2024年高考数学专项复习：突破数列大题压轴练（解析版）

2024年高考数学专项突破数列大题压轴练(解析版)

数列大题压轴练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

1.(2023・云南曲靖・宣威市第七中学校考模拟预测)记5”为数列｛.“｝的前〃项和，为

数列⑸｝的前〃项和，已知S“+(=2.

(1)求证：数列｛$,｝是等比数列；

(2)求数列｛〃%｝的前n项和An.

2.(2023•辽宁铁岭•校联考模拟预测)已知数列｛%｝中，q=1,出=；，且

%=("(〃=2,3,4,…).

n-a„

(1)设T(〃eN*),试用6“表示6用，并求也,｝的通项公式；

an+\

(2)设g=cos；si：no3sb册N*),求数列｛%｝的前"项和，.

3.(2023・湖南株洲•统考一模)数列｛。"｝满足［=3,a“「a：=2a“.

⑴若2&=%+1,求证：0｝是等比数列.

⑵若c“=*+l,匕｝的前〃项和为北，求满足［＜100的最大整数

4.(2023•河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测)已知数列｛%｝满足

。0+2=xa”+i+W”(〃eN+),%=1,%=2,50为数列｛a,｝前”项和.

(1)若x=2,y=-l,求S”的通项公式；

(2)若x=y=l,设北为。“前〃项平方和，证明：北-邑＜；y2恒成立.

5.(2023•山西朔州・怀仁市第一中学校校考二模)已知数列｛%｝满足q=3,且

J2%/是偶数

“用=［%T〃是奇数.

(1)设&I，证明：也-3｝是等比数列;

(2)设数列｛0｝的前n项和为S“，求使得不等式S“＞2022成立的„的最小值.

6.(2022春・河北衡水•高三校联考阶段练习)已知正项数列｛。“｝的前〃项和为S“，且满

足％=1，%=3,。什？=3"“+]—2。“，数歹!J{c”}?两足2%+3~c2+4?c3H—+("+1)cn=n.

⑴求出｛%｝,｛g｝的通项公式;

(2)设数列—\的前〃项和为《，求证：T“〈三.

[[log2(«„+l)j]16

7.(2022秋•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)己知数列｛为｝的前〃项和I满

足S3=6,2Sn=n+nan,«GN*.

(1)求｛%｝的通项公式；

〃2

⑵数列也｝,｛5｝,应｝满足“=*c”=取广…％加且力=-7,求数

列｛4,｝的前〃项和北.

8.(2023•广东•校联考模拟预测)已知数列｛%｝的前九项和为S“，且

S]+2S,+3s3+…+nSa="*.

⑴求数列｛0“｝的通项公式；

⑵若2="%,且数列也｝的前一项和为求证：当心3时，4”("+1)+———4.

2n-1

9.(2022秋•山东青岛•高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习)对于项数为加的数列

a.

｛%｝,若满足：且对任意《,•力•与一中至少有一个是

%

｛%｝中的项，则称｛%｝具有性质P.

a

(1)如果数列4,a2<3<%具有性质产，求证：%=1,%=%,6；

(2)如果数列｛%｝具有性质P,且项数为大于等于5的奇数，试判断｛%｝是否为等比数

列？并说明理由.

10.(2022秋•山东青岛•高三统考期末)记数列｛%｝的前〃项和为S,,%=1,.

给出下列两个条件：条件①：数列｛%｝和数列｛$,+4｝均为等比数列；条件②：

2R+2"-'。2+…+2a,="a..试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完

成下列两间的解答：

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

2n

(2)记正项数列也｝的前“项和为(，bt=a2,b2=ait4Tn=b„-b„+i,求'她J.

i=l

11.(2022•湖北•黄冈中学校联考模拟预测)己知数列｛%｝满足。“*0,weN*.

⑴若anan+2=ka\\>0且见>0.

(i)当｛1g%｝成等差数列时，求左的值；

(ii)当上=2且为=1,°4=16a时，求。2及。"的通项公式.

(2)右。“。”+2=-5。"+1%+3，a2<0,%©[4,8].设S,是｛a/的刖"项之和,求星020

的最大值.

12.(2022秋•湖南长沙•高三校考阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项和

Sn=-an-^'+2(MGN1),数列｛"｝满足2=2%”.

(1)求证：数列｛a｝是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列匕｝满足见(c"-3")=而(-1产(2为非零整数，〃eN,),问是否存在整数2,

使得对任意〃eN,,都有c„+1>c„.

13.(2022秋•湖南衡阳•高三衡阳市一中校考期中)已知E,为数列｛«„)的前〃项和，&=5,

S“M=S“+%+4；也｝是等比数列，，=9,々+4=30,公比31.

⑴求数列｛4｝,凡｝的通项公式；

(2)数列｛%｝和也,｝的所有项分别构成集合4B,将的元素按从小到大依次排列

构成一个新数列｛g｝,求品=%+°?+C3+…+。20.

14.(2022•浙江•模拟预测)已知正项数列｛。,｝满足％=1,当"22时，^-<1=2»-1,

｛%｝的前〃项和为

(1)求数列｛见｝的通项公式及S“；

⑵数列也,｝是等比数列，夕为数列抄“｝的公比，且4=«=%，记g=2S”『“+l,证明：

27

15.(2022秋・广东广州•高三校联考阶段练习)已知数列｛与｝的前〃项和为S”，且为=2,

S“+i=3S“+2,数列也｝满足4=2,芋=也±2,其中〃eN*.

bn"

⑴分别求数列｛%｝和｛4｝的通项公式；

⑵在。"与。角之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为c,的等差数列，求数列

也cj的前〃项和7；

16.(2023•辽宁朝阳•校联考一模)已知数列｛%｝的前〃项和为S"=已("eN+),数

列低｝满足4=1,且6向N+)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列也“｝的通项公式；

(3)对于力eN+,试比较“+］与%的大小.

17.(2022秋•广东深圳•高三校考阶段练习)记S“为数列｛0“｝的前〃项和，已知

%=2,｛3a〃-2斗｝是公差为2的等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵若±L｛a｝的前〃项和为7；,求证：

18.(2022秋•江苏常州•高三常州市第一中学校考阶段练习)已知正项数列｛%｝满足

=血+疯7(〃€^,"22),4=1.数列｛"｝满足各项均不为0,4=4,其前"

项的乘积北=2"7也用.

(1)求数列｛%｝通项公式；

⑵设。“=陛2或，求数列｛cj的通项公式;

⑶记数列的前2加项的和取求使得不等式S2nlNq+Cz+L+/成立的正整

数m的最小值.

19,(2022秋•江苏宿迁•高三沐阳县建陵高级中学校考期中)已知数列｛“〃｝满足

"〃+2=2a〃+i+3%,=—,a?=3,

(1)证明：数歹U｛%+%+i｝为等比数列，求｛〃〃｝的通项公式.

（2）若数列｛%｝的前〃项和为S“，且21：+sjN2"-7（〃eN*）恒成立，求实数X的取值

范围.

20.（2022秋•江苏南通•高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列｛%｝的前〃项

和为s“，且邑=4邑吗”=2。“+1擞列也,｝的前〃项和为北，且北+铝=1

（1）求数列｛%｝,｛4｝的通项公式;

ancosn7i,〃为奇数§

⑵数列｛g｝满足c“=”,〃为偶数’求?一

21.（2023秋•广东•高三校联考期末）已知数列上可，的，…，%，…满足%=0,匹卜校+1|

（z=1,2,）,数列A的前n项和记为S”.

⑴写出$3的最大值和最小值；

⑵是否存在数列4使得$2022=如果存在，写出此时与023的值；如果不存在，说

明理由.

22.（2023秋•山东日照•高三校联考期末）己知数列｛4｝的各项均为非零实数，其前”项

s

和为n（S尸0）,且S”•an+2=Sn+l-an.

（1）若&=2,求。3的值；

（2）若%=。，a2023=2023a,求证：数列｛%｝是等差数列，并求其前〃项和.

23.（2023秋•江苏南京•高三南京市第一中学校考期末）已知数列｛%｝,｛4｝满足

a+b

n„=2",a：-b；=\.

⑴求｛%｝,｛4｝的通项公式；

⑵记数列?的前〃项和为S”，证明：J—+1.

IAJ2T

24.（2023春•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列｛%｝各项都不为0,

%=2,g=4,｛%｝的前〃项和为S,,且满足a//=45”.

（1）求｛%｝的通项公式；

fA+2叫

⑵若b“=a。；+外亡+生&+…+,求数列―的前〃项和Z,.

I她,+1J

25.(2023春・江苏南京•高三校联考阶段练习)已知数列｛%｝中％=1,其前〃项和记为

Sn,且满足3(¥+$2+…+S")=("+2)S〃.

⑴求数列厂C「的通项公式；

(2)设无穷数列也，…对任意自然数加和〃，不等式上+“一与-4<^^均

成立，证明：数列也,｝是等差数列.

26.(2023•山东•沂水县第一中学校联考模拟预测)在如图所示的平面四边形/BCD中，

△/助的面积是△CBD面积的两倍，又数列｛%｝满足q=2,当〃22时，

丽=(%+2"T)0+(,-2"国,记”喙.

⑴求数列｛4｝的通项公式;

27.(2022秋•湖北•高三校联考开学考试)已知数列｛%｝满足％=1,。”+1=—(其

an+\an+1

中〃£N*)

(1)判断并证明数列｛4｝的单调性；

35

(2)记数列｛4｝的前一项和为S“，证明：-<S2021<-.

28.(2022秋•山东潍坊•高三统考阶段练习)定义：对于任意一个有穷数列，在其每相

邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基

础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到〃阶和

数列，如｛2,4｝的一阶和数列是｛2,6,4｝,设〃阶和数列各项和为

⑴试求数列｛2,4｝的二阶和数列各项和邑与三阶和数列各项和5，并猜想｛S“｝的通项公

式(无需证明);

（S.一3（2〃+1（、2025

⑵设叱log戒一3）1（，3），间的前加项和加若3亍，求加的最小值

29.（2022秋•湖北黄冈•高三统考阶段练习）已知数列｛七｝,%=1同为数列｛%｝的前"

项和，且S”=§（〃+2）a”.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵求证：sina〃-a“<0；

（3）证明：I1+sin—I1+sin—1+sin—•••I1+sin—<e2.

I%八%八«3JI

30.（2023•浙江温州•统考二模）设£为正项数列｛%｝的前〃项和，满足2邑=片+%-2.

（1）求｛4｝的通项公式;

（2丫"

（2）若不等式1+^|24对任意正整数〃都成立，求实数f的取值范围;

Ia.+tj

（3）设人=］侬"钊（其中,是自然对数的底数），求证：3+3+…+冬<坐・

"4abn+26

数列大题压轴练-新高考数学复习

分层训练（新高考通用）

1.（2023•云南曲靖•宣威市第七中学校考模拟预测）记S"为数列｛%｝的前〃项和，T,为

数列｛，｝的前"项和，已知S"+（=2.

⑴求证：数列｛，｝是等比数列；

⑵求数列｛〃%｝的前n项和4,.

【答案】（1）证明见解析

⑵4=（〃+2）]£|”12

【分析】（1）由前〃项和与通项之间的关系即可证明数列｛5｝是等比数歹U;

（2）以错位相减法求数列｛也〃｝的前n项和4,即可解决.

【详解】⑴因为「为数列电｝的前〃项和，

当〃=1时，H+7]=H+H=2S1=2,则H=1

当〃22时,Tn-Tn_x=Sn

邑+[=2①九+加=2②,

S1

①一②得25“=%（""），得r=<〃22）

所以数列｛5｝是首项为1公比为。的等比数列.

（2）由（1）可得，数列｛$"｝是以H=i为首项，以。为公比的等比数列,

所以S"=（；].当〃=1时，%=E=7；=1,

1,H=1

显然对于〃=1不成立，所以％=门丫-1c

-27

当〃=1时,4=4=1

当〃>2时,

上下相减可得;4=g

则4-2

又〃=1时，4=3x1-2=1

n—\

综上,4=(〃+2>I-2

2.(2023•辽宁铁岭•校联考模拟预测)已知数列｛%｝中，%=1,且

a„+\=("D""0=2,3,4,…).

n-a„

1*

(1)设”=——1(〃EN),试用“表示并求包｝的通项公式；

an+\

sin3/、小

(2)设g=--_—(«eN),求数列｛c)的前n项和S.

cos，cos，+|nn

【答案】⑴%产”n+年1,

n

csin3〃

(2)Sn=八.7

COS(3H+3)COS3

【分析】（1）根据提示“二，T（〃£N*）将条件*s=哈髻进行转化即可；

4+1…，

sin3sinb-isinft

（2）根据两角差的正弦公式可将c“=--_「化为裂项式。“=一1——广求和.

cos6"cos"+|cos2+1cosbn

1n-a”n1

［详解Ml）乙;二西丁西丁而，

1.n1.nn〃/11、

-------1=------------------------1=----------------------=--~（----1）,

«„+i（I）（«-m-i）（«-1）«„

nH+1

所以”前如,所以心

所以4=&+=...=3=3,b"3n.

nn-11

S)C=sin3_sin屹用-")=面鼠cosa-sin-cos&i=sin&]sin6〃

〃cosacos"+icos"coS“+icos6〃cos6“+icos/?n+1cos/7/

csin”/sinftsinAsinA.sinZ>sin4

所”一+%+…+6=嬴/MM"+…2_|---------

COSacos4

sinbn+isinb]_sin(3〃+3)sin3_sin[(3〃+3)—3]sin3〃

cos，+icosAcos(3«+3)cos3cos(3«+3)cos3COS(3H+3)cos3

3.（2023•湖南株洲•统考一模）数列｛%｝满足%=3,。用-a；=2«,.

⑴若2%=%+1,求证：也“｝是等比数列.

⑵若％=7+1,｛c“｝的前〃项和为1，求满足7；<100的最大整数

un

【答案】（1）证明见解析

(2)98

【分析】（1）由已知得。2+1=（。“+1）>可得时1=26“，进而得证；

（2）利用错位相减结合分组求和可得（，结合二项式定理进行放缩，进而得解.

【详解】（1）；2""=%+1,=log2（a“+l）,b｝=log2（3+1）=2,

由EEL知可得。"+1=%+2%,

。用+1=。；+2。“+1=（a.+1y，

,・l°g?（"“+1+l）=21og2（a„+1）,

.“+1/°g2（%+i+l）一2,

'b“log2（a„+l）

所以数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列；

（2）由（1）得a=2",

所以C,=丁+1=+1，

设4,=爰，数列⑷的前，项和为S"，

r」c123n-1n小

则S"=k>++尹+吩①，

…+展+会②’

口1cli111n

6=1n+2

2〃+i

所以S.=2-〃岁+2

所以7；=$“+"=〃+2-等<100合十),

当”=1时，2"<力+2,

当〃=2时，2"=n+2,

当3时，2"=(l+l)">C：+C：+C；=〃+2,

即。＜岁

〃+2

所以〃+1〈几+2——<〃+2,

所以"+2V100,??<98,

所以满足(＜100的最大整数〃为98

4.(2023•河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测)已知数列｛。“｝满足

%+2=m”+i+W”(〃©N+),%=1,a,=2,S”为数列｛%｝前"项和.

⑴若x=2,y=-l,求S”的通项公式;

(2)若x=y=l,设(为4前"项平方和，证明：北-邑＜；邑2恒成立.

・田田、n(n+l]

【答案】⑴S"=」一」

2

(2)证明见解析

【分析】(1)代入x,y,将条件化为%+2从而得到｛4+「%｝是常数列，

进而得到｛%｝是等差数列，由此利用等差数列的前"项和公式即可得解；

(2)利用数学归纳法推得要证结论，需证＜2邑+4(左22),再次利用数学归纳法

证得其成立，从而结论得证.

【详解】(1)因为x=2,尸-1,

a

所以%+2=X%+1+yn=2a”+i-，则an+2-an+l=an+l-an,

3^a?-%=2—1=1,

所以｛4+「吗是首项为1的常数列，则%+「。”=1,

所以｛%｝是首项为1,公差为1的等差数列，则

所以s“=四M.

（2）因为x=y=l,所以。什2=x%+i+W"=。用+。“，

又。1=1,a2=2,所以。3=电+%=3,«„+i>an>0,贝!|2。“>a”+。,_]=。向，

-

因为北=a；+a2~"1----1a：,凡=%+a2H----\-an,

2

所以当〃=]时，7；=a1=l,S1=a1=l,所以7]_E=0<；=；S；；

假设当〃=左住》2）时，有

则当”=左+1时,Tk+l-Sk+l=Tk+Gj+1-Sk-%<；S/+a：+]-%,

r

因为蹬+i=&+怎+J-S；=2Skak+l+d+i,

所以要证<；舔（k>2）,需证

4"；+i—44+i<S；+「S/=2Skak+x+^+1（左22）,

即证3&+I<2S、+4（4N2）,

当左=2时，%=3,S2=3,则3a3=9<10=2S2+4,

假设当无=r（厂22）时，有3%<2邑+4,

则当左二尸+1时，3%2=3%+i+3ar<2Sr+4+3%，

因为％<2。一1,所以3%<2%+2%T=2。川，

所以3（1r+2<2Sr+4+3ar<2Sr+2tzr+1+4=2Sr+1+4,

综上：3aHi<21+4（左22）成立，

所以加〈卜温-2）成立，

综上：7；-S.<；S：恒成立.

5.（2023•山西朔州•怀仁市第一中学校校考二模）已知数列｛4｝满足％=3,且

_f是偶数

"用=1-1,〃是奇数.

（1）设2=。2”+出1，证明：也-3｝是等比数列;

⑵设数列｛%｝的前n项和为S“，求使得不等式I>2022成立的„的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)20

b-1一

【分析】(1)由已知条件，用出〃表不出“，得出生〃=〃2'再用电〃表不出4+1,得出

心”=维卢，联立得出6"+1=2"-3,通过构造得出“+「3=2(2-3),检验勿-3W0,

即可得出证得结论；

(2)由(1)的结论表示出邑“=2川+3〃-2,邑“+2=2"+2+3〃+1和昆“+1=3-2"+3〃，

证出S“在〃©N,是一个增数列，通过计算即可得出答案.

[2〃是偶数

【详解】(1)证明：・・・％="曰4粉，

是奇数

612n-〃2〃-1—1，a2n+\~22〃，出"+2=〃2〃+1.1，

'+1,

又•・.〃=%〃+。2〃-1，

b〃=a2n+出〃+1=2a2n+1，

b—1

「•出〃二七一，

•.•"+1=“2〃+2+42〃+1，

a

b〃+1=。2〃+1-1+2n+\=2&〃+1-1，

又・・・4〃+1=2。2〃，

*'•%=4'T，

•a-2+1+l

•・电〃-4'

，即6用=2»-3,

•.也「3=2(6,-3),

,•*b]—3—4+q2—3=a?—a1—1=2w0,

.，.—3w0,

b“-3

•••数列｛4-3｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)可知数列也-3｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

.也-3=2x2"T=2",

即»=2"+3,

a2n-\+。2"=2"+3,

+,

S2n=2(1")+3〃=2"+3〃-2,

2"1-2

n+2

.-.S2n+2=2+3n+l,

又-1，

a2n-l+a2n=2a2”-1T=2"+3,

即"T=2"—+2,

。2"+1=2"+2

二邑”+1=邑“+。2向=2向+3"-2+2"+2=32+3”，

•••邑用一邑"=3•2"+3〃-(2向+3〃-2)=2"+2>°，

+2

S2n+2-S2n+1=2"+3"+1-(3•2"+3〃)=2"+1>0,

在"eN*是一个增数列，

9

v519=3x2+3x9=1563,

H

520=2+3x10-2=2076>2022,

满足题意的n的最小值是20.

6.(2022春•河北衡水•高三校联考阶段练习)已知正项数列｛%｝的前〃项和为S.，且满

足q=1,4=3,。,+2=3。“+1-2%,数列｛与｝满足22q+32c2+42C3+…+("+l『c"=〃.

⑴求出｛%｝,｛g｝的通项公式；

(2)设数列—1的前〃项和为北，求证：7；<4.

[log2(a„+l)Jj16

1

【答案】(1)%=2〃一1，

(2)证明见解析

【分析】(1)根据已知条件可得数列｛〃向-%｝是等比数列，求出其通项公式，再利用累

加法求出数列｛%｝的通项公式；先求出G，再求出当〃22时，数列｛。1｝满足的等式，

即可求出数列｛.｝的通项公式；

(2)写出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和(，即可求证.

(1)

a

由n+2=3〃用-2an,

得%+2一4+1=2(q〃+i.又。2一%=2,

则数列｛%+「&｝是首项为2,公比为2的等比数列，

・.・%-%=2X2〃T=2〃,

—

••a?—%=2,ciy—a?=2,%2,...,cin—%_i=2,

累加得an~a\=2+2?H----F2〃-l,

]_on

：.tz=l+2+22+---+2n-1=-------=2〃—1.

〃1-2

数列｛。〃｝满足2?0]+32c2+4?QH----1■(九+1)cn=n,①

当〃=1时，G=；；

222

当〃22时，2c1+3C2+4C3H----F几2g_]=〃-1,②

1

由①一②可得g=7―TT,

5+i)

当〃=1时，也符合上式，

故数列｛。〃｝的通项公式为。〃=.

(2)

.〃+1n+1111

由⑴可得；----------7-------U=7------=T-------------\2，

(〃+2)[log2(tzrt+1)](〃+2)n4[加(n+2)

彳

贝1口=-1一一-2+—2一一-2+—2一一-2+•••+-2------7=-1+-2--------7-------2

〃4[32435n(〃+2门4〔2(〃+丁(^+2)

_j_5____1________1____5_

44(“+1)2e+2/<16，

故(<2成立.

16

7.(2022秋•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)己知数列｛g｝的前〃项和S,满

足S3=6,2sH=n+nan,HGN*.

⑴求｛%｝的通项公式;

⑵数列也｝，｛%｝，｛4｝满足"=c*=b；bb.”,且,求数

(a„+1)--1n-z

列｛",｝的前〃项和1.

【答案】(1)«„=«(〃eN*)；

.311

⑵小二kQ

【分析】(1)利用S“与。”的关系得到然后得到

(〃-2)%_2-(〃-3”,1=1,两式求差，得到2%=a“+a“_2("23),这样判断数列｛4｝

为等差数列，然后计算外,电，得到首项和公差，写出｛g｝的通项公式；(2)利用｛。“｝的

通项公式求出｛"｝的通项公式，然后利用c“,的关系，运用累加法求出｛的｝的通项公

式，然后利用匕,｝的通项公式求出｛Z｝的通项，再利用裂项相消求出Z,.

【详解】(1)由题意知2S“=〃+w“，+—(»>2)

两式相减得(〃-2”“=1,("22),故(〃-2”“_2-("-3)见_]=1,(〃23),

两式相减得=(»-2)a„+(«-2)an_2(«>3),

即2%=an+a„_2(n>3),可知数列｛an｝为等差数列,

又用=6,贝！]%+%+/=3%=6,解得4=2,

又因为2H=1+4,所以4=1,等差数列｛氏｝的公差d=%-4=1，故4=〃(〃£N*).

2〃+1)2

(2)由题易知c“=6您-L，(〃22),又因为“=%

T(〃+1)T〃(〃+2)，

223242(“+1)22("+1)

所以会=*Ja=百.1Td，(心2)

〃(〃+2)n+2

c_2-3c“2(”+l)

由累乘法可得:2,(«>2)

G45%〃+2

所以％=32T42n+1

，(心2),因为q=瓦=-f所以％=，(«>2),

c1n+2〃+2

42〃+i211

当刀=1时，也符合，所以c〃=，(«>1),则为=

n+2"2"〃("+2)nn+2"

1111111

T〃=d、+d2+L+d—1—।---------------1--------------+L+-----------

n32435nn+2

=1+一1311

2〃+ln+22n+\n+2

8.(2023•广东•校联考模拟预测)已知数列｛%｝的前〃项和为S),，且

S]+2s2+3s3H----FnS“=〃3

(1)求数列｛4｝的通项公式;

3〃(〃+l)14

⑵若2="%,且数列也｝的前力项和为7；,求证：当〃23时，Tn<—------L+--------4.

2n-1

Ln=\

【答案】(1)%=<3__3,3

矶〃—

(2)证明见解析.

$,n=l

3nH-----3,

【分析】(1)由题可得s〃=n〃GN"后由〃〃=<S2-Sx,n=2,HGN*

S]=1,n=ls“一Si，

可得数列｛。“｝的通项公式;

3〃("+l)+-L.4。32i

(2)由(1)可得"，T„<-4,后由数

2n-1

学归纳法可证明结论.

3

【详解】(1)由题，“22时,有S1+2s2+3S3+•■­+(«-1)sn_i=(H-i)»贝U

3/一3〃+1,n>2

nSn=3〃H-----3,2

Syn=is"=”n

1,n=\

Ln=l

%n=l

5

S—Sn=29nGN*=>a=<一,n=277GN*.

2lfn2

S"一S“T，n>3

3--r,n>3

〃(〃一1)

1,n=1

注意呜=3一长

贝I」a〃=1

3--7-----T，n>2

nyn-\)

n,n=1

（2）由（1）可得”=1，“EN*,则

3〃-22

卜I)

当〃23时,

3〃(〃+111

T=3—2+6—1+9——+3w----------3+-+-+••­+-------

〃3n-1223n-1

故所证结论相当于，-「+;+~+

«———4,n>3.

n-1

当〃=3时，结论显然成立;

则―(3+g+…+

假设〃=左（左23,左cN*）时，结论成立,<—--4,

k-\

当〃=左+1时，因左23,k(k-,-k=M左一2）＞0,则

111)11

3+-+---+—<------------4=-------44<—44

I2kk-1kk(t-1)k

综上，结论成立.

9.（2022秋・山东青岛•高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为加的数列

｛a„｝,若满足：1士）＜。2啜…且对任意IVz,V/V切，4与2中至少有一个是

a.

｛%｝中的项，则称｛%｝具有性质产.

⑴如果数列4，。2，。3，。4具有性质尸，求证：％=1，

（2）如果数列｛%｝具有性质P,且项数为大于等于5的奇数，试判断｛%｝是否为等比数

列？并说明理由.

【答案】（I）证明见解析

⑵｛%｝为等比数列，理由见解析

【分析】(1)根据性质P的定义，易得q=1,幺，幺是数列中的项，再根据

l<ai<a2<--<am,可得幺=%,即可得证；

(2)根据性质P的定义，易得％=1,竽(2W2k+l,ieN)是数列中的项，从而可

得+同理有a2k=a?(l"V2"2,、eN),进而可得

a2k+2-pa2k+l-p

&里=&(1WP42匕peN),即可得出结论.

ap

【详解】(1)因为。4>1，所以不是数列中的项，

所以包=1一定是数列中的项，所以q=1,

%

又因为％•出>%，a4-a3>a4f

所以为q,不是数列中的项，所以幺，幺是数列中的项，

CL?CL3

因为1«/<。3<。4，所以1<幺<幺<。4，

所以£=%,所以%=g-%;

(2)当数列｛%｝的项数m=2左+1,(左eN,L22)时，

aa>a

因为。2Hl>1，2M-2M2k+l所以。2%+1，。2Ml不是数列中的项，

所以"=1一定是数列中的项，所以q=1,

a2k+l

因为对于满足2V*2人+1的正整数i,都有“+/%>。2人1，

所以出川口(24三2左+l,ieN)不是数列中的项，

从而咏是数列中的项，

%

又1=咏<咏<&±1〈…<&±1〈刍如F+1,

a2k+la2ka2k-\a2%

所以=与0w042左+l,peN),

a2k+2-p

aaa

从而有2k+l=p•a2k+2-P=32k+X-p(1WpW2左+l,p£N),

所以@±包=也

从而有咏=4=%,二="，••・，"=

a2ka\a2kAa2歌+2akA。左Nak

因为对于满足3W/W2左的正整数i,均有a2k-ai>a2k-a2=a2k+l,

所以十.《，出，…,%+1},

又1=纸<2<区<..<&<5=a2ki9k<a2k+l,

aa

。2k2k-l2k-2”3”3

所以=左一2,peN),

a2k+l-p

aaaa

从而有"=P-ik+i-P=P+i-2k-P(l</?<2^-1,/jeN),

所以dd

从而有3=^=^^=^，…，"也=S，8=―,

a2k-la\a2k-2a2ak+2ak-2ak+\ak-\

从而有也■=%(1WP42上,peN),

ap

所以对于项数为大于等于5的奇数且具有性质P的数列｛%｝,是以1为首项，出为公比

的等比数列.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或

给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供

的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义

问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章

办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

10.（2022秋•山东青岛•高三统考期末）记数列｛%｝的前"项和为S",%=1,.

给出下列两个条件：条件①：数列｛%｝和数歹！]｛S“+q｝均为等比数列；条件②：

2R+2"-&+…+2%="%+].试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完

成下列两问的解答：

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

（1）求数列｛%｝的通项公式；

In

（2）记正项数列也｝的前”项和为（，4=/，b2=a3,4<="也用，求，她J.

Z=1

【答案】⑴。"=2"T

⑵8/+8〃

【分析】（1）选择条件①：先由｛$“+%｝为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等

比数列｛与｝的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；

选择条件②：先由2飞+2-'a2+…+2a.="小得出

2"%+2"T为+…+2?a,i=2(«-l)a„(n>2),两式做减即可得出a„+1=2an(n>2),再验

证”=1时即可利用等比数列通项公式得出答案；

(2)通过41="吃+|得出两式相减结合已知即可得出

bn+x-bn_x=^n>2),即数列也｝的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将

2n

t[(T)'44+J转化即可得出答案.

i=l

【详解】(1)选条件①：

•••数列｛$“+%｝为等比数列，

(邑+%)=(S]+%)($3+%)，

即(2%+&)'=2%(2%+a2+a3),

且设等比数列｛%｝的公比为,

(2+“J=2(2+q+q~),

解得q=2或g=0(舍)，

%尸=2"-1,

选条件②：

[,2"%+2"1a?+…+2a"="。"+].,,CD,

2"4+2"H-----F2。"_]=(72_(“22),

即2"q+2"T%+…+2%T=2(〃_1”“(心2)…②,

由①②两式相减得：2a„=na„+1-2(n-l)a,i(n>2),

即。角=2%(〃22)，

nn-1

令2ax+2a2+--F2an=nan+1中〃=1得出%=2cli也符合上式，

故数列｛%｝为首项G=l,公比q=2的等比数列，

则a“=a@i=2i,

(2)由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列｛0｝为首项％=1,公比4=2的

等比数列，即。"=2"'

贝[jb]—a?=2,Z?2==4,

4…③

..