式恒成立

题型二:数列不等式能成立(有解)问题

二、专题数列不等式专项训练

一、典型题型

题型一:数列不等式恒成立

题目3D(23-24高二下•河南南阳•期中)记数列｛Q/的前几项和为Sn，已知Qi=-1,且％+1+(—1厂・

8—2n.

(1)令勾=电九,求数列｛bj的通项公式；

n+1

(2)若对于任意的nEN*,2-4—6n+1+S2n+1>0恒成立，求实数A的取值范围.

•••

题目@（2024•广东韶关・二«）记R上的可导函数/（，）的导函数为广㈤，满足垢+产垢

—嬖*SeN*）的数列｛4｝称为函数六⑼的“牛顿数列”.已知数列｛4｝为函数/（,）=/—/的牛顿数

/（为）

列I,且数列｛时｝满足01=2,厮=In*”[-,4>1.

xn-l

⑴求出；

（2）证明数列｛册｝是等比数列并求an；

（3）设数列｛册｝的前几项和为S*,若不等式（一1产tS“一144SV对任意的neN*恒成立，求t的取值范围.

〔题目|3）（23-24南二下・贵州贵阳・期中）已知数列｛狐｝满足：a“+产!册+（。户,且5=—京设｛册｝的

J\J/J

前n项和为Tn,bn—3"-an.

（1）证明：｛0｝是等差数列；

（2）求黑；

（3）若不等式北+,《小对"6N*恒成立，求实数力的取值范围.

〔题目〔4〕（23-24方二下・吉林长春・阶段练习）设正项数列｛an］的前几项之和与=电+&2+…+册,数列

｛&｝的前九项之积cn=岫2・・,b九，且鼠+品=1.

（1）求证：｛1｝为等差数列,并分别求｛飙｝、｛图｝的通项公式；

（2）设数列｛an-bn+J的前九项和为S”,不等式S“>：+4-孕对任意正整数n恒成立，求正实数A的取值

A6

范围.

颔目回（2024•湖南・二O已知｛%｝是各项都为正数的等比数歹U,数列｛0｝满足：b=21og2册+1，且6产

1,b4=7.

（1）求数列｛册｝,｛鼠｝的通项公式；

（2）若对任意的九6N*都有2%”>bn—2,求实数A的取值范围.

题目J]（23-24高二上•山东灿台•期末）设数列｛&｝,他｝的前几项和分别为S〃，黑，。产―2,8=1,且

4szi+i=3Sn—8，K+i=^-bn-（nEN*）.

JQTI+1

（1）求｛aJ的通项公式，并证明：｛（,）”》“）是等差数列；

（2）若不等式（6加一54七）”一（九+3）（黑―9）<0对任意的nGN*恒成立,求实数A的取值范围.

题型二:数列不等式能成立（有解）问题

题目口（2024・云南・一模）已知｛册｝为等比数列，记S”、方分别为数列｛aj、｛端的前几项和，$5=62,

Sio=2046,2方=nbn+n,b2—3.

（1）求｛aj、｛吼｝的通项公式；

（2）是否存在整数c,使与+匹+…+&<c对任意正整数n都成立？若存在,求c的最小值；若不存在,

电电an

请说明理由.

题目团(23-24方二上•江苏拉城•期末)已知正项数列｛%｝的前几项和为S”,且2嫉=厮+1；数列｛0｝

是单调递增的等比数列,公比为q，且与，儿的等差中项为10；4，瓜的等比中项为8.

(1)求｛%｝，｛鼠｝的通项公式;

,向”,几为奇数

2

⑵设金力4,71为偶数Tn为数列｛品｝的前几项和，若存在neN*使得^n-2n+n)站”成立,求实数A

的最大值.

题目包(2024•云南曲靖•一模)已知数列｛册｝的前几项和为S”,且又=2册—".

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若数列｛心｝满足勾=三工，其前n项和为北,求使得室＞噂鲁成立的n的最小值.

〔题目〔4〕（23-24方三上•山东・阶盘练习）己知正项数列｛an｝的前几项和为2画=册+1；数列｛0｝是

递增的等比数列,公比为q,且修几的等差中项为10，如仇的等比中项为8.

⑴求｛斯｝,｛b0｝的通项公式；

—Qh,n为奇数

2

(2)设cn=_3_n为偶数，或为｛品｝的前几项和，若7Jn+2n-n+3>助九能成立,求实数A的最大值.

.bn

[题目⑸（23-24南三上・万北张家口・阶段练习）已知正项数列｛an｝的前几项和为且a“=]s”

+l（neN*）.数列｛0｝的前几项和为看,数列｛cj的前几项和为，数列bn=2na“—a”（neN）,Cn

1

十="3*).

n(n+1)

⑴求数列｛%｝的通项公式及工;

（2）若对任意neN*,存在XQE[—1,1]使得An<2x0—m成立,求实数m的取值范围.

二、专题数列不等式专项训练

〔题目〔1〕（23-24商二下•辽宁大连*BH度练习）设数列｛aj的前几项和为S”，已知％=5,a尸25,Sn+l

+5$“_1=6$式九>2）,黑是数列｛21og5a„-l｝的前九项和.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

⑵求满足（1—标）（1—去）（1一点）…（1—七）（1一土）〉器的最大正整数九的值・

题目习（2024•四川南充•二在数列｛斯｝中,S”是其前ri项和，且3Sn-an=64.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

⑵若VnCN+"—l<S“W44+4恒成立，求4的取值范围.

•4

题目回(2024•全国•模板预测)已知数列｛aj的前n项和为S”,且a2=3,2S“="(a”+2).

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若存在九CN*,使得二一+,+…+—匚>入册+1成立,求实数4的取值范围.

。1电a2a3anan+l

题目匠(23・24南二下・云南玉溪・阶段练习)已知S”是等差数列｛a„｝的前几项和，且。2=3,S5=25.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若对任意neN*,a>粤+号+…+?,求小的最小整数值.

JJJ

•••

题目回(2024商三•全国•专题练习)已知数列｛册｝的前几项和为必，且关于力的方程侬!?+2疯；r+n+

1=0,九GN*有两个相等的实数根.

(1)求｛册｝的通项公式；

n

(2)若b=(an+l)-2%,数歹IJm｝的前几项和为7；,且4A对任意的nCN*恒成立,求实数A的最大值.

题目回(2024•天津虹桥・一模)已知S”为数列｛%｝的前几项和,且满足Sn=2an+r，其中rCR,且rWO.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

Q2n—1一

(2)设b=(T)"+i包，若对任意的nCN*,都有»V小<>>"求实数6的取值范围.

ri=li=l

〔题目⑺（23-24方二下・湖南长沙•开学者就）已知｛册｝为等差数列，a｝为等比数列，a产仇=1,as=

5（Q「。3），"=4（64—63）.

（1）求｛④｝和｛bn｝的通项公式；

（2）求数列（——1的前n项和方;

IQ£。九十2J

nn

（3）记d“=3-2-（~l）Abn（AGR）,对任意的nGM，恒有dn+1>或，求4的取值范围.

_n（n—1）

（题目I8］（23-24方三下•湖南湘潭•阶段练习）设各项都不为0的数列｛%｝的前几项积为北，T=2~-

CLn,€L\—2.

（1）求数列｛a„｝的通项公式；

（2）保持数列5｝中的各项顺序不变,在每两项队与a』之间插入一项2（@+「恁）（其中％=1,2,3,…），组

成新的数列｛葭｝,记数列｛0｝的前几项和为S”,若S>2023，求n的最小值.

题目⑥（2014南一•全国・克豹对于给定的机,九eN*,若小>",定义4==（=二1）二（——九+1）.已

九（九一1）…2x1

知数列｛飙｝满足5=1,当九>2时，产S—1）："+2）s「（3_1用3,其中S”为数列｛册｝的前九

项和.

（1）求｛aj的通项公式；

（2）计算数列｛册｝的前n项和S”,是否存在％eN*,使得任意九〉k,都有S„>2014?若存在，求出k的最小

值;若不存在，请说明理由.

题目®（23-24商三下•重庆•阶段练习）已知正项数列｛4｝的前九项和为&,且满足的=1,2sl=册

册+i,数列｛bn｝为正项等比数列，昆=电且瓯3仇,反依次成等差数列.

（1）求｛厮｝，｛0｝的通项公式；

（2）设品=二，｛品｝的前n项和为黑，问是否存在正整数k使得《<北<然工⑺>4）成立,若存在,求

出用的值;若不存在,请说明理由.

•••

裁利茶普iU舞型超型松类制诔，

目录

一、典型题型

题型一:数列不等式恒成立

题型二:数列不等式能成立（有解）问题

二、专题则不等式专项训练

一、典型题型

题型一:数列不等式恒成立

蜃目［TJ（23-24方二下•河南南相・期中）记数歹U｛册｝的前几项和为S。，已知的=—1,且*1+（—1）%为=

8—2n.

（1）令勾=电九,求数列｛K｝的通项公式；

n+1

（2）若对于任意的九EN*,2-4—6n+1+S2n+1>0恒成立,求实数A的取值范围.

【答案】⑴6九=9—4n

⑵［看，+8）.

【分析】（1）分类讨论n是奇数和偶数，利用递推公式计算即可；

（2）先利用等差数列求和公式分组求和，再分离参数，令金=冠，判定其单调性，计算即可.

2n

【详解】（1）令?2=2k—1,则。2卜—。2卜一1=10—4k①，

令九=2k,则电卜+1+保卜=8-4k②，

=

②一①，得a2k+1-ha2k-i-2,

又因为Qi=-1，所以可得a2fc-i=-1,

代入①式，得a2k=9—4%,所以bn=9—4n.

（2）S20+1=S奇+S偶，其中S奇=（—l）・（7i+l）=—S+l）,

22

5偶二仇+8+—F6n—5n-\-1X（—4）=7n—2n,所以S2九+1=-2n+6?i—1.

*

由2"1・』一6九+1+S2九+i>0,可得旦恒成立.

2n

、匹_n2mJ_（九+1）~n2_—n2+2n+1

仅品=/，则品+1一品=/=产，•••

当1—V2<n<1+A/2，即九=1,2时，cn+i—Cn>0,cn<cn+1,

当n>l+J2,即九>3时，cn+1—cn<0,cn>cn+1,

所以C1<C2<C3>C4>C5>…，故（01mx=c3=u，所以4>卷,

oo

即实数4的取值范围为JU，+8）.

Lo）

题目②（2024•广东韶关•二O记R上的可导函数/⑺的导函数为了'⑺，满足4+尸垢

—华g5cN*）的数列｛吃｝称为函数/（，）的“牛顿数列”.已知数列｛4｝为函数/（乃=/—多的牛顿数

于g

歹!J,且数列｛时｝满足的=2,斯=InXn,x„>1.

xn-l

⑴求a2;

（2）证明数列｛an｝是等比数列并求飙；

（3）设数列｛册｝的前几项和为S”,若不等式（-I）"-tS「14WSV对任意的九CN*恒成立，求t的取值范围.

【答案】⑴4

（2）证明见解析，a=T

⑶-K停

O

【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式,根据对数运算及递推式求解即可；

（2）对递推式变形结合对数运算求得国旦=2,利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通

a九

项公式；

⑶先利用等比数列求和公式求和,再把恒成立问题转化为（-1产t<S”+圣对任意的neN*恒成立，令

g（x）=x+—,xE（0,+oo）,利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据九的奇偶性

X

分别求解范围即可.

【详解】⑴因为/（力）=力2—力，则/（力）=2］一1,从而有C九+1==6九一；n*；=p,

f（xn）2xn-l2xn-l

XnX1

由Qi=2,an=In，则2=In

xn-l力

所以隔尸皿―="-六2皿「=2,0>1）,

故?包=2（非零常数），且的=220,所以数列｛an｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

所以a“=2X2"T=2";

⑶由等比数列的前n项和公式得：Sn=2(1—?).=2"+1—2,

1—2

因为不等式(一1)75^—14&S/对任意的九6N*恒成立，又S>0且S九单调递增,

所以(―l)n-对任意的灯GN*恒成立，令g(力)=x+—,xE(0,+oo),

31n力

则g'Q)=1—4―――暑，当力G(0,U)时，g\x)<0,g(rr)是减函数，

xzxz

当力E(V14,+oo)时，g'(力)>0,gQ)是增函数，

又2=Sj<V14<S2=6，且g(2)=9,g(6)=与,g(6)Vg⑵,则g(x)^n=g(6)=孕,

O0

当n为偶数时，原式化简为S九，所以当71=2时，力&争;

当n为奇数时，原式化简为一九所以当n1时，一t49,所以t>—9;

3九

综上可知，一9&.

o

[题目|3](23-24i«二下・贵州贵FB・期中)己知数列｛斯｝满足：〜=:册+(!户,且5=—得.设｛册｝的

OOO

n

前几项和为北，第=3-an.

(1)证明：｛0｝是等差数列；

⑵求或;

(3)若不等式看+伴&为对九eN*恒成立,求实数t的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(3)一卷《力《一卷

2o

【分析】(1)根据等差数列的定义证明

(2)由已知得Q九二4=(1■『・(九一3),再通过错位相减法求解出北；

3J

(3)不等式化简为t(n—3)>3~2n，把问题转化为t(n—3)>3~2n对九eN*恒成立，然后分别求出当

1471<3、71=3和71>3时，力满足的条件即可

【详解】⑴因为bn=3%Q九，所以bn+1=3计1・％+1,

=n+1,nn+1n

bn+i~bn3an+1—3-an=3|^-^-an+(-^-)]—3-an=1,

且bi=—2，所以勾是以一2为首项，且公差为1的等差数列，即勾="一3.

⑵由⑴知，bn=ri-3,所以an=/=•(九一3).

则或=(-2)-(y)'+(-l)•(j)2+0-(j)%•••+(n-4)•传)“'(n—3).(j)",

于是寺北=(一2)•(/+(T)•(!)3+。•(、■)"+…+("—4)・什)”+(n—3)

两式相减得"17；=一弓+传)2+借y+(/)，+••-+(y)ri-(n-3)•信)阳

2,0[1—(5)1/°、/1\n+1_1(n1、/Ip

__3+—---------⑺―3)-(.)—一万一(.一万).(3)，

13

因此3—/管号）.（二

3

()由黑+告&tan，得一管--|-)•信)<t(n-3)•(y),

依题意，t(n—3)>3j71对?iEN*恒成立，

3—2九13〜11

当14九V3时，tW---------x，则T；

4(n-3)24n—3'2

当九二3时，不等式恒成立;

3—2Tl

当n>3时，力）13*11301/1

4(n—3)24n-324n-32

则t>-，，于是一/<t<―],

Z2o

综上，实数力的取值范围是一gwtw-《

2o

［题目［4］（23-24高二下•吉林长春•阶段练习）设正项数列｛an｝的前几项之和勾=0什电+…+Q九，数列

｛b^的前几项之积金=匕也…K，且氏+金=1-

（1）求证：1｝｝为等差数歹U,并分别求｛斯｝、｛&｝的通项公式；

（2）设数列｛an-b“+J的前几项和为S”,不等式S0>4+久一号对任意正整数n恒成立,求正实数4的取值

A0

范围.

【答案】⑴证明见解析，©=/1,bn=-4-

n（n+1）n+1

（2）!<^<2

【分析】（1）利用已知关系可得与=江，代入氏+品=1,化简可证（上］为等差数列，从而求得｛aj,｛⑥｝

Cyi—1IJ

的通项公式；

（2）由⑴得an-产/、，利用裂项相消可得S„=4-《（一T+47），利用数列的单调性求出

解不等式即可求出正实数1的取值范围.

O

【详解】（1）由题意知：当九>2时，bn=一°n、代入口+品=1得品+品=1,

^n—1。九一1

所以—-------=1.

1

由｛"3,得…制

所以｛2｝是以2为首项，1为公差的等差数列,

11n

所以工=n+l'C"=E'b”=l—以

九十1

71—1_1

当九>2时,a"=b「b”一尸R

nn(n+1)

当？i=1时，Q尸瓦=《也符合上式，所以an=―—

2n（n+1）

⑵由⑴得一号If篝

所以8尸土+M+—+…+记七^L

Xfi_X.X_X।X_X.।11।11)

=-2132435n-1n+1nn+2)

=&」（，+，）

42Vn+1n+2卜

显然｛Sj单调递增，所以S含S[=].

O

由题意得即1+4〈言,

A63/12

又4>0,所以4的取值范围为:

题目回（2024•湖南・二«）己知｛M｝是各项都为正数的等比数歹（J,数列｛bn｝满足：b=21og2On+l,且瓦=

1,bi—7.

⑴求数列｛册｝,｛吼｝的通项公式；

（2）若对任意的nCN*都有24册）勾一2，求实数A的取值范围.

【答案】（l）a“=2"T；b“=2n-l

⑵心得

O

【分析】（1）利用题设条件求得的44,再利用等比数列的通项公式求得册，进而求得第；

（2）将问题转化为1>业F恒成立，再利用作差法求得/（力=的最大值，从而得解.

【详解】（1）因为bn=21og2an+l,瓦=1,a=7,

Q

所以fei=1=21og2ai+l,则尸1,

b4=7=210g2a4+I，则。4=8,

因为｛aj是各项都为正数的等比数列，所以不=幺=8,即q=2,

al

n-1

所以an=2,则bn=210g2。九+1=2（n—1）+1=2n—1.

2n3

（2）因为24ali>bn-2恒成立，所以4>与2=-恒成立，

2aziT

设/M）=^^SeN*）,则/（九+1）—=—=

当nW2时，/(n+1)—/(n)>0,则/(3)>/(2)>/(1);•M

当n>3时，/他+1）—/（n）<0,则/（3）>/（4）>f（5）>-;

所以/伍）a=/（3）=等,则心目.

OO

题目回（23-24高二上•山东灿台•期末）设数列｛每｝,他｝的前几项和分别为S",1,Q1=—2,仇=1,且

4s九+产3s九—8，bn+1=-^-bn-（nGN*）.

Jan+l

（1）求｛飙｝的通项公式，并证明：｛（1■厂是等差数列；

（2）若不等式（6相-54心）”―（n+3）⑵―9）W0对任意的neN*恒成立，求实数4的取值范围.

【答案】⑴a“=—2x信尸证明见解析；

⑵（—8,3].

【分析】（1）根据给定条件,结合an=SH>2）求出｛册｝的通项，再利用等差数列的定义推理即得.

⑵利用错位相减法求和得，黑=（3n—9乂!）+9,由给定不等式得,A&'+9—+~~~，再求出+

三的最小值即可.

2n

【详解】⑴数列｛飙｝中，4sli+i=3S“一8,当n>2时，4Sn=3Sn-i—8,两式相减得，an+1=^-an,

又4s2=3s1—8,即4（ai+a2）=3a「8,而囱=—2,解得a2=―,则a2=,

所以数列｛%｝为等比数列，a“=—2X（弓）”:

由b=-----,瓦=1,得bi—~b-\—

+1n+n■（汐HFm，

"3an+13/3_

因此数列｛借广％）是以（2°瓦=1为首项、1为公差的等差数列.

⑵由⑴得，仔）"%=1+（九一1）、1=",即吼=九传）"\

2

则Tn=1X（y）°+2X信丫+3X（y）+•■•+nX信厂

23

于是jTn=1X（y）'+2X（y）+3X（y）+…+（九—1）X+nX（y）",

两式相减得，-和=信）°+宿丫+（/+（?丫+…+信广-"信『=3[⑶"t]-

因此£=（3九一9乂！）+9,

又（6加-54）（/一（九+3）（虱-9）W0,即（61-54）信）&（n+3）（3n-9）（1-）\

于是^吟=£+.,而£+得=3,当且仅当几二3时等号成立,则

所以实数4的取值范围为（-co,3].

【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.

题型二:数列不等式能成立（有解）问题

题目F（2024•云南・一模）已知｛册｝为等比数列，记S”、北分别为数列｛厮｝、｛0｝的前n项和，55=62,

S10=2046,27^=nbn+n,b2=3.

⑴求｛“/、｛'｝的通项公式；

（2）是否存在整数c,使与+匹+…+&<c对任意正整数n都成立？若存在，求c的最小值;若不存在,

Q1。2

请说明理由.

【答案】（1）斯=2",bn=2n-l;

⑵存在，c的最小值为3.

【分析】

⑴利用等比数列求和公式得首项和公比的方程组，得an=2",利用数列的和与通项的关系得（n-l）bn+1=

九队一1,结合九"2=（n+l）bn+1—1得｛bn｝是等差数列即可求解；

⑵错位相减法求和得&=旦+匹+…+b,再利用数列性质求最值即可求解.

Qi电M

【详解】（1）设等比数列｛厮｝的公比为q,根据已知得q片1,且

S5二当夫62

解方程组得卜尸?

SIO=d=20469=2.

・・・｛QJ的通项公式为。九=（1『=2x2九-1=2n.

,：2T/nbn+n,

27]=26二仇+1,解得b尸1,

且2北+i=(n+l)bn+1-bn+1.

2黑+1—2或=(n+l)6n+i+n+1—nbn—n,

即2bn+1=(n+l)5n+1+n+1—nbn—n.

(九-1)⑥+i=nbn-l且nbn+2=(n+l)5n+1-l,

则nbn+2-(n-l)bn+i=(n+l)bn+1-nbnf

整理得bn+2+bn=2bn+1,故｛bj是以1为首项，2为公差的等差数列,

故bn=1+2（n—1）=2n—1.

{bn}的通项公式为bn=2n—l.

⑵设c,=2+匹+…+b=《+/+…+&W

2

Q1。2an22T

KI.|11I3iI272,1

则—C=—+—H---1----7—.

2n22232n+1

111229

c„=-c„=-+-+-+-+-2n-l

?2n+1

7

2Tl+3

V4=3一医兽<3恒成立，且。4=3一共>2,

216

存在整数c,使与+匹+…+'Vc对任意正整数九都成立，且c的最小值为3.

Qia2an

题目囱(23-24商二上•江苏拉城•期末)己知正项数列｛册｝的前九项和为且2国=每+1；数列｛0｝

是单调递增的等比数列,公比为q,且心，儿的等差中项为10；多，氏的等比中项为8.

(1)求｛诙｝，｛口｝的通项公式；

册,?i为奇数

⑵设c”=X九为偶数，方为数列｛品｝的前几项和，若存在打GN使得容—2/+n>泡成立，求实数义

.bn

的最大值.

【答案】(1)册=2n—l,bn=T

o

【分析】⑴利用a“与必的关系可得an，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得&;

(2)分组求和可得可将原不等式转化为(亲—")，计算即可得.

【详解】⑴由2"=an+l可得4S0=(%+1)2,

2

当n>2时，4S"-i=(a„-i+l),两式相减得4a„=a^—a„-i+2(a„—an_x),

点―a：-i=2(a“+an—1)，

即(。八十册-1)(册一册-1)=2(an+an_i).Van>0,

**•Ojnan-i=2(n>2),

即可得｛厮｝是等差数列.

由2=ai+1,得2=ai+1,/.0i=1,

即an=14-(n—1)x2=2n—1.

万2+64=20:建渣，解得与=4或b—16

由题意得2

帅5=64'64=16仇=4'

,/｛6n｝是递增的等比数列,

•••仁3所以。得&i=2

[d=16q=2'

n-1n

・•.bn=2x2=2,

n

即册=2n-l,bn=2;

1

⑵由⑴得：£n=(Q1+Q3+—Fa-i)+(62+64+—Hbn)—2n2—n+

2n24n

2

若存在n6N*使得7^n—2n+n>Abn成立,

等价于存在九CN*使得44I/—'）能成立,

设4=则虞一*_尸,侏—亲）一y（i-a）=?亲-i）<0

/.｛*｝是递减数列，故d九的最大值为&=,

O

因此4的最大值为

8

趣自区（2024•云南曲靖•一模）已知数列｛册｝的前九项和为&,且&=2an—n.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若数列｛0｝满足图=马士二,其前九项和为黑，求使得Tn>卷）成立的n的最小值.

【答案】（1）斯=2n-l;

（2）10.

【分析】

⑴根据M,S九关系及递推式可得M+1=2（Q*I+1）,结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果;

（2）应用裂项相消法求黑，由不等式能成立及指数函数性质求得九>10,即可得结果.

【详解】（1）当？1>2时，an=S「Sn_i=（2an—n）—（2an_i—n+1）=2（Q九一Q九—1,

所以an=2。.1+1,则an-\-l=2（an-i+l）,而Q尸S尸2^—1=>。尸1,

所以电+1=2,故｛an+l｝是首项、公比都为2的等比数列，

nn

所以Q九+1=2=>an=2—1.

dnh—斯+1T11

(7LQg+1―(2n-l)(2n+1-l)―2n-l2n+1-l，

所以方=—/专+…+11

2n-l2n+1-l

111

要使£=1一>盟即<=^>2n+1>2025,

2n+1-l2n+1-l2024

由210<2025<2"且九CN",则九+1>11=n>10.

所以使得黑>翁■成立的九的最小值为10.

［题目|4）（23-24%三上・山东・阶&练习）已知正项数列｛aj的前几项和为S”，2唇=即+1；数列缶“｝是

递增的等比数列,公比为q,且与，b的等差中项为10,3生的等比中项为8.

（1）求｛厮｝,｛口｝的通项公式；

—an）n为奇数

2

_3_n为偶数，7为｛cn｝的前几项和，若7^n+2n-n+3>Abn能成立，求实数A的最大值.

.bn

【答案】（1）册=2n—1,bn=T

（哈

【分析】⑴利用Sn,an的关系式即可求得｛aj是等差数列，可得an=2n-l;再利用等比数列定义即可求得

瓦=2«=2,可得勿=2n;

（2）采用分组求和并利用等差、等比数列前九项和公式即可求得冕“=—2/+九+1—」-,不等式能成立等价

于（4x（［7一（J门，利用单调性可求得AW号.

L'2，'3/」maxo

【详解】⑴由2唇=每+1可得4s几=5+1）2,

QQ

当n>2时，4Sn_i=（册_1+1）2,两式相减得4an=（——+2（七一。…）,

71-71-1—

,,。。(^dn~\~CLn—l),

即(QTZ+QTI-1)(。九一1)—2(Q九+(1九_1).•Q?1>0,

.\an-an_i=2(n>2),

即可得｛QJ是等差数列.

由2=0-1+1,得=Q1+1,/.Q尸1,

即an=1+(n—1)X2=2n—1.

b+b=20即耳，解得b=16

由题意得24:2或2

仇匕5=64'64—4°

・・・也｝是递增的等比数列,

・dU，所以。得bi=2

[b4=16q=2.

n-1n

・・.bn=2x2=2.

n

所以｛an｝和｛&n｝的通项公式为an=2n—1,bn=2.

⑵由⑴得：

(Q1+Q3+Q5+—Ha_i)+(62+64+^6+—H----F4n—

£九=一2n^~b2n)=—(1+5+93)+3

+3天1

11(1+4n—3)n4n1

+±+±+…+=­2n29+n+1------

222426214n

1-4

为九+2疗一n+3>Ab能成工，等价于4——>/IX2"能成工,

n4n

nnnn

化简得4x(y)-(f)能成立，即X&[4x(y)-(y)]max-

设虞=4x（,）-（。），则

…=4x（4F七fLx（/+（1）Jx信）%x（1）-（/艮x（1r-2］<0,

｛&J是递减数列，故小的最大值为&=学.

O

.・"《第，

因此久的最大值为学.

O

［题目|5］（23-24ilj三上•河北张家口・除我练习）已知正项数列｛%｝的前几项和为S”,且@•=亭9“••

+l(nEN*).数列｛bn｝的前几项和为黑，数列｛品｝的前几项和为数列bn=2nan—an(nEN*),cn

1

+z,=—,(nGN,).

n(n+1)dn

⑴求数列｛册｝的通项公式及以；

(2)若对任意nCN*,存在gC[—1,1]使得力相42g—m成立，求实数?n的取值范围.

【答案】(1)斯=2'neN*;£=6+(2n-3)-2n+1;

【分析】(1)利用S”,即的关系式可求得数列｛a“｝的通项公式为a,=T,neN*,由错位相减法求和即可得Tn

=6+(2n-3)-2n+1;

⑵易知4=一」-,由数列的函数特性可知±=羔,根据题意只需满足2—

n+12n51680

告即可求得隆姿

【详解】(1)由a=yS„+l(neN*)，可得Sn=2a“一2(neN*),

当ri=1时，5=Si—2a「2，得<Zi=2;

==

当n>2时，anSn—Sn-i=2an—2—2册_1+2,即an2ali,

可得｛aj是以的=2为首项，2为公比的等比数列，所以an=T,neN*;

当n=1时，5=2符合a”=2",

所以数列｛aj的通项公式为a0=T,nGN*;

bn—2nan-an—(2n-l)a”=(2n-1)-T,

则数列｛bj的前几项和为7；=1•