2024年上海市宝山区中考数学二模试卷（含详细答案解析）

2024年上海市宝山区中考数学二模试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若二次根式/7二1有意义，则尤的取值范围为（）

A.x>1B.%>0C.x>1D.%>0

2.若关于X的一元二次方程比2—X—租=0有两个相等实数根，则实数机的值为（）

11

A.——B.—4C.—D.4

44

3.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）

A.y—2/+1B.y=-2x2+1C.y=x+1D.y=—x+1

4.连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）

1111

A.6-4-3-2-

5.上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况.下面是三月某一周连续七天的空气质量指数

（2Q/）：28,26,26,37,33,40,117,这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平

均水平的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

6.如图，△48C中，NC=90。，AB=5,tanB=如果以点C为圆心，半

径为R的OC与线段有两个交点，那么OC的半径R的取值范围是（）/

A.2</?<y/~5L---------------------------——

Ab

B.2<R<<5

C.<5</?<2/5

D.O<R<y/_5

二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.a6a2=.

8.因式分解：m2-3m=.

9.不等式/<。的解集是.

10.方程V2—x=-久的解是

11.我国天文学家算出了仙女星系“体重”.仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成

和演化的绝佳案例.计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量.把数据11400亿用科学记数法表示应

是.

12.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果

有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数

量为只.

13.《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一

尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1

尺.那么长木的长度为—―尺.

14.如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所A

在的点不共线.设A3、的中点分别为M、N.如果MN=3米，那么AC=米.M/\

BNC

15.如图，正六边形ABCOEE,连接OE、0D,如果丽=优症=3，那么

AB=.

16.为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩

形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABC。是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆。的直径，

弦与。平行.已知£尸长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观

演区可容纳名观众.

17.如图，边长分别为5,3,2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角

形①和②的面积之噫的比值为一

18.如图，菱形ABC。的边长为5,cosB=E是边8上一点（不与点

C、。重合），把AADE沿着直线AE翻折，如果点。落在菱形一条边的延长

线上，那么CE的长为.

三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题10分）

2

计算：1）T-|互-3|.

20.（本小题10分）

解方程：W=^+L

21.（本小题10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,与反比例函数y=g的图

象交于点C（2,zn）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）过点C作x轴的平行线/,如果点。在直线/上，且CD=3,求△ABD的面积.

22.（本小题10分）

小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1）,图2是它的侧面示意图，遮阳篷长4C=6米，与水平面的夹

角为17.5。，靠墙端A离地高度力B=5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角NCDF=36.9。，夏至正午

太阳光照入射角NCEF=82.4。，因此，点。、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该

区域深度DE的长.(结果精确到0.1米)

参考数据：sinl7.5°-0.3,cosl7.5°~0.95,tanl7.5°«0.32；sin36.9°-0.6,cos36.9°-0.8,

tan36.9°«0.75；sin82.4°«0.99,cos82.4°«0.13,tan82.4°«7.5.

图1图2

23.（本小题12分）

如图，在。。中，直径垂直于弦CD,垂足为点E,联结AC、DO,延长。。交AC于点F.

⑴求证：AF2=OF-DF；

(2)如果CD=8,BE=2,求OP的长.

24.(本小题12分)

在平面直角坐标系尤Oy中(如图)，已知开口向下的抛物线丫=&/一2%+4经过点「(0,4),顶点为4

(1)求直线PA的表达式；

(2)如果将APOA绕点。逆时针旋转90。，点A落在抛物线上的点。处，求抛物线的表达式；

(3)将(2)中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为8,与y轴交于点C.如果PC=求

tan/PBC的值.

■P(0,4)

25.(本小题14分)

已知A2是半圆。的直径，C是半圆。上不与A、8重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交

直径48于点O,E是点。关于直线AC的对称点.

(1)如图，点。恰好落在点。处.

①用尺规作图在图中作出点E(保留作图痕迹)，联结AE、CE、CD,求证：四边形AOCE是菱形；

②联结8E,与AC、CO分别交于点尸、G,求黑的值；

(2)如果4B=10,OD=1,求折痕AC的长.

备用图

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••二次根式，7=1有意义，

%—1>0,

解得：%>1.

故选：A.

直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.

2.【答案】A

【解析】解：•・・一元二次方程/—%一租=0有两个相等的实数根，

•••4=0,

/.I2—4x1X(-m)=0,

解得TH=

故选：A.

利用方程有两个相等的实数根，得到4=0,建立关于根的方程，解答即可.

此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时

21>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，4=0；当方程没有实数根时，/<0,正确掌握此三种

情况是正确解题的关键.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了二次函数的性质及一次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解其增减性是关键.依据题意,

由二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质分别进行判断可以得解.

【解答】

解：由题意，对于A选项，y=2久2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，

.•.当时，y随x的增大而减小，当％>0时，y随x的增大而增大，故A错误.

对于8选项，y=—2/+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，

.,.当x<0时，y随x的增大而增大，当x>。时，y随x的增大而减小，故B错误.

对于C选项，丫=久+1是一次函数，k=l>0,

・•.y随x的增大而增大，故C错误.

对于。选项，丫=一久+1是一次函数，/c=—1<0,

・•.y随x的增大而减小，故。正确.

故选D.

4.【答案】B

【解析】【分析】

画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果有1种，然后根据概率公式

求解.

此题考查的是画树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以

上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【解答】

解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，

••.两次都是“正面朝上”的概率=]

故选：B.

5.【答案】B

【解析】解：这组数据的平均数为28+26+26+3*3+40+117=手中位数为33,众数为26,方差是反应

数据的集中趋势的统计量，

所以能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是中位数，

故选：B.

这组数据的平均数受极端数值117影响，众数偏离大多数据，方差是反应数据的集中趋势的统计量，据此

可得答案.

本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的意义.

6.【答案】A

【解析】解：••・ZC=90。，tanB=

,AC_1

—="»

BC2

设AC=x,BC=2x,

AB=<AC2+BC2=<5x=5，

•••x--\A5>

AAC=<5，BC=2/5，

过点C作CD1ZB于点。，

•••Oc与线段AB有两个交点，

.-2<R<岳,

故选：A.

根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答

案.

此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

7.【答案】a4

【解析】【分析】

根据同底数幕的除法，可得答案.

本题考查了同底数塞的除法，同底数塞的除法底数不变指数相减.

【解答】

解：a6-i-a2—a4.

故答案为：a’

8.【答案】m(m-3)

【解析】解：m2—3m=m(m—3).

故答案为：m(m-3).

直接找出公因式进而分解因式得出答案.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

9.【答案】x<1

【解析】解：去分母，得x-lW0.

移项，得x<1.

根据不等式的性质：先分母，再移项，合并同类项即可.

本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质，能求一元一次不等式的解集.

10.【答案】%=-2.

【解析】解：对于方程，X,两边同时平方得：2—X=”2,

移项得：%2+%-2=0,

(%—1)(x+2)=0,

x—1=0或x+2=0,

由％—1=0,解得：x=1,

由x+2=0,解得：x=-2,

经检验得：久=1为增根，乂=-2是原方程的根.

方程V2—x=—X的解是％=-2.

故答案为：%=-2.

首先将两边同时平方得2-*=/,再解这个整式方程求出x,然后再进行检验即可得出原方程的解.

此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键.

11.【答案】1.14x1012

【解析】解：11400亿=1140000000000=1.14X1012,

故答案为：1.14x1012.

将一个数表示成aX的形式，其中iw|a|<io,〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可

求得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

12.【答案】560

【解析】解：(28+50)x1000=560(只)

故答案为：560.

先求出调查中使用寿命超过了2500小时的灯泡占比，再用占比乘总数，即可求解.

本题考查了用样本估计总体，理清题目的数量关系并仔细计算是解题关键.

13.【答案】6.5

【解析】解：设木长为x尺，

根据题意得：|（%+4.5）=x-1,

解得x=6.5,

答：木长6.5尺.

故答案为：6.5.

设木长x尺，则绳子长为（久+4.5）尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可.

本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键.

14.【答案】6

【解析】解：,点M、N分别为A3、的中点，

.­.MN是△ABC的中位线，

AC=2MN=2x3=6（米），

故答案为：6.

根据三角形中位线定理计算即可.

本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键.

15.【答案】a-b

【解析】解：如图所示，连接8。，

F

C

由题意得，AB=DE=BC=CD,^ABC=Z-C=乙CDE=平菖)="。。,

6

••・乙CBD=乙CDB=30°,

・•・乙ABD=(BDE=90°,

・•・乙ABD+乙BDE=180°,

AB"DE,

AB=ED，

~OD=a,^E=后,

AB=ED=OD—O£—a—b.

故答案为：a—b.

连接BD,先由正六边形的性质可得48=DE=BC=CD,^ABC=4。=乙CDE=120°,进而求出

4ABD=4BDE=9。。，则可证明得到48=ED,则而=丽=前一症=五一改

本题主要考查了平面向量，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等.

16.【答案】150

【解析】解：设半圆的圆心为。，过点。作。H1EF于点H,交。。于点J,连接0E.

设。E=0J=r米，

•••OH1EF,

：.EH=FH=^EF=4（米），

在RtZkOEH中，。我=EH2+。“2,

22

r—4+（r—2）2,

■■■r=5,

•••AB=CD=10,AD=BC=5,

二矩形48CD的面积=5x10=50（平方米），

•••每平方米最多可以坐3名观众，

••・观演区可容纳150名观众.

故答案为：150.

设半圆的圆心为。，过点。作。于点交O。于点J,连接。E.利用垂径定理，勾股定理求出半

径，再求出矩形ABC。的面积，可得结论.

本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题.

17.【答案】去

【解析】【分析】

此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，设4"=机，

求得”乙=5M，==AK=：血是解题的关键.设AH分别交C。、FG、3M于点K、I、

L,3M分别交C。、FG于点P、Q,设=由得粤=空=a，则”L=^zn,AL=

ALAD57

由/G〃AB,得界=黑=贝1]/”=/,求得〃=白瓶，再证明△ZKOs^”KC,得需=黑=

/iiDii3335r~iZiC»

1

m

1,贝!L4K2-求得LK=^7n,即可由△QL/SWG求得£=（技）2=割于是得到问题的答案.

【解答】

解：设A”分别父CD、FG、于点K、I、L,5M分别父C。、尸G于点尸、Q,设/”=租,

・.・正方形ABC。、正方形CE/G和正方形GHMN的一边在同一条直线上，

・•・/.ABC=乙DCG=乙FGH=Z-MHG=90°,AB=BC=AD=5,CG=EF=3,GH=HM=MN=2,

AB//CD//FG//MH,=5+3+2=10,"C=3+2=5,

•・,HM//AB,

HLMs^ALB,

.HL_HM_2

：'~AL=~AB~S，

2226S6

・•.HL=嘉4'=三AH=AL=枭A”=%”=河，

vIG//AB.

.IH_GH-2_1

AH='BH=T6=5"

11

IH=AH

“213

•••LI=-m--m=­m,

vAD//HC,

・,仙AKDs^HKC,

*AK—AD—_5—i.

,•HK-HC-5一

11

・•.AK=HK=^AH=^m,

“513

•••LK=-m—~m=­m,

/L14

・•・/Q〃KP,

••△QUSAPLK,

3

.../=（旦¥=（婴产=±,

S2、LK）25'

故答案为春

18.【答案】.

【解析】解：过点A作4H1BC于点X,过点E作EG1CF于点G,点。与点P重合，如图,

由折叠得，AF=AD=AB=5,

BH=AH,

VcoszB=-=-,

・•.BH=4,

BF=2BH=8,

•••FC=AF—AC=8—5=3,

•・•四边形ABC。是菱形，

・•.CD//AB,

4CG

••・乙DCF=乙B,cos乙DCF=coszB=-=—,

5CE

设CG=4y,贝|CE=5y,FG=CF-CG=3-4y,

由折叠得EF=DE=5-5y,

在Rt△CEG中，由勾股定理得EG=VCF2-CG2=3y，

在RtAFEG中，由勾股定理得EG?+FG2=Ef2,

(3y)2+(3-4yA=(5-5y)2,

解得y=9，

厂厂l840

・•.CE=5x。二行'

故答案为：骂.

由折叠得AF=4D=4B,过点A作2”1BC于点X,过点E作EG1CF于点G,得BH=HF=4,CF=

3,由菱形的性质得4CF=出可得径/设CG=4y,则CE=5y,由勾股定理得EG=3y,由折叠

得EF=DE=5-5y,而FG=FC-CG=3-4y,在Rt△EFG中由勾股定理得(3-4y)2+(3y)2=(5—

5y产解方程求出y的值即可解决问题

本题主要考查翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性

质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角

相等.

2

19.【答案】解：83-(72-1)T一百一3|

21

-R-…)

V1+1

=22—3+

(A<2-1)X(72+1)

=4一(<2+1)-3+2A<2

=4-72-1-3+2/2

=y/~2.

【解析】先根据有理数的乘方，负整数指数幕，绝对值进行计算，再根据幕的乘方，分母有理化进行计

算，再根据实数的加减法法则进行计算即可.

本题考查了分数指数募，负整数指数累，分母有理化，实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算

法则进行计算是解此题的关键.

20.【答案】解：方程两边同时乘2x(x+1),

得3x2x=x+1+2x2+2x,

整理，得2/—3久+1=0,

解得I=1或%=

检验：当％=1时，最简公分母2x(%+1)=2x1x(1+1)0；

11

X+O

2-2-

原方程的解是X=1或X=2.

【解析】通过方程两边都乘以最简公分母2x0+1),将原方程化为整式方程再求解、检验.

此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用其求解方法进行变式、计算和检验.

21.【答案】解：(1)・••点C(2,m)在直线y=x+3图象上，

•••m=2+3=5,

•••C(2,5),

•••C(2,5)在反比例函数图象上，

k-10,

•♦•反比例函数解析式为：

(2)：C(2,5),点。在直线/上，CD=3,〃/%轴,

。(5,5)或(一1,5),

,・・丫=%+3与冗轴、y轴分别交于点A、B,

・•・4(—3,0),5(0,3),

①当。点坐标为(一1,5)时,

1119

S-BO=S梯形OEDA—S^DEB~S^AOB=，*(1+3)x5—~xlx(5—3)--x3x3=->

②当。点坐标为(5,5)时,

119

S^ABD~S“CD~S^BCD=]X3x5—2义3*(5—3)=2,

【解析】(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可；

(2)分两种情况求面积，①当。点坐标为(-1,5)时，②当。点坐标为(5,5)时，分别计算出△28。的面积即

可.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键.

22.【答案】解：如图，过点C作CF14B于点/，CG1BF于点G,

则四边形加GC为矩形，

BF=CG,

在RtAAFC中，AC=6米，/-ACF=17.5°,

tanzXCF=CF

图2

AF=CF-tanzXCF-6x0.32=1.92（米），

BF=AB-AF=5-1.92=3.08（米），

在RMCDG中，CG=3.08米，ZCDG=36.9°,

rr

•・.tan/CDG=器

UG

“CG3.08

D（j=------------«------«4.11（米）,

tan^CDG0.75

在中，CG=3.08米，Z,CEG=82.4°,

tanzCEG=―,

EG

EG=—^―〜翌a0.41（米），

则DE=DG-EG=4.11-0.41=3.7（米）,

答：OE的长约为3.7米.

【解析】过点C作CF，48于点尸，。618F于点3,根据正切的定义求出AR进而求出2F根据正切

的定义分别求出DG、EG,计算即可.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

23.【答案】（1）证明：连接A。，

••,直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,

BD=BC>

Z.OAF=Z.OAD,

OA=OD,

•••Z-ADF=Z.OAD,

Z.OAF=Z-ADF,

vZ.OFA=Z.AFD，

••・△。兄4s△a//。，

tAF__OF_

••而一而‘

・•.AF2=OF-DF.

(2)解：v0A=OB=OD,CD=8,BE=2,

1

...DE=CE=^CD=4,OE=OB-2=OD-2,

•••^AED=90°,

・•.OE2+DE2=。。2,

・•・(。。-2尸+42=OD2,

解得0。=5,

0A=OB=5,OE=5-2=3,

AE=OA+OE=5+3=8,

•••AD=VAE2+DE2=V82+42=4V-5»

OFA^LAFD,

,0F__0A_5

"AF~AD~

AF=警。尸，

AF2=OF-DF,

•••甘。?)2=OF(OF+5)，

解得OF=窘或OF=0(不符合题意，舍去)，

.­■OF的长是

【解析】⑴连接AD由垂径定理得筋=前，则N04F=NOa。，由。力=。£),得乙4DF=NQ4D,所以

^OAF=^ADF,而N0F4=N4FD,即可证明△OFASA人?。，得笑=第，贝必F2=。尸•。尸；

DFAF

(2)由。a=。8=。。，CD=8,BE=2,得。E=CE=4,OE=OB-2=OD—2,^OE2+DE2=

OD2,得(0。-2)2+42=。。2,求得。。=5,OE=3,所以4E=8,则4。=V。。2+。石2=4居根

据相似三角形的性质得案=器=京，贝MF=警。F,由4F2=0F-DF,得(警。尸尸=0F(0F+5),

求得OF=

此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是

解题的关键.

24.【答案】解：(1)由抛物线的表达式知，点4(，4一：)，

设直线PA的表达式为：y=kx+4,

将点A的坐标代入上式得：4—工=kx」+4,

aa

解得：k=—1,

即直线PA的表达式为：y=—x+4；

(2)由旋转的性质得，点—4,》，

将点Q的坐标代入抛物线表达式得：｝=矶：-4)2-2G—4)+4,

解得：。=箕舍去)或-9，

则抛物线的表达式为：y=——2%+4；

(3)由直线P4的表达式知，其和x轴负半轴的夹角为45。，点/(-2,6),

设将(2)中得到的抛物线沿射线尸A平移方加个单位，则相当于向左、向上个平移了加个单位，

则平移后的抛物线表达式为：y=—1(x—m)2—2(x—m)+4+

1-1一]

当％=0时,y=-](%—m)2—2(%—m)+4+m=--m2—m+4,即点C的坐标为：(0,—一租+

4)，

则PC=-m2+m+4,

而=V_2xV_2m=2m=PC=|m2+m+4,

解得：m=2,

则点C(0,0),即点C、O重合，

由点A的坐标(一2,6)得到点8(-4,8),

在中，CP=4,BC=PB=4<2,

过点尸作PHIBC于点H,

-11

则S△PBC=^xPCx\xB\=^BCxPH,

即4x4=/80xPH,则PH=篇，

16

则sin"BC=罂=疆=今

-1

贝UtanNPBC=j.

【解析】（1）由待定系数法即可求解；

(2)由旋转的性质得，点Q(}-4,》，将点Q的坐标代入抛物线表达式，即可求解;

(3)求出点C的坐标为：(。，一2山？一爪+4),由PC=，2AB,求出巾=2,进而求解.

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代

数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问

题.

25.【答案】