高考数学Ι轮教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》

第4讲定积分与微积分的基本定理★知识梳理★1、定积分概念定积分定义：如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续，用分点SKIPIF1<0，将区间SKIPIF1<0等分成几个小区间，在每一个小区间SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，作和SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的定积分，记作SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，这里SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别叫做积分的下限与上限，区间SKIPIF1<0叫做积分区间，函数SKIPIF1<0叫做被积函数，SKIPIF1<0叫做积分变量，SKIPIF1<0叫做被积式.2、定积分性质（1）SKIPIF1<0； （2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<03、微积分基本定理一般地，如果SKIPIF1<0是在SKIPIF1<0上有定义的连续函数，SKIPIF1<0是在SKIPIF1<0上可微，并且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.4．、常见求定积分的公式（1）SKIPIF1<0 （2）SKIPIF1<0（C为常数）（3）SKIPIF1<0 （4）SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0 （6）SKIPIF1<0（7）SKIPIF1<0★重难点突破★1.重点：定积分的计算和简单应用。2.难点：利用定积分求平面区域围成的面积3.重难点：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.（1）弄清定积分与导数之间的关系问题1.一物体按规律SKIPIF1<0做直线运动，式中SKIPIF1<0为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例常数为SKIPIF1<0），试求物体由SKIPIF1<0运动到SKIPIF1<0时，阻力所做的功.解析：要求变力所做的功，必须先求出变力对位称SKIPIF1<0的变化函数SKIPIF1<0，这里的变力即媒质阻力SKIPIF1<0，然后根据定积分可求阻力所做之功.解因为物体的速度SKIPIF1<0所以媒质阻力SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0阻力SKIPIF1<0所做功SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）掌握定积分在求曲边梯形面积的方法.问题2.求由抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围成图形的面积.y解析：作出SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的图形如右：y6解方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<06x解方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0x62OSKIPIF1<0所求图形的面积SKIPIF1<062OSKIPIF1<0★热点考点题型探析★考点1:定积分的计算题型1.计算常见函数的定积分例1.求下列定积分（1）SKIPIF1<0 （2）SKIPIF1<0 （3）SKIPIF1<0【解题思路】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的函数就可，这就要求基本求导公式非常熟悉.解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.题型2:换元法求定积分例2.计算:SKIPIF1<0【解题思路】：我们要直接求SKIPIF1<0的原函数比较困难，但我们可以将SKIPIF1<0先变式化为SKIPIF1<0，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0【名师指引】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.题型3:计算分段函数定积分例3.求SKIPIF1<0【解题思路】：SKIPIF1<0首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间SKIPIF1<0分段，再换元积分或奏变量完成.解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【名师指引】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中SKIPIF1<0，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.题型4:定积分的逆运算例4.已知SKIPIF1<0求函数SKIPIF1<0的最小值.【解题思路】：这里函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，再用导数求法求出SKIPIF1<0的最小值.解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小=1SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小=1【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数SKIPIF1<0混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系.积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。【新题导练】.1．(广东省揭阳二中2010届高三上学期期中考试)计算：SKIPIF1<0解析:82..设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0=（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.不存在解析SKIPIF1<0选C考点2:定积分的应用题型1.求平面区域的面积例1求在SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0轴及正弦曲线SKIPIF1<0围成的图形的面积.【解题思路】：因为在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，其图象在SKIPIF1<0轴上方；在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0其图象在SKIPIF1<0轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.y解析：作出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象如右yЛ0xSKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所Л0x2Л求积SKIPIF1<02Л【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积题型2.物理方面的应用例2.汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解题思路】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解析：由题意，SKIPIF1<0千米/时米/秒SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得15－3t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为SKIPIF1<0公里答：汽车走了0.0373公里.【名师指引】tvaboV=v(t)若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为SKIPIF1<0，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在SKIPIF1<0时间tvaboV=v(t)内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0时，则路程SKIPIF1<0.★抢分频道★基础巩固训练1.（2010年广东北江中学高三第二次月考）SKIPIF1<0=SKIPIF1<02.(2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题)SKIPIF1<0．SKIPIF1<03.SKIPIF1<0=SKIPIF1<04.已知SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0=时,SKIPIF1<0.恒成立SKIPIF1<05.求曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围成的平面图形的面积.思路分析：图形由两部分构成，第一部分在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0围成，第一部分在SKIPIF1<0上由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0围成，所以所求面积应为两部分面积之和.y=x2y=2xy解：作出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的图如右y=x2y=2xyB(2,4)解方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0B(2,4)A(1,1)y=x21xo解方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0A(1,1)y=x21xoSKIPIF1<0所求面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答：此平面图形的面积为SKIPIF1<0综合拔高训练6.设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2∴a=1，b=2.∴f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=SKIPIF1<0.（3）依题意，有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，－SKIPIF1<0t3+t2－t+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，∴2（t－1）3=－1，于是t=1－