安徽省定远县启明中学高三第三次模拟考试新高考数学试卷及答案解析

安徽省定远县启明中学高三第三次模拟考试新高考数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．7 B．14 C．28 D．842．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知为虚数单位，若复数，则A． B．C． D．4．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．905．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（）A． B． C． D．6．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．设点，，不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件8．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．9．展开项中的常数项为A．1 B．11 C．-19 D．5110．设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为()A．1 B． C． D．11．已知集合，，，则的子集共有（）A．个 B．个 C．个 D．个12．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为__________．14．已知，则______，______.15．已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_________.16．展开式中，含项的系数为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，，且数列前项和为，求的取值范围．18．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证:.19．（12分）求函数的最大值．20．（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如图，直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点，直线y=p2与（1）求p的值；（2）设A是直线y=p2上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M22．（10分）如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【详解】，解得．．故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2、A【解析】

由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.3、B【解析】

因为，所以，故选B．4、A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解【详解】由题意，支出在（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为．故选：A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.5、A【解析】

由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.【详解】解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），

∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到，

设＝(a，b)，，则，即，

又，解得：，∴，对应复数为.故选：A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.6、B【解析】

画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.【详解】由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.故选：B【点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.7、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点，，不共线，则“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.8、C【解析】

将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.【详解】依题意，则，当时，，故函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调递减，故，则只需，故，解得，故实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.9、B【解析】

展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：（1）5个括号都出1，即；（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；所以展开项中的常数项为，故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.10、B【解析】

设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解.【详解】设，则有.又，所以，有.故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.11、B【解析】

根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.【详解】由题可知：，当时，当时，当时，当时，所以集合则所以的子集共有故选：B【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.12、B【解析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先利用辅助角公式将转化成,根据函数是定义在上的奇函数得出,从而得出函数解析式,最后求出即可.【详解】解:,又因为定义在上的奇函数,则,则,又因为,所以,,所以.故答案为:【点睛】本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题.14、【解析】

利用两角和的正切公式结合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值，进而利用两角差的余弦公式求出的值.【详解】，，，.故答案为：；.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大．15、【解析】

由已知可得，结合双曲线的定义可知，结合，从而可求出离心率.【详解】解：,，又，则.，，，即解得，即.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.16、2【解析】

变换得到，展开式的通项为，计算得到答案.【详解】，的展开式的通项为：.含项的系数为：.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求（2）由，而，利用裂项相消法可求.【详解】（1）当时，，解得，当时，①②②①得，即，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；（2）∴，∴，，.【点睛】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．18、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）先根据绝对值不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【详解】（1）∵，∴.∵，，，∴，∴，∴.（2）∵，，即两边开平方得.同理可得，.三式相加，得.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.19、【解析】

试题分析：由柯西不等式得试题解析：因为，所以．等号当且仅当，即时成立．所以的最大值为．考点：柯西不等式求最值20、（1）见解析（2）【解析】

（1）取中点，连接，，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.【详解】解析：（1）取中点，连接，，由已知可得，，，∵侧面是菱形，∴，，，即，∵，∴平面，∴平面平面.（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令得.同理可求得平面的法向量，∴.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.21、（1）p=4；（2）OA⋅【解析】试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程y=2x-2x2=2py，化简写出根与系数关系，由于直线y=p2平分∠M1FM2，所以kM1F+kM2F=0，代入点的坐标化简得4-(2+p2)⋅x试题解析：（1）由y=2x-2x2=2py设M1(x1,因为直线y=p2平分∠M所以y1-p所以4-(2+p2)⋅x1+x（2）由（1）知抛物线方程为x2=8y，且x1+x设M3(x3,x328所以x2+x整理得：x2由B,M3,②式两边同乘x2得：x即：16x由①得：x2x3即：16(x2+所以OA⋅考点：直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立y=2x-2x2=2py，相当于得到M1,M2的坐标，但是设而不求.根据直线y=p222、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）利用线面平行的定义证明即可（2）取的中点，并分别连接，，