24.2.2 直线和圆的位置关系（第3课时） 教学设计

24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用本节课是在研究了直线与圆相切的性质与判定之后，将研究对象进一步特殊化，将切线长作为研究对象，利用圆的轴对称性这一根本性质解释切线长的特征．切线长定理再一次体现了圆的轴对称性，它为证明线段、角、弧相等以及垂直关系等提供了理论依据．三角形内切圆的研究是建立在切线长定理的研究基础上的，由于三角形内切圆是切线长的进一步特殊化，因此它具有更加丰富的内涵，对三角形内切圆的研究方法可以复制迁移到正多边形与圆的关系的研究，为后续研究学习提供可能．概念解析本节课主要研究的是切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.在教学中要注意对定理本质的理解：圆的轴对称性是切线长定理的根本特征．在这一本质特征的统领下，可以将圆与切线的关系转化为多种常见的基本图形，可以借助这些基本图形解决线段、角、弧相等以及垂直关系等问题．对于三角形内切圆的研究应该是立足于切线长定理，同时注重方法的归纳，为后续多边形的研究做好方法铺垫．思想方法三角形内切圆问题的实质是切线长问题、切线长定理的本质是圆的轴对称性问题，这都体现了转化思想．知识类型圆的切线长定理和三角形内切圆都是关于原理与规则的知识．教学重点本节课的教学重点：切线长定理．教学目标解析教学目标：1．能利用圆的轴对称性、切线的性质探究并证明切线长定理．2．能利用切线长定理证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系．3．知道三角形内切圆和内心，能用尺规作出三角形的内心、内切圆．4．能利用内心的性质解决有关计算和证明问题．目标解析：达成目标1和2的标志是：能从圆的轴对称性这一根本性质出发，对切线长加以研究，发现切线长的性质，并能将切线长的相关性质转化为线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系．达成目标3和4的标志是：知道三角形内切圆和内心，能用尺规作出三角形的内心、内切圆．并且能利用内心的性质结合切线长定理解决有关计算和证明问题．教学问题诊断分析具备的基础上节课研究了切线的判定和性质，切线的判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．这条判定定理实质上就是“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．学生已经初步掌握了切线的判定定理和性质定理，能选择适合的方法解决问题．与本课目标的差距分析能够在切线性质的基础上，从圆的轴对称性这一根本特征出发，研究并获得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.能借助基本图形解决线段、角、弧相等以及垂直关系等问题．能在切线长定理的基础上，获得三角形内切圆的相关概念与解决问题的方法．存在的问题：1．圆的轴对称性获得切线长定理，并从中抽象出基本几何图形的过程，对一部分学生而言存在理解上的困难．2．三角形内切圆的相关概念的过程对一部分学生而言存在理解上的困难．应对策略：针对问题1教师需要引导学生利用图形直观理解问题；针对问题2，要帮助学生积累足够的体验和认知，合理归纳迁移．教学难点本节课的教学难点：通过圆的轴对称性证明切线长定理．教学支持条件分析切线长定理可以通过几何画板等动态几何软件直接观察、测量获得猜想。在利用圆的轴对称性证明切线长定理时，可借助几何画板启发学生的证明思路，在寻找三角形内切圆时可直接利用几何作图工具进行演示，帮助学生理解其中的几何关系．教学过程设计课前检测1．下列说法中正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．圆的切线垂直于半径C．经过半径的外端的直线是圆的切线D．圆的切线垂直于过切点的半径2．已知PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B.若PA＝6，PB＝4，则⊙O的半径是（）A.B.C．2D．5设计意图：这两个课前检测题主要检查学生对于圆的切线的判定和性质掌握的情况。新课学习切线长定理前面我们研究了过圆上一点作圆的切线，如果过直线外一点作圆的切线，会有什么结果出现呢？1．切线长的概念下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系．如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切．经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．探究切线长定理问题探究：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？追问：你能证明这一定理吗？分析：如图，连接OA和OB．∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP．又OA＝OB，OP＝OP．∴Rt△AOP≌Rt△BOP．∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO．3．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．追问：这一定理的本质是什么？分析：圆的轴对称性是切线长定理的根本属性．4.基本图形总结问题：在切线长定理中能得到哪些不变数量关系和位置关系？即：性质有什么？分析：切线长的相关性质可以转化为线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等．如下列图形所示：

设计意图：通过本环节的研究，帮助学生建立研究思路：切线长定理是以轴对称原理为统领的内容，可以发现切线长的相关性质可以转化为线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等．都是以往所具备的知识基础，体现了转化思想．三角形的内心1．探究三角形的内心问题：如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？追问：假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径．如何找到这个圆心呢？2．三角形内心的相关概念（1）内心的确定方法我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等．因此，如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等．以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I就是所求作的圆．（2）概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．设计意图：在研究两条切线的基础上，对三角形的内心的研究水到渠成，在该图形中，可以产生三对切线长，即可以转化为角平分线定理的逆定理来分析三角形内心，体现转化思想．例题分析例2如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长．解：设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x．由BD＋CD＝BC，可得（13－x）＋（9－x）＝14．解得x＝4．因此AF＝4，BD＝5，CE＝9．设计意图：在研究了切线长定理和三角形内心的基础上，通过这个例题帮助学生体会这两条定理的使用基础和方法，为学会灵活解决问题提供思路．评价1．如图，△ABC中，∠ABC＝50º，∠ACB＝75º，点O是△ABC的内心．求∠BOC的度数．2．△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积．（提示：设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC．）设计意图：巩固三角形内心的知识和原理，在理解的基础上解决问题．课堂小结回顾本节课的学习过程，你请结合下面两个问题对本节课的学习内容作总结。（1）阐述切线长定理．（2）三角形内切圆和内心的研究思路是怎样的？目标检测设计1．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，PA=6，则△PDC的周长为

________.2．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（）A．B．1C．2D．3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°4．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则