2.5　一元二次方程的根与系数的关系课件北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系1.若

x1，

x2是一元二次方程

x2－

x

－6＝0的两个根，则

x1

x2的值是

(

D

)A.1B.6C.－1D.－62.(2023·张家口万全区月考)已知

x1，

x2是一元二次方程

x2－4

x

＋3＝0

的两个实数根，则

x1＋

x2的值为(

D

)A.－4B.－3C.3D.4DD12345678910111213143.【教材第50页例题改编】不解方程，用根与系数的关系求方程2

x

(

x

－1)＝3－

x

的两根之和，两根之积.

1234567891011121314

一元二次方程的根与系数关系的应用4.若

x

＝1是一元二次方程

x2－3

x

＋

c

＝0的一个根，则此方程的另一个

根是(

C

)A.

x

＝－4B.

x

＝－2C.

x

＝2D.

x

＝4【解析】设

x1，

x2是一元二次方程

x2－3

x

＋

c

＝0的两根，

x1＝1，∴

x1＋

x2＝3.∴

x2＝3－

x1＝3－1＝2，即此方程的另一个根是

x

＝2.C12345678910111213145.若α和β是关于

x

的方程

x2＋

bx

－1＝0的两根，且αβ－2α－2β＝－11，

则

b

的值是(

C

)A.－3B.3C.－5D.5【解析】∵α和β是关于

x

的方程

x2＋

bx

－1＝0的两根，∴α＋β＝－

b

，αβ＝－1，∴αβ－2α－2β＝αβ－2(α＋β)＝－1－2(－

b

)＝－1＋2

b

＝－11.∴

b

＝－5.C12345678910111213146.若关于

x

的方程

x2＋(

m2－4)

x

＝0的两根互为相反数，则

m

的值为

(

A

)A.±2B.－2C.2D.4【解析】∵方程

x2＋(

m2－4)

x

＝0的两根互为相反数，∴－(

m2－4)＝0.

解得

m

＝±2.A1234567891011121314

A.－6B.6C.－5D.5

A12345678910111213148.(2023·保定爱和城中学期中)设

a

，

b

是方程

x2＋

x

－2020＝0的两个实

数根，则

a2＋2

a

＋

b

的值是(

C

)A.2021B.2020C.2019D.2018【解析】∵

a

，

b

是方程

x2＋

x

－2020＝0的两个实数根，∴

a2＋

a

＝2020，

a

＋

b

＝－1.∴

a2＋2

a

＋

b

＝(

a2＋

a

)＋(

a

＋

b

)＝2020＋(－1)＝2019.C12345678910111213149.(2023·唐山遵化期中)已知

x1，

x2是一元二次方程

x2－

x

－4＝0的两实

根，则(

x1＋4)(

x2＋4)的值是

⁠.【解析】∵

x1，

x2是一元二次方程

x2－

x

－4＝0的两实根，∴

x1＋

x2＝1，

x1

x2＝－4.∴(

x1＋4)(

x2＋4)＝

x1

x2＋4

x1＋4

x2＋16＝

x1

x2＋4(

x1＋

x2)＋16＝－4＋

4×1＋16＝－4＋4＋16＝16.16

123456789101112131410.已知关于

x

的一元二次方程

x2－(2

m

＋1)

x

－2＝0有两个实数根

x1，

x2.(1)若

x1，

x2满足

x1＋

x2＋

x1

x2＝1，求

m

的值；解：(1)由根与系数的关系，得

x1＋

x2＝2

m

＋1，

x1

x2＝－2.∵

x1＋

x2＋

x1

x2＝1，∴2

m

＋1－2＝1，解得

m

＝1.1234567891011121314(2)在(1)的条件下，不解方程求代数式(

x1－2)(

x2－2)的值.解：(2)由(1)，得原方程为

x2－3

x

－2＝0，∴

x1＋

x2＝3，

x1

x2＝－2.∴(

x1－2)(

x2－2)＝

x1

x2－2(

x1＋

x2)＋4＝－2－2×3＋4＝－4.1234567891011121314

11.已知

m

，

n

是方程

x2＋3

x

－1＝0的两根，则(

m2＋3

m

＋3)(

n2＋3

n

＋3)＝

⁠.【解析】∵

m

，

n

是方程

x2＋3

x

－1＝0的两根，∴

m2＋3

m

－1＝0，

n2

＋3

n

－1＝0.∴

m2＋3

m

＝1，

n2＋3

n

＝1.∴(

m2＋3

m

＋3)(

n2＋3

n

＋3)＝(1＋3)(1＋3)＝4×4＝16.16

123456789101112131412.已知关于

x

的一元二次方程

x2－4

x

＋2

k

＝0.(1)若方程有实数根，求

k

的取值范围；解：(1)由题意，得Δ≥0，∴(－4)2－4×1×2

k

＝16－8

k

≥0.∴

k

≤2.1234567891011121314解：(2)由题意，得

k

＝2，解得方程

x2－4

x

＋2

k

＝0的根为

x1＝

x2＝2，∴方程

x2－2

mx

＋3

m

－1＝0的一个根为2.∴4－4

m

＋3

m

－1＝0.∴

m

＝3.方程

x2－2

mx

＋3

m

－1＝0为

x2－6

x

＋8＝0，∴

x

＝2或

x

＝4.∴方程

x2－2

mx

＋3

m

－1＝0的另一个根为4.(2)如果

k

是满足条件的最大的整数，且方程

x2－4

x

＋2

k

＝0的根是一元

二次方程

x2－2

mx

＋3

m

－1＝0的一个根，求

m

的值及这个方程的另一

个根.1234567891011121314

13.

已知关于

x

的一元二次方程

x2－(

m

－3)

x

－

m

＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(1)证明：

∵

x2－(

m

－3)

x

－

m

＝0，∴Δ＝[－(

m

－3)]2－4×1×(－

m

)＝

m2－6

m

＋9＋4

m

＝

m2－2

m

＋1＋

8＝(

m

－1)2＋8≥8＞0，∴方程总有两个不相等的实数根.1234567891011121314

123456789101112131414.

已知平行四边形

ABCD

的两边

AB

，

AD

的长是关于

x

的方

程

x2－4

mx

＋8

m

－4＝0的两个实数根.(1)若平行四边形

ABCD

是菱形，求

m

的值；解：(1)∵四边形

ABCD

是菱形，∴

AB

＝

AD

.

又∵

AB

，

AD

的长是关于

x

的方程

x2－4

mx

＋8

m

－4＝0的两个实

数根，∴Δ＝(－4

m

)2－4×1×(8

m

－4)＝16

m2－32

m

＋